第二十九讲 直角坐标系下平面图形的面积.

第二十九讲 直角坐标系下平面图形的面积

重点：直角坐标系下平面图形的面积计算

难点：定积分的微元法

一、定积分的微元法

用定积分表示一个量（如几何量、物理量或其它的量）一般分为四个步骤，我们来回顾一下解决曲边梯形面积的过程。

第一步 分割。将区间[a ,b ]任意分成n 个小区间[1-i x ,i x ]（n i ,,2,1 =），其中a x =0，b x n =。

第二步 近似替代。在任意一个小区间[1-i x ,i x ] 上，任取一点i ξ，作小曲边梯形面积i A ∆的近似值，

i i i x f A ∆≈∆)(ξ。

第三步 求和。曲边梯形面积A 的近似值，

∑=∆≈n

i i i x f A 1)(ξ。

第四步 求极限

∑=→∆=n i i i x f A 10)(lim ξλ=⎰b

a dx x f )(。 对照上述四个步骤，我们发现第二步的i i x f ∆)(ξ与第四步定积分⎰

b a dx x f )(中的被积表达式dx x f )(相似的形式，如果把第二步中的i ξ用x 替代，i x ∆用dx 替代，那么i i x f ∆)(ξ就变为dx x f )(。基于此，我们把上述四个步骤简化为两步：

第一步 选取积分变量，并确定其范围，在其上任取一个小区间。例如，选x 为积分变量，x ∈[a ,b ]，在其上任取一个小区间[x ,dx x +]。

第二步 求出所求量I 在小区间[x ,dx x +]上的近似值

∆I ① ≈ dx x f )(

即

dI =dx x f )(

于是

I =⎰b

a dx x f )(。

我们把dx x f )(叫做量I 的元素，这种求量I 的方法通常叫做微元法或元素法。 下面我们用简化后的步骤来求曲边梯形的面积（图6—1）。

第一步 选取x 为积分变量，确定变量x 的范围为[a ,b ]，

在[a ,b ]上任取一个小区间[x ,dx x +]；

第二步 在小区间[x ,dx x +]上用矩形面积代替小曲边梯

① 这里∆I 与dx x f )(相差一个比dx 高阶的无穷小。

形的面积，这个矩形的底为dx ，高为)(x f ，因此，面积元素为

dx x f dA )(=

于是，所求曲边梯形的面积

⎰=b

a dx x f A )(。 二、直角坐标系下平面图形的面积

下面我们介绍用定积分求平面图形的面积的两种基本类型。

1．在直角坐标系下，由曲线)(x f y =、)(x g y =、直线a x =和直线b x =所围成的曲边梯形（称为X 型区域）如图6—2所示，此时曲线所围成的平面区域用不等式组表示为

⎩

⎨⎧≤≤≤≤)()(x f y x g b x a 。 选x 为积分变量，则x ∈[a ,b ]。在区间[a ,b ]上任取一小区间[x ,dx x +]，所对应的面积元素为

dx x g x f dA )]()([-=

于是，所求曲边梯形的面积

⎰-=b

a dx x g x f A )]()([。

2．在直角坐标系下，由曲线)(y f x =、)(y g x =、直线c y =和直线d y =所围

成的曲边梯形（称为Y 型区域）如图6—3所示。此时曲线所围成的平面区域用不等式组表示为

⎩

⎨⎧≤≤≤≤)()(y f x y g d y c 。 选y 为积分变量，则y ∈[c,d]。在区间[c,d]上任取一小区间[y ,dy y +]，所对应的面积元素为

dy y g y f dA )]()([-=

于是，所求曲边梯形的面积

⎰-=b

a dy y g y f A )]()([。 综合上述，如果平面曲线所围成的区域可表示为

⎩

⎨⎧≤≤≤≤)()(x f y x g b x a ， 则平面曲线所围成图形的面积为

⎰-=b

a dx x g x f A )]()([；

如果平面曲线所围成的区域可表示为

⎩

⎨⎧≤≤≤≤)()(y f x y g d y c 则平面曲线所围成图形的面积为

⎰-=b

a dy y g y f A )]()([。 例1 计算由两条直线x y =2、2x y =所围成的图形的面积。

解 如图所示。为了具体确定这个图形的所在范围，先求出这两条曲线的交点。为此，解方程组

⎪⎩

⎪⎨⎧==22x y x y 得交点（0,0）及（1,1）。将曲线所围成的区域用不等式组表示为 ⎪⎩⎪⎨

⎧≤≤≤≤x y x x 210 于是，所求面积为 dx x x A )(210-=⎰3131321

0323=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x x 。 例2 计算抛物线x y =2与直线2-=x y 所围成的图形的面积。

解 如图所示。为了具体确定这个图形的所在范围，先求出抛物线与直线的交点。为此，解方程组

⎪⎩

⎪⎨⎧-==22x y x y 得交点（1,-1）、（4,2）。将曲线所围成的区域用不等式组

表示为

⎩

⎨⎧+≤≤≤≤-2212y x y y 于是，所求面积 29)2(221=

-+=⎰-dy y y A 。 例3 求椭圆122

22

=+b y a x 所围成图形的面积。

解 这个椭圆关于两个坐标轴都对称（图6—5），

所以椭圆的面积是它在第一象限部分的四倍。即

⎰=a

ydx A 04。

利用椭圆的参数方程

⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos

应用定积分的换元积分法，令t a x cos =，则t b y s i n =，