1 第一型曲线积分

f [ ( k ), ( k )]
因此
说明:
(1) sk 0, tk 0, 因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x)2 (d y)2
y
2(t ) 2(t )d t
因此上述计算公式相当于“换元法”. o
ds dy dx
xx
1 L由参数方程给出
定理 设 f ( x, y)在曲线弧L上有定义且连续,
2、9； 4、2a 2 (2 2) .
三、 I z
2 a2 3
a2 k 2 (3a2 42k 2 )；
(3) f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
L
L1
L2
(L L1 L2 ).
(4) 中值定理：f ( x, y) 在 L 上连续，则在 L 上至
少存在一点( ,)，使得
L f ( x, y)ds f ( ,)s，s 为 L 的弧长。
二 第一型曲线积分的计算
对弧长的曲线积分L f ( x, y)ds 存在.
函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧上对弧长的
曲线积分为
n
f ( x, y, z)ds
lim
0
i 1
f (i ,i , i ) si .
注意：
1. 若 L(或)是分段光滑的, (L L1 L2 )
f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
解： 曲线L用极坐标表示方程为：r a cos
弧微分
ds a2 cos2 a2 sin2 d ad
L
x2 y2ds
2
a
cos
ad
2
a2
2
cos
d
2a2
2
例8 试一均匀的半圆轴对位于圆心处单位质量 的质点引力。
解： 建立坐标系如图，由对称性知： y
Fx 0
Fy
L
k R2
第十一章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域 曲面域
曲线积分 曲面积分
对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
❖ 第一型曲线积分 ❖ 第二型曲线积分 ❖ Green公式 ❖ 第一型曲面积分 ❖ 第二型曲面积分 ❖ Gauss公式与散度 ❖ Stokes公式与旋度
则
X2 Y2 Z2 :
a2
Z z
X Y Z 0
( X 1)2 ds
2 X ds
2 a3 2 X 2 a
3
圆的形心 在原点, 故
X 0
例6 计算 2 y2 z2ds,其中 L 为球面 x2 y2 z2 a2 与 平
L
面 x y 的交线；
解：
交线
x2 y2 z2 a2
L1 L2
L1
L2
2. 函数f ( x, y)在闭曲线L上对弧长的
曲线积分记为L f ( x, y)ds.
几何意义与物理意义
(1) 当( x, y)表示 L的线密度时,
M L ( x, y)ds ;
(2)
当 f ( x, y) 1时,
L弧长
ds;
L
z f (x, y)
(3) 当 f ( x, y)表示立于L上的 s 柱面在点( x, y)处的高时,
f ( x, y)在L上连续，则有
f ( x, y)ds
f (r cos ,r sin )
r 2 r2d
L
例1
求
I
L
xyds,
L
:
椭圆
x y
a cos t, bsin t,
(第象限).
解 I 2 a cos t b sin t (a sin t)2 (b cos t)2dt 0
为简单起见，主要讨论平面曲线的情形。
基本思想：小曲线弧很小时， si
Ai
可用弦长代替弧长。
yi
si Ai1 Ai Ai1 Ai (xi )2 (yi )2
Ai 1
xi
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
且
f ( x, y)d s f [ (t ) , (t )] 2(t ) 2(t )d t
:
y
y(t )
t
z z(t)
L f ( x, y, z)ds
f ( x(t), y(t), z(t))
x2(t ) y2(t ) z2(t )dt.
2 L : y y( x) a x b.
f ( x, y)ds
b
f [ x, y( x)]
1 y2( x)dx.
L
a
(a b)
S柱面面积
f ( x, y)ds.
L
L
(4) 曲线弧对x轴及 y轴的转动惯量 ,
Ix
x 2 ds,
L
Iy
y 2 ds.
L
(5) 曲线弧的重心坐标
x L xds , L ds
y L yds . L ds
2 性质
(1) L[ f ( x, y) g( x, y)]ds L f ( x, y)ds L g( x, y)ds. (2) L kf ( x, y)ds k L f ( x, y)ds (k为常数).
或
2 y2 z2 a2
x y
x y
L 的参数方程可表示为：
x a sin t , y a sin t , z a cos t,0 t 2 .
2
2
ds x2 y2 z2dt adt
I 2 a adt 2a2. 0
例7 求I x2 y2ds, 其中L为园周 L x2 y2 ax(a 0);
3、 ( x 2 y 2 )ds ,其中L 为曲线 L
x a(cos t t sin t )
y
a(sin t
t
cos
t)
(0 t 2 ) ；
4、计算L y ds ,其中L 为双纽线
( x 2 y 2 )2 a 2 ( x 2 y 2 ) (a 0) .
三、设螺旋形弹簧一圈的方程为x a cos t , y a sin t ,
解
I
2
y
1 ( y)2dy 0.
2
2
例3 求I L xyds, 其中L是封闭路径 OABO;
解 xyds xyds xyds y
OA
AB
L
1
xyds BO
y x2
B(1,1)
1
xyds 0dx 0( y 0)
OA
0
0
A(1,0) x
xyds
1
1
ydy
1
( x 1, y y)
3 L : x x( y) c y d.
f ( x, y)ds
d
f [ x( y), y]
1 x2( y)dy.
L
c
(c d)
4
L
:
z
z
f (x,Βιβλιοθήκη Baiduy) g(x, y)
或
( x, ( x,
y, z) y, z)
0 0
将它化为参数方程，然后计算积分。
5 L : r r( ), , r( )在[ , ]上连续，
L
y
(2xy 3x2 4 y2 )ds
L
(2xy 12)ds
L
x
0 12a 12a
小结
1.对弧长曲线积分的概念 2.对弧长曲线积分的计算
hw：p131 3(3,4,5,6,7),4,5.
例6. 计算
其中为球面 x2 y2
z2
9 2
与平面 x
z
1的交线.
解:
:
1 2
(
x
1 2
练习题
一、填空题:
1、已知曲线形构件L 的线密度为 ( x, y) ,则L 的质量 M =_______________；
2、L ds =_______________；
3、对________的曲线积分与曲线的方向无关；
4、 f ( x, y)ds = f [ (t), (t)] 2 (t) 2 (t) dt 中 要
L
求 ________ .
二、计算下列求弧长的曲线积分:
1、 e x2 y2 ds,其中L 为圆周x 2 y 2 a 2 ,直线y x L 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
2、 x 2 yzds,其中L 为折线ABCD ,这里A , B , C , D 依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；
§1 第一型曲线积分
❖ 第一型曲线积分的概念与性质 ❖ 第一型曲线积分的计算
一 第一型曲线积分的概念与性质
1 概念
y
实例:曲线形构件的质量
B L Mn1
匀质之质量 M s.
(i ,i ) Mi
M2
分割 M1, M2 ,, Mn1 si ,
A M1
M i 1
o
x
取 (i ,i ) si , Mi (i ,i ) si .
Ai1 Ai上一点Mi (i ,i ),作有限和
n
f (i ,i ) si ,
i 1
y
A o
B L Mn1
(i ,i ) Mi M2 M1 Mi1
x
如果当各小弧段的长度的最大值 0时,
这和的极限存在, 则称此极限为函数 f ( x, y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲
线积分, 记作 f ( x, y)ds, 即 被积函数 L
L
证: 根据定义
n
lim
0
k 1
f
(k ,k )sk
设各分点对应参数为
点 (k ,k )对应参数为
sk
tk tk 1
2(t ) 2(t )d t
2( k ) 2( k ) tk ,
则
n
lim
0
k 1
f [ ( k ),
( k )]
注意 2(t) 2(t )连续
n
lim 0 k1
AB
0
2
ds x2 1dy dy
xyds 1 x x2 1 (2x)2dx
BO
0
1 x2 t
1
4t 1 4tdt
80
5 5 1 24 120
例4 求I L xyzds, 其中L为圆柱螺线
x a cos , y a sin , z k
解 一动点一方面绕z轴以等角速度 旋转，旋
L:
x
y
(t), (t),
( t )
其中 (t), (t)在[ , ]上具有一阶连续导数, 且
2(t ) 2(t ) 0，则
f ( x, y)ds f [ (t), (t)] 2(t) 2(t)dt
L
( )
注意:
定积分的下限 一定要小于上限 .
x x(t)
空间中的曲线
)2
1 4
y2
1 ,
化为参数方程
xz1
x
2 cos
1 2
: y 2sin
0 2
则
z
1 2
2 cos
ds ( 2 sin )2
( 2sin )2 d 2d
I 9
2
2d 18
20
思考题
对弧长的曲线积分的定义中 Si 的符号
可能为负吗？
思考题解答
Si 的符号永远为正，它表示弧段的长度.
转半径a，同时在z轴正向以速度k移动。
x a sin , y a cos , z k
ds x2 y2 z2d a2 k 2d
2
L xyzds 0 a cos a sin k
a 2 k
a2 k2
2
a2 k 2d
思考: 例5中 改为
, 如何
计算
X x 1
解: 令 Y
y 1,
sin
ds
其中k为引力常数，R为半径，
s
d
o
x
L : x Rcos , y Rsin
ds ( Rsin )2 (Rcos )2d Rd
Fy
0
k R2
sin Rd
k R
( cos
)
|0
2k R
例8 设 L 为椭圆 x2 y2 1，其周长记为a ，计算 43
(2xy 3x2 4 y2 )ds.
z kt ,其中0 t 2 ,它的线密度
( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 ,求: 1、它关于Z 轴的转动惯量 I Z ；
2、它的重心 .
练习题答案
一、1、L ( x, y)ds； 2、L 的弧长 ；
3、弧长；
4、<.
二、1、ea (2 a) 2； 4
3、22a3 (1 22 )；
ab 2 sin t cos t a2 sin2 t b2 cos2 tdt 0
ab a2 b2
a u2du
b
(令u
a2 sin2 t b2 cos2 t )
ab(a2 ab b2 ) . 3(a b)
例2 求I L yds,
y2 4x
其中L : y2 4x,从(1,2)到(1,2)一段.
n
L
f ( x, y)ds lim 0 i1
f (i ,i ) si .
积分弧段
积分和式
曲线形构件的质量 M L ( x, y)ds.
f ( x, y) 1时，L f ( x, y)ds Lds s
定理：当 f ( x, y)在光滑曲线弧L上连续时, (或在L上只有有限个间断点，并且有界)
n
求和 M (i ,i ) si .
近似值
i 1 n
精确值
取极限
M
lim
0
i 1
(i ,i ) si .
定义 设L( AB)为xoy面内光滑或逐段光滑曲线弧, f ( x, y)在L上有界.将L任意分割成上n个子弧Ai1 Ai
, i 1,2,, n, A0 A, An B,其长度记为si ,任取