中考考点突破—求几何最值问题的八类题型解析

中考考点突破—求几何最值问题的八类题型解析

一. 考点回顾

最值连续多年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点,求相关线段、线段之和差、面积等最大与最小值。此类问题涉及的知识要点有以下方面:

1.两点之间间线段最短；

2.垂线段最短；

3.三角形的三边关系；

4. 定圆中的所有弦中，直径最长；

5.圆外一点与圆的最近点、最远点；

6.借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二次函数的最值问题。命题特点侧重于在动态环境下对多个知识点的综合考查。

二.例题分析

由于这类问题目标不明确，具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、模型思想、特殊与一般相结合、转化思想和化归思想、分类讨论思想、函数和方程思想、从变化中寻找不变性的数学思想方法、逻辑推理与合情猜想相结合等思想方法。解这类试题关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破。

题型一:添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决

1.（2019春•仪征市期中）如图，正方形ABCD边长为3，点E、F是对角线AC

上的两个动点（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF的最小值是_____ ．

题型二:利用轴对称求最短路线问题

此类利用轴对称求最短路线问题一般都以轴对称图形为题设背景,如圆、正方形、菱形、等腰梯形、平面直角坐标系等.首先根据题意画出草图，利用轴对称性找出对应线段之间的相等关系，从而把所求线段进行转化，画出取最小值时特殊位置，两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的是将军饮马模型问题。

2.（2019春•温州期中）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝17，BC＝7，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边BC、DC上的点，连结OE、OF、EF．则△OEF周长的最小值是 ______．

解题策略：

1.画图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型；

2.学会转化，利用轴对称把线段之和转化在同一条直线上．

题型三:利用垂线段最短求线段最小值问题

3-1.（2019春•陆川县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）

A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5

【解答】连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，

∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，

即当CP⊥AB时，PC最小，

∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴PC的最小值为：AC·BC/AB＝4.8．

∴线段EF长的最小值为4.8．故选：C．

3-2. （2019•临颍县一模）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边上的一个动点，∠BAD＝120°，菱形ABCD的周长为24，则OE的最小值等于（）

【解题策略】1.观察发现，分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系，2.画图转化，根据内在联系转化相关线段,应用"垂线段最短" 求出相关线段的最小值。

题型四:三角形的三边关系-线段之差最大问题类型

4-1．（2019•东台市模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为 _____．

4-2．（2018秋•福州期末）如图，等边三角形ABC中，D是边BC上一点，过点C作AD的垂线段，垂足为点E，连接BE，若AB＝2，则BE的最小值是_______．

解题策略：结合已知定长线段，利用三角形的三边关系，找出最大值时的特殊位置，线段之差最大问题.

题型五:圆的有关最值

5-1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），

∴AB＝1﹣（1﹣a）＝a，CA＝a+1﹣1＝a，∴AB＝AC，

∵∠BPC＝90°，∴PA＝AB＝AC＝a，

如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，

∵A（1，0），D（4，4），∴AD＝5，∴AP′＝5+1＝6，∴a的最大值为6．故选：D．

解题策略：

1. 描述点的运动轨迹，找出特殊位置，化动为静；

2. 综合题中已有条件，分析其中不变元素，恰当转化.

5-2.（2019•日照一模）如图，已知直线y＝3x/4 -3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最小值是（）

A．6 B．5.5 C．5 D．4.5

题型六:构建变量表达式，利用配方法求最值

6-1.（2019•泸县模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AB上的点，且∠B＝∠ADE＝∠DAC，如果△ABC，△EBD，△ADC的周长分别记为m，m1，m2，则的最大值是_____．

题型七:利用二次函数的性质求最值问题值

7-1.（2019•合肥模拟）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E为线段AD上一点，且DE＝2AE，点G是线段AB上的动点，EF⊥EG交BC所在直线于点F，连接GF．则GF的最小值是（）

A．3 B．6 C．6√2 D．3√5

【解答】如图，过点F作FM⊥AD于M，

∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠EMF＝90°，MF＝AB＝6，

∵EF⊥GE，∴∠AGE+∠AEG＝90°，∠AEG+∠MEF＝90°，∴∠AGE＝∠MEF，7-2．（2019•宁德一模）如图，已知正方形ABCD中，点E是BC上的一个动点，EF⊥AE交CD于点F，以AE，EF为边作矩形AEFG，若AB＝4，则点G 到AD距离的最大值是______．

解题策略：此类问题中，无法通过轴对称或画草图得出何时所求线段或面积的