谈圆内接正十七边形中的内接三角形

谈圆内接正十七边形中的内接三角形

本文旨在对圆内接正十七边形中的一类满足特殊条件的内接三角形的个数的探讨。

问题的提出，从正十七边形的顶点中取了3个点作三角形，并使得正十七边形的中心落在三角形内，这样的三角形有多少个。

我们获得的结果是：

Card（A）=13（1+2+3+4+5+6+7+8）×17=204个

略证：将正十廿边形的每一个顶点编号为1，2，…，17。对编号为1的点P1加以讨论。

设为P1为顶点的正十七边形的其它顶点为顶点，且含正十七边形中心的三角形集合A1。

连接P1P9，以P1P9为底边包含园心O的三角形只能是顶点为P10、P11、P12、P13、P14、P15、P16、P17、8个园内接三角形，连接P1P8，以P1P8为底边包含圆心O的三角形只能是顶点为P10、P11、P12、P13、P14、P15、P167个圆内接三角形；

连接P1P7，以P1P7为底边包含圆心O的三角形只能是顶点为P10、P11、P12、P13、P14、P156个圆内接三角形。

连接P1P6，以P1P6为底边包含圆心O的三角形只能是顶点为P10、P11、P12、P13、P14 5个圆内接三角形。

连接P1P5，以P1P5为底边包含圆心O的三角形只能是顶点为P10、P11、P12、P13 4个圆内接三角形。

连接P1P5，以P1P5为底边包含圆心O的三角形只能是顶点为P10、P11、P12、P13 4个圆内接三角形。

连接P1P4，以P1P4为底边包含圆心O的三角形只能是顶点为P10、P11、P12 3个圆内接三角形。

连接P1P3，以P1P3为底边包含圆心O的三角形只能是顶点为P10、P112个圆内接三角形。连接P1P2，以P1P2为底边包含圆心O的三角形只能是顶点为P10 1个圆内接三角形。

所以Card（A1）=l+2+3+4+5+6+7+8

则以Pi（I=2，3，…17）为正十七边形的其它顶点为顶点的且包含正十七边形的中心的三角形集合为Ai。则它们的个数记为Card（A1）。很明显（见作图）

Card（A1）=（1+2+3+4+5+6+7+8）

Card（A2）=（1+2+3+4+5+6+7+8）

………………

Card （A17）=（1+2+3+4+5+6+7+8）

本来应当

Card（A）=Card（A1）+card（A2）+……+card（A17）

=（1+2+3+4+5+6+7+8）×17

但是因为构成的是三角形，故重复了三次。

所以

Card（A）=13（1+2+3+4+5十6+7+8）×17=204个