定积分在几何上应用(面积)
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第五章 定积分及其应用
§6 定积分在几何上的应用
§5.6 定积分在几何上的应用
若能把某个量表示 成定积分,我们就可以 计算了.
一、定积分应用的微元法
问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、
y f ( x)
c
d
右曲线
左曲线
x 5 y 2 和x 1 y 2 所围成的 例4 求抛物线 y 平面图形的面积 .
解 如图求得交点为
5 1 5 1 B1 ( , )和B2 ( , ) 4 2 4 2 1 1 取y为积分变量 y [ 2 , 2 ]
x 5 y2 B1
o
A
s
1 2 1 2
问题： 积分变量只能选x 吗？
例 3
计算由曲线 y 2 2 x 和直线 y x 4 所围
y+dy
y 4 y B x A
成的图形的面积. 解 两曲线的交点
2
y 2x ( 2,2), (8,4). O -2 y x4 选 x为积分变量 x [0,2 ] [2,8]
a
例 1 计算由两条抛物线y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
x y2
解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1] 面积微元 dA ( x x 2 )dx
y x2
2 3 x 1 2 A 0 ( x x )dx x . 3 0 3 3
（3） 求和，得A的近似值 A f ( i )xi .
n
（4） 求极限，得A的精确值
n
i 1
A lim f ( i )xi f ( x )dx 0 a
b
i 1
对以上过程进行简化:
提示 若用A 表示任一小区间
y [ x , x x ]上的窄曲边梯形的面积，
6
sin x dx
0
3
0
3 0
sin x dx 6 sin x dx
6 0
3
o
6
x
sin xdx sin xdx
3
可直接从几何 意义上得到
6 cos x ( cos x ) 0 3
0
3 3 2
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
(3)F f ( x )dx
a
b
两边积分
说明：当所求量 F 符合下列条件
x 的变化区间a , b 有关 （1）F 是与一个变量 的量； （2）F 对于区间a , b 具有可加性，就是说，如果把 区间a , b 分成许多部分区间，则 F 相应地分成许多
部分量，而 F 等于所有部分量之和；
2
8
A [ 2 x ( 2 x )]dx [ 2 x ( x 4)]dx 18.
0
2
选 y 为积分变量
y [2, 4]
y2 dA y4 2 dy 4 A dA
2 4 2
y+dy y
y x4
y (y 4 )dy 18. 2 2
1 2 0
B2
x 1 y2
1 3 2 0
说明:合理选择积分变量会使计算简单.
y2 2 x
一般地:
d y+dy y c y d y+dy y c
y
x 2 ( y)
x 1 ( y)
x ( y)
o x
d
o
x
A ( y )dy
c
xdy
c
d
A [ 1 ( y ) 2 ( y )]dy
（3）部分量 F i 的近似值可表示为 f ( i )xi ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 F
二、用定积分求平面图形的面积
1.直角坐标系情形
y
y f ( x)
Байду номын сангаас
y
y f2 ( x)
x
y f1 ( x )
x
o
a
b
x x x
b x
o
b
a
b x
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
A a f ( x )dx A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
上曲线 下曲线
f ( x )在[a, b]上有正有负 .
1. f ( x)＞0时
dA f ( x )dx
y
y f ( x)
a
x x+dx
b
x+dx
2. f ( x )＜0时 dA f ( x) dx
o
x
b
x
总之 dA f ( x) dx
A
b
a
f ( x ) dx y dx
则 A A，并取A f ( x )dx ， 于是 A f ( x )dx
y f ( x)
dA
面 积 微 元
A lim f ( x )dx a f ( x )dx .
b
o a x x dx bx
这种简化以后的定积分方法叫“微元法”
微元法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间[a , b]； 2）设想把区间[a , b]分成 n个小区间，取其中任一小 区间并记为[ x , x dx ]，求出相应于这小区间的部分 量 F 的近似值.如果 F 能近似地表示为[a , b]上的一 个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与dx 的乘积，就把 f ( x )dx 称为量 F 的微元且记作 dF ，即 dF f ( x )dx ；
A
x b 所围成。
b
o a
b x
A a f ( x )dx
面积表示为定积分的步骤如下 n 个长度为 x i 的小区间， （1）把区间[a , b] 分成
i n 个小窄曲边梯形， 相应的曲边梯形被分为 第
小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 A
Ai .
i 1
n
（2）计算Ai 的近似值 Ai f ( i )xi i xi
1 2
3
1
x+dx
x
可直接由公式得到
求面积的一般步骤：
1.作图求交点. 3.求出定积分的值.
2.用定积分表示面积.
微元法 公式法
y sin x与 直 线 x 例2 求 由 曲 线 及x轴 围 成 的 平 面 图 形 的 积 面.
3
,x
y
6
y=sinx
A 解 由公式得：
§6 定积分在几何上的应用
§5.6 定积分在几何上的应用
若能把某个量表示 成定积分,我们就可以 计算了.
一、定积分应用的微元法
问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、
y f ( x)
c
d
右曲线
左曲线
x 5 y 2 和x 1 y 2 所围成的 例4 求抛物线 y 平面图形的面积 .
解 如图求得交点为
5 1 5 1 B1 ( , )和B2 ( , ) 4 2 4 2 1 1 取y为积分变量 y [ 2 , 2 ]
x 5 y2 B1
o
A
s
1 2 1 2
问题： 积分变量只能选x 吗？
例 3
计算由曲线 y 2 2 x 和直线 y x 4 所围
y+dy
y 4 y B x A
成的图形的面积. 解 两曲线的交点
2
y 2x ( 2,2), (8,4). O -2 y x4 选 x为积分变量 x [0,2 ] [2,8]
a
例 1 计算由两条抛物线y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
x y2
解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1] 面积微元 dA ( x x 2 )dx
y x2
2 3 x 1 2 A 0 ( x x )dx x . 3 0 3 3
（3） 求和，得A的近似值 A f ( i )xi .
n
（4） 求极限，得A的精确值
n
i 1
A lim f ( i )xi f ( x )dx 0 a
b
i 1
对以上过程进行简化:
提示 若用A 表示任一小区间
y [ x , x x ]上的窄曲边梯形的面积，
6
sin x dx
0
3
0
3 0
sin x dx 6 sin x dx
6 0
3
o
6
x
sin xdx sin xdx
3
可直接从几何 意义上得到
6 cos x ( cos x ) 0 3
0
3 3 2
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
(3)F f ( x )dx
a
b
两边积分
说明：当所求量 F 符合下列条件
x 的变化区间a , b 有关 （1）F 是与一个变量 的量； （2）F 对于区间a , b 具有可加性，就是说，如果把 区间a , b 分成许多部分区间，则 F 相应地分成许多
部分量，而 F 等于所有部分量之和；
2
8
A [ 2 x ( 2 x )]dx [ 2 x ( x 4)]dx 18.
0
2
选 y 为积分变量
y [2, 4]
y2 dA y4 2 dy 4 A dA
2 4 2
y+dy y
y x4
y (y 4 )dy 18. 2 2
1 2 0
B2
x 1 y2
1 3 2 0
说明:合理选择积分变量会使计算简单.
y2 2 x
一般地:
d y+dy y c y d y+dy y c
y
x 2 ( y)
x 1 ( y)
x ( y)
o x
d
o
x
A ( y )dy
c
xdy
c
d
A [ 1 ( y ) 2 ( y )]dy
（3）部分量 F i 的近似值可表示为 f ( i )xi ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 F
二、用定积分求平面图形的面积
1.直角坐标系情形
y
y f ( x)
Байду номын сангаас
y
y f2 ( x)
x
y f1 ( x )
x
o
a
b
x x x
b x
o
b
a
b x
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
A a f ( x )dx A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
上曲线 下曲线
f ( x )在[a, b]上有正有负 .
1. f ( x)＞0时
dA f ( x )dx
y
y f ( x)
a
x x+dx
b
x+dx
2. f ( x )＜0时 dA f ( x) dx
o
x
b
x
总之 dA f ( x) dx
A
b
a
f ( x ) dx y dx
则 A A，并取A f ( x )dx ， 于是 A f ( x )dx
y f ( x)
dA
面 积 微 元
A lim f ( x )dx a f ( x )dx .
b
o a x x dx bx
这种简化以后的定积分方法叫“微元法”
微元法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间[a , b]； 2）设想把区间[a , b]分成 n个小区间，取其中任一小 区间并记为[ x , x dx ]，求出相应于这小区间的部分 量 F 的近似值.如果 F 能近似地表示为[a , b]上的一 个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与dx 的乘积，就把 f ( x )dx 称为量 F 的微元且记作 dF ，即 dF f ( x )dx ；
A
x b 所围成。
b
o a
b x
A a f ( x )dx
面积表示为定积分的步骤如下 n 个长度为 x i 的小区间， （1）把区间[a , b] 分成
i n 个小窄曲边梯形， 相应的曲边梯形被分为 第
小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 A
Ai .
i 1
n
（2）计算Ai 的近似值 Ai f ( i )xi i xi
1 2
3
1
x+dx
x
可直接由公式得到
求面积的一般步骤：
1.作图求交点. 3.求出定积分的值.
2.用定积分表示面积.
微元法 公式法
y sin x与 直 线 x 例2 求 由 曲 线 及x轴 围 成 的 平 面 图 形 的 积 面.
3
,x
y
6
y=sinx
A 解 由公式得：