二次函数的图象

y
6.二次函数的解析式有 三种形式： 一般式：
2
C
A B
2
y ax bx c(a 0)
2
顶点式：
y a( x m) k (a 0)
O x1
b 4ac b ( , ) 2a 4a
x2
x
y a ( x x1 )( x x2 ) (a 0)
两根式：
b x 2a
二、典型例题举例：
例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如 图所示，那么下列判断中不正确的有 b （D ） 0 1
A.abc>0
y
B.b2-4ac>0
C.2a+b>0 D.4a-2b+c<0
2a b 2a
x
-1
o
1
2a b 0
x 2时 y 4a 2b c 0
（6）抛物线与x轴两交点的横坐标之和为 -2.5，积为-6，且过点(0,-6)
A(x1,0),B(x2,0) x1+x2=-2.5, x1x2=-6 ∴ x1,x2是方程x2+2.5x-6=0的两根
∴所求的抛物线解析式是
Y=a(x2+2.5x-6)
（7）抛物线的顶点是直线y=2x与y=-2x+4的 交点，且经过直线y=-2x+4与y轴的交点 （8）把抛物线y=ax2+bx+c向下平移2个单位， 再向左平移6个当单位，所得的抛物线顶点为 (-3,-1)，且a+b+c=9，求原抛物线解析式
b x 2a
2.抛物线与x轴两个交点 之间的距离 2
b 4ac AB x1 x 2 a
y
3、系数a的作用： 决定开口方向与开口大 小以及函数最值情况
C
A B
O x1
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注意： |a|越大，抛物线的张口越小； |a|越小，抛物线的张口越大， |a|相同的抛物线通过平移 （或旋转）一定能重合。
4
假设存在直线y=mx+n与抛物线只交于一点B
平移后的抛物线为y a( x 3) 1
2
原来的抛物线解析式是 y a( x 3 6) 1 2,即y a( x 3) 1
2 2
又a b c 9, 得抛物线经过(1,9)
例4已知二次函数y=-x2+(m-2)x+3 满足下列条件： （1）图象与x轴两个交点间的距离为 21 （2）当x＞1时，y随x增大而减小。 求m的值。
y 2 x 2(a b) x a2 b
2 2
2
例3.求满足下列条件的二次函数解析式： （1）二次函数的图像与x轴交于点A(2,0), B(4,0),且图像过点C(1,6)
（2）二次函数当x=1时有最大值y=4,且x=0时 y=0 2
设y a( x 2)( x 4)
设y a( x 1) 4
变式：
已知抛物线 y=-x2+(m-2)x+3与X轴交于 A，B两点,与y轴交于点C,且同时满足下列 条件: (1)当x＜-2时,y随x的增大而增大; (2)当x＞1时,y随x的增大而减小. 如果O是坐标原点,M是AB中点,问是否 存在这样的m值,使△COM的面积等于2或 6?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明 理由?
二次函数的图像和性质
济源市实验中学 初三数序组
b 2 4ac b y y ax bx c a( x ) 2a 4a
2
2
C
A B
O x1
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
x2
1.若（m，a），（n，a）是 抛物线上不同的两点， 则抛物线的对称轴为：直线 m n x1 x2 b x 2 2 2a
2
（3）二次函数的图像可由函数y=ax2-1的图像 向左平移2个单位得到，且过点M(-1,-3)
y a( x 2) 1
（4）图象在x轴上截得的线段长为4，图象 的顶点坐标为P（3，-2）。
y
设y a( x 1)( x 5)
1 5 P(3,-2)
O
x
（5）已知抛物线C与抛物线y=2x2-4x+5关 于x轴对称，求抛物线C 的解析式。 y Y=2(x-1)2+3 (1,3) O (1,-3) x y=2(x-1)2-3 思考：若把抛物线 y=2x2-4x+5绕着顶点旋 转1800
b x 2a
y
C
A B
O x1
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
x2
b x 2a
4、系数b的作用： 和抛物线的对称轴有关。 当ab>0时，对称轴在y轴左侧 当ab<0时，对称轴在y轴右侧 当b=0时，对称轴即为y轴。 以上结论反之也成立。 5、系数c的作用： 和y轴交点的纵坐标， 任何抛物线和y轴必有一个 交点（0，c）。 当c＜0时，交y轴于负半轴； 当c＞0时，交y轴于正半轴； 当c=0时，图象必经过原点。
例2 （1）若二次函数y=x2+2(m-1)x+2mm2的图像经过原点，求m的值
（2）若二次函数y=x2+2(m-1)x+2m-m2的 图像关于y轴对称，求m的值
2m-m2=0,m=2或m=0
2(m 1) 0 m 1 2
（3）二次函数y=(x-a)2+(x-b)2,其中a,b为常 数，当y达到最小值时x的值为_______ （4）直线x=2是抛物线y=ax +bx+c(a>0) 2 2 的对称轴，当 x =0,x =1.5,x a 1 b 2 2 a b 3=3时， y 2( x ) 对应的y值依次是 2 2y1 y1,y2,y3,则它们之 间的大小关系是_____ y3 y2 O 11.5 3 x=2 x
例5.已知点A（-1，-1）在抛物线 y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上 2+10x+1 K=-3,y=8x （1）求抛物线的对称轴； （2）若B点与A点关于抛物线的对称轴对称， 问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？ 如果存在，求符合条件的直线；如果不存 在，说明理由。 解（2）∵ B点与A点关于抛物线的对称轴对称 ∴B点坐标为（x,-1），又B点在抛物线 2 y 8x 10 x 1 上， 1 2 1 8 x 10 x 1解得B点坐标为( ,1)