高数论文--第二类曲面积分的计算方法
总结第二类曲面积分的若干种求法
摘要：曲面积分是多元函数的重要组成部分，也是考研时高等数学的必考内容，因此，掌握求第二类曲面积分的方法和技巧尤为重要。由于第二类曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，下面我们就第二类曲面积分的计算方法进行归纳和总结。
Abstract: the surface integral is an important part of multivariate function, also is when one's deceased father grind higher mathematics study content, therefore, to master and the second curved surface integral method and the skill is especially important. Due to the second curved surface integral of abstract concepts, calculation method of flexible, here we have the second surface integral calculation method of induction and summary.
.关键词：第二类曲面积分高等数学求法
Key words: the second category of surface Higher mathematics Calculation method
引言：在高等数学课程中国，有关曲面积分，尤其是第二类曲面积分（即对坐标的曲面积分）的计算是一个重点也是一个难点。下面我们利用公式法（即定义法），高斯公式，斯托克公式，利用两类曲面积分之间的关系，合一投影法，五种方法进行解题。
1.公式法
直接利用公式来计算就是通过投影，把第二类曲面积分化为二重积分来计算。可以直接利用下列公式。
若曲面积分是由方程z=z(x,y) 所给出的，其在xOy坐标面上的投影区域为Dxy，函数z=z(x,y) 在Dxy上具有一阶连续偏导数，被积函数R(x,yxz)在上连续，则
第一型曲面积分.
例5? 设有空间闭区域仏={（x 』,z ）|L 十b + z* 炉,z"}, 。2 ={（*』，Z ）|x2 + y' + z* 炉,xno 』no,zno},则有（「） (A) Jff = 4fJf xdv a \ 口 2 (C) JjJ 皿=4jJJz 加 2 n 2 解：由对称性， JJj xdv = 0, JJJ xdv JJf ydv = 0, JJf ydv 工? n. ?2 Jjj xyzdv = 0, JJJ xyzdv □ 门2 3.含绝对值函数的二重积分的计算 例1计算血-兀2|db ?其中6-1 W0"" 解 先去掉绝对值符号，如图 川y_p|db D =jj (x 2-j)da + JJ(y-x 2 )da Di 4-D J D 、 訂:时:（宀刃与+匸时:0-兀湎=*? (B) |JJ ydv = 4jjj ydv
4、交换积分次序的方法 1.计算fdxfxb - dy 解由于卜一心堤无法积出类型，则需交 换积分次序， y \ /歹=x V D： O^x 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 0 前言 (1) 1直接利用公式进行计算 (1) 2利用积分曲面的对称性进行计算 (3) 3利用两类曲面积分之间的联系进行计算 (6) 4利用高斯公式进行计算 (6) 参考文献 (9) 探讨第二型曲面积分的计算方法 姓名：李亚平 学号：20105031272 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导老师：张萍 职称：讲师 摘 要：本文总结了有关第二类曲面积分的几种算法，对每种计算方法均配以典型例题加以诠释． 关键词：曲面积分；二重积分；投影区域；高斯公式． The application of symmetry to the calculation of curvilinear integral and camber integral Abstract:Some theorems and methods for simplifying curvilinear integral and camber integral calculations by means of symmetry have been introduced in this essay ．And the proves of theorems is also included ． Key Words ：symmetry ；curvilinear integral ；camber integral ；gauss formula ． 0 前言 众所周知，第二型曲面积分的计算比较繁琐，但是若能分类，利用曲面的对称性、两类曲面积分之间的联系、高斯公式、图形结合等方法系统的来解答第二型曲面积分，有时候就能使第二型曲面积分的计算相对简单、易懂，故此篇文章就第二型曲面积分的几种常见计算方法为中心进行展开讨论． 1 利用公式直接进行计算 大家知道，若()z y x R ,,在光滑有向曲面()()xy D y x y x z z ∈=∑,,,:上连续，则()??∑ dxdy z y x R ,,存在，且有计算公式： ()()()d x d y y x z y x R d x d y z y x R xy D ????±= ∑,,,,, (1) 其中xy D 表示∑在xOy 面上的投影区域，当曲面取上侧时(1)的右端取“+”号，取下侧时取“—”号． 第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词： 曲面积分；曲线积分 1 引 言 第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的 重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 2 第二型曲线积分 例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线 o （0，0） 的弧. 方法一：利用格林公式法 L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ?? ??+=- ????????，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的. 解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L , ()()()()()()1 1 sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy =-++---++-?? 记为12I I I =- ， 则由格林公式得：()1cos cos x x D D Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ??????????? ()()22 D b a dxdy a b a π =-= -?? 其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0 第二类曲面积分的计算方法 赵海林 张纬纬 摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++ , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 cos .S v S v n θΦ==?? 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. 师范大学 本科毕业论文 题目：第二型曲线积分与曲面积分的计算方法专业：数学与应用数学 系班：数学与信息科学系2006级数本2班毕业年份： 姓名： 学号： 指导教师： 职称：教授 目录 本科毕业论文任务书 (1) 本科毕业论文开题报告 (3) 本科毕业论文登记表 (5) 毕业论文论文正文文稿 (7) 本科毕业论文答辩记录 (15) 西北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 学生姓名系、专业、班级 数学与信息科学系 数学与应用数学2006级数本2班 毕业年份2010年学号 指导教师职称教授 一、文献查阅指引 1. 查阅的专著 [1] 华东师大数学系. 数学分析(下)[M]，第三版. 高等教育出版社，2001，224-231. [2] 刘玉琏，傅沛仁等.数学分析讲义(下)[M]，第四版.高等教育出版社，2003，75-388. [3] 林源渠，方企勤. 数学分析解题指南[M]. 北京大学出版社，2001，38-362. [4] 陈文灯. 数学复习指南[M]. 世界图书出版社，2000，276-287. [5] 田勇.硕士研究生入学考试历年真题解析[M]. 机械工业出版社，2002，175-188. [6] 华中科技大学数学系.考研特别快车—数学[M].华中科技大学出版社，2001，04-212 2. 查阅的学术论文及期刊 [1] 孙一生.第二型曲线与曲面积分计算的基本方法与技巧[J].《哈尔滨师范大学自然 科学学报》，1989，5（2）：106-112 . [2] 陈少元.第二型曲线积分计算方法与技巧[J]. 科技信息（学术版），2007（1）. 3. 查阅的相关网站 [1]http //https://www.360docs.net/doc/f92361774.html,/Periodical_lygzyjsxyxb200604029.aspx . 二、内容要求 1. 提出第二型曲线积分与曲面积分的基本计算方法. 2. 查阅相关的资料、书籍对所用到的基本计算方法进行分析，并加以概括与总结. 3. 论文中所用到的实例必须具有典型代表性，而且逻辑推理性强、分析恰当. 4. 论文可以借鉴相关的研究成果，但不能抄袭. 第二类曲面积分的计算方法 赵海林张纬纬 摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中， 必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二 型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌 握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题 型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说 明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第 一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系， 让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的 应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++v v v v , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++v v v v 则 若∑为曲面，流速v v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =v v 和单位法向量i n v 分别代替 i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限 2.1.2 定义 例1．计算积分1dS z ∑??，∑是球面2222 x y z R ++=被平面z h =（0h R <<）截出的 顶部。 例2．计算积分xydS ∑ ?? ò，∑是圆柱面221x y +=与平面0z =，2x z +=围成的立体的 全表面。 例3．求()(,,)F t f x y z dS ∑ = ?? ，其中∑为2222x y z t ++=（0t >） ，被积函 数2(,,)0 z x y f x y z z ≥?+=? ?< 例4．计算积分 222 1dS x y z ∑++??，⑴∑是球面2222 x y z R ++=；⑵∑是介于平面0z =，1z =之间的圆柱面222x y R +=。 例5．计算积分2z dS ∑ ?? ，其中∑：2222x y z R ++=。 例6．计算积分()x y z dS ∑ ++?? ，∑是上半球面2222x y z ++=被旋转抛物面22 z x y =+截出的顶部。 例7．计算曲面积分 ()xy yz zx dS ∑ ++?? ，∑ 为锥面z =被圆柱面222x y ay +=（0a >）所截下的部分。 例8．计算半径为a 的均匀半球壳的重心。 例1．计算积分1dS z ∑??，∑是球面2222 x y z R ++=被平面z h =（0h R <<）截出的顶部。 解：∑ ：z = xoy 面上的投影区域D ：2222x y R h +=-， = = 1dS z ∑??σ=?? 222 D R d R x y σ=--??22D R rdrd R r θ=-??22200r R d dr R r πθ=-? 积分（二重，三重积分，第一类曲线，曲面积分）的定义 和性质 CH 19 积分(二重，三重积分，第一类曲线，曲面积分)的定义和 性质 1(重积分的概念 n (1) 定义:二重积分表示一种类型和式的极限,limf(,,,),,，三重积分表 f(x,y)d,,iii,,,,0,1iD n f(x,y,z)dV示,limf(,,,,,),v,其值均取决于被积函数的对应规则和积分 区,iiii,,,,,0,1iD 域，而与积分变量的记号无关。连续是可积的充分条件，二者的不同点是:二重积分的被积函数 是定义在平面区域上的二元函数，而三重积分的被积函数是定义在空间区域上的三元函数。 D, f(x,y),0z,f(x,y)(2) 几何与物理意义:当时，表示以曲面为曲顶，以为 Df(x,y)d,,,D ,,f(x,y)f(x,y,z),0底的柱体体积，或表示以面积密度的平面薄片的质量。当，D ,,f(x,y,z)f(x,y,z)dV表示体密度的空间立体的质量。 ,,,,D (3) 性质:重积分具有与定积分类似的线性性质，对区域的可加性，积分不等式，以及积分中值定理。 2(第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义 (1) 由曲线形构件的质量问题引入对弧长的曲线积分，其定义简记为 n ,limf(,,,),S f(x,y)ds,iii,,,0,1il f(x,y)ll其中函数在曲线上有定义切有界，是对的任意分割下的段的长度，i,SS,0ii ,,max{,S}。 i1,i,n (2) 由求变力沿曲线所作功等问题，可引入对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)的概念，其定 义简记为 n ,limP(,,,),x P(x,y)dx,iii,,,0,1il n ,limQ(,,,),y Q(x,y)dy,iii,,,0,1il ,ll ，的意义同前，，为小弧段在坐标轴上的投影，其正负与的方向有 关。 ,x,yii 3(两类曲面积分的定义 (1) 由计算曲面片的质量问题引入对面积的区面积分，其定义简记为 n f(x,y,z)dS ,limf(,,,,,),S ,iiii,,,,0,1i, f(x,y,z)其中在曲面上有定义，是的任意分割下第块的面积(，)i,S,,S,0ii ,,max{,S的直径}。 i1,,in (2) 第二类曲面积分 P(x,y,z)dydz，Q(x,y,z)dzdx，R(x,y,z)dxdy,,, n 第二类曲面积分的计算 方法 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 第二类曲面积分的计算方法 赵海林张纬纬 摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公 式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过 程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧. 由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知 识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在 求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种 方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分， 并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重 积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第 二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++, ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限 定义 .S S i i 的面积，他们的符号由的方向来确定若的法线正向与轴正向成锐角时, z .S xy i i i S xoy S z ?在平面的投影区域的面积为正反之,若法线正向与轴正向成钝角时, .S xy i i xoy S ?他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面上任取一点,(,) i i i ξηζ. 若 lim 1 T n i P →=∑,(,)i i i ξηζyz i S ?0 lim 1 T n i Q →=+ ∑,(,)i i i ξηζzx i S ?0 lim 1 T n i R →=+ ∑,(,)i i i ξηζxy i S ?存在， 或者 龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/f92361774.html, 第二型曲面积分的计算方法 作者：周三章赵大方 来源：《科教导刊》2014年第24期 摘要本文从化归的角度，介绍利用高斯公式和合一投影法简化第二型曲面积分的计算，并结合实例予以说明。 关键词第二型曲面积分高斯公式合一投影法 中图分类号：O172.2 文献标识码：A Methods of Computing the Second Surface Integral ZHOU Sanzhang[1]， ZHAO Dafang[2] （[1]College of Mechatronics and Control Engineering， Hubei Normal University，Huangshi， Hubei 435002； [2] College of Mathematics and Statistics， Hubei Normal University， Huangshi， Hubei 435002） Abstract This paper introduces how to simplify the caculation of the Second Surface Integral by utilizing the Gauss formula and Projection method， there application are illustrated by some typical example. Key words the second surface integral； Gauss formula； projection 高等数学的学习中，第二型曲面积分的计算是一个难点。计算第二型曲面积分方法比较多，计算的难易程度也不同。如果运用化归的思想，通常可以达到事半功倍的效果。化归的思想具体表现在运用合一投影法，高斯公式简化求解过程。本文以几例具体来说明以上两种 计算方法。 1 利用高斯公式转化为三重积分计算 引理[1]：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数（），（），（）在具有一定阶连续偏导数，则有 （ + + ） = + + ， 或 第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (), (βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α (1.10) 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? (1.11) 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? (1.12) 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ αd r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=?? 例5（E03）计算 ,||? L ds y 其中L 为双纽线（图10-1-4）)()(222222y x a y x -=+的 弧. 解 双纽线的极坐标方程为 .2cos 2 2θa r = 用隐函数求导得 ,2sin ,2sin 22 r a r a r r θ θ- ='-=' 第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性， 参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 第二类曲面积分的计算 方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 第二类曲面积分的计算方法 赵海林张纬纬 摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公 式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程 中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面 广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++, ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替 i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限 第一节 第一类曲面积分 内容要点 一、 第一类曲面积分的概念与性质 定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ?(i S ?同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ?上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积 ),,2,1(),,(n i S f i i i i =??ζηξ 并作和 ,),,(1 ∑=??n i i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在, 则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为 ∑??=→∑ ?=n i i i i i S f dS z y x f 10 ),,(lim ),,(ζηξλ (4.2) 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法 .),(),(1)],(,,[),,(22 ????++=∑xy D y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f (4.3) 例题选讲 例 1 计算曲面积分,??∑z dS 其中∑是球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部. 解 ∑的方程为.222y x a z --= ∑在xOy 面上的投影区域:xy D {} .),(2222h a y x y x -≤+ 又,12 2 2 22 y x a a z z y x --= ++利用极坐标 故有 ?? ?? -=∑ xy D r a adxdy z dS 22 220 202 22 2r a rdr d a r a ardrd h a D xy -=-=? ? ?? -θ θ π 2 20 22)(212h a r a In a -??????--=π .2h a aIn π= 例2（E01）计算,)(??∑ ++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面252 2=+y x 所截得的部分. 解 积分曲面 ∑-=,5:y z 其投影域},25),({22≤+=y x y x D xy 万方数据 万方数据 第二类曲面积分的五种求法 作者：吴燕 作者单位：东南大学,吴健雄学院,江苏,南京,210018 刊名： 考试周刊 英文刊名：KAOSHI ZHOUKAN 年，卷(期)：2009，""(33) 被引用次数：0次 参考文献(2条) 1.严子谦数学分析 2004 2.同济大学数学教研室高等数学 2001 相似文献(6条) 1.期刊论文甘泉第二型曲面积分的参数形式计算 -高等数学研究2010,13(1) 给出"第二型曲面积分"的一种计算方法,即在曲面的参数形式下直接将曲面积分转化成参数区域上的一个二重积分,由此可使"第二型曲面积分"的计算问题得到简化.此法是对菲赫金哥尔茨<微积分学教程>所给"第二型曲面积分的参数形式计算"的一个改进. 2.期刊论文陈定元.王业庆.CHEN Ding-yuan.WANG Ye-qing一种有效计算第二型曲面积分的方法-安庆师范学院学报(自然科学版)2008,14(1) 第二型曲面积分的计算是高等数学中的一个难点.利用二重积分和高斯公式计算第二型曲面积分不是很方便,借助第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系,得出了一种有效计算第二型曲面积分的方法:向量形式计算法,该方法避免了传统计算方法对曲面侧面的判定和高斯公式条件的限定,物理意义明确,计算过程简单. 3.学位论文邓乐斌黎曼积分中的问题和反例2007 20世纪初期，勒贝格(Lebesgue)测度与积分理论的发展奠定了近代分析数学的基础，而这一变革和发展的根基就是经典的黎曼(Riemann)积分。因而Riemann积分的概念和理论是十分重要的．在数学分析的教学中，Riemann积分占据了主导内容，同时也是学习数学分析的后续课程一常微分方程、复变函数论、实变函数论、概率论以及力学课程的重要基础。 本文主要分析探究了高等数学和数学分析教材中的积分计算和积分证明中出现的错误，总结了正确解决这些问题所需要注意的问题，事实证明正确理解Riemann积分的相关概念和性质是关键。 本文具体由以下六章构成： 第一章介绍了相关背景和本文选题的动机和意义。 第二章述叙了不定积分、定积分、第二型曲面积分的有关定义、性质和计算方法。 第三章给出了现行的高等数学教材中出现的不定积分中的常见错误。 第四章总结了定积分证明或计算中出现的常见错误。 第五章分析了第二型曲面积分计算中的错误以及应该注意的问题。 第六章对Riemann积分中容易出现的错误进行了小结，并指出正确理解Riemann积分的概念是正确解题的基础。 4.期刊论文杨孝先.殷保群计算第二型曲面积分的实例分析-高等数学研究2001,4(1) 今以同济大学数学教研室编<高等数学>(第四版)下册,总习题十的第3题第(4)小题为例,介绍几种计算曲面积分的方法,并简单地给出了该小题的正确解答. 5.期刊论文尹水仿关于对称性在积分计算中的应用补遗-高等数学研究2002,5(1) <高等数学研究>杂志第4卷第1期介绍了对称性在二重积分、三重积分、第一型曲线积分和第一型曲面积分计算中的应用,其方法可参见该期杂志P24-27.除以上应用外,本文还要介绍对称性在第二型曲线积分和第二型曲面积分计算中的应用. 6.期刊论文梁存利高数考研中有关曲面积分问题的求解方法-考试周刊2009,""(46) 最近几年考研高等数学试题中所出现的有关曲面积分的问题主要有第一型曲面积分、第二型曲面积分的计算,以及有关性质的考查.本文以考研高等数学试题为例探讨了曲面积分问题的主要的求解方法,即利用公式转化为二重积分的方法、利用对称性求曲面积分的方法、高斯公式法,以及利用两种曲面间的关系法等. 本文链接：https://www.360docs.net/doc/f92361774.html,/Periodical_kszk200933061.aspx 授权使用：铁道学院(tdxy)，授权号：5e3ab8ec-76cb-4f51-a35f-9da5014bbc6f，下载时间：2010年6月30日 曲线积分和曲面积分的计算 第21章 曲线积分和曲面积分的计算 教学目的： 教学重点和难点： §1 第一类曲线积分的计算 设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续，l 的方程为 ()()() ()0x x t y y t t t T z z t =?? =≤≤?? =? 则()()()() ,,,,T l t f x y z ds f x t y t z t =???? 。 特别地，如果曲线l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为()y x ?=，()a x b ≤≤，那么有 ((,) , ()b l a f x y ds f x x ?=? ?。 例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π ≤≤t 0。求22()l x y ds +?。 例：设l 是曲线x y 42 =上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第 一类曲线积分l yds ?。 例：计算积分2l x ds ?，其中l 是球面2 222 a z y x =++被平面0=++z y x 截 例：求()l I x y ds =+?，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直 §2 第一类曲面积分的计算 一 曲面的面积 （1）设有一曲面块S ，它的方程为 () ,z f x y =。(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。则该曲面块的面积为 xy S σ=??。 （2）若曲面的方程为 () ()() ,,,x x u v y y u v z z u v =?? =?? =?, 令 222 u u u E x y z =++， u v u v u v F x x y y z z =++，2 22 v v v G x y z =++， 则该曲面块的面积为 S ∑ =。 例：求球面2 222x y z a ++=含在柱面()2 20x y ax a +=>内部的面积。 例：求球面2222 x y z a ++=含在柱面() 2 20x y ax a +=>内部的面积。 二 化第一类曲面积分为二重积分 （1）设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。曲面S 的方程为(),z f x y =。(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。则 ()( ),,,,,xy S x y z dS x y f x y σφφ=????????。 第二十一章 曲线积分和曲面积分的计算 §1. 第一类曲线积分的计算 1． 计算下列第一型曲线积分： (1) 22()L x y ds +?，其中L 是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形； (2) ?，其中L 是圆周22x y ax +=； (3) L xyzds ?，其中L 为螺线cos ,sin x a t y a t ==,(0),02z bt a b t π=<<≤≤； (4) 222()L x y z ds ++?，其中L 与(3)相同； (5) 4433()L x y ds +?，其中L 为内摆线222333x y a +=； (6) 2L y ds ?，其中L 为摆线的一拱(sin ),(1cos ),02x a t t y a t t π=-=-≤≤； (7) L xyds ?，其中L 为球面2222x y z a ++=与平面0x y z ++=的交线； (8) ()L xy yz zx ds ++?，其中L 同(7)； (9) L xyzds ?，其中L 是曲线21,(01)2x t y z t t == =≤≤； (10) ?，其中L 是2222x y z a ++=与x y =相交的圆周． 2． 设曲线L 的方程为 cos ,sin ,t t t x e t y e t z e === 0(0) t t ≤≤， 它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比，且在点(1,0,1)处为1，求它的质量． 3． 若曲线以极坐标给出：()ρρθ=12()θθθ≤≤，试给出计算(,)L f x y ds ?的公式，并用此公式计算下列曲线积分： (1) L ?，其中L 是曲线(0)4a πρθ=≤≤； (2) L xds ?，其中L 是对数螺线(0)k ae k θρ=>在圆r a =内的部分． 4． 求螺线的一支L ：cos ,sin ,(02)2h x a t y a t z t t ππ=== ≤≤对x 轴的转动惯量22()L I y z ds =+?．设此螺线的线密度是均匀的． 第二型曲线曲面积分的计算方法 PB07210153 刘羽 第二型曲线曲面积分与第一型曲线曲面积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线曲面积分分别可以看成是定积分与二重积分的更一般情况，其意义较易理解，计算也相对比较简单。而第二型曲线曲面积分又称为对坐标的积分，具有第一型不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，分别是变力沿曲线做功和向量场过曲面的通量，这在物理学上有重要的应用，与格林定理，斯托克斯定理，高斯定理紧密相关，是微积分中的重点和难点，以下简单介绍第二型曲线曲面积分的常用计算方法。 1．第二型曲线积分计算方法 向量场F Pi Q j Rk =++ ，τ 是曲线L 上指向指定方向的单位切向量，则称形式积分L L Pdx Qdy Rdz F dl τ++=?? 为第二型曲线积分，右端是F τ 在L 上第一型曲线积分。这里要理解τ 的方向性，dx i dl τ= 是有向曲线微元dl τ 在 Ox 轴方向投影，dx 可正可负（与定积分不同），这正是第二型曲线积分具有方向性的原因。 计算第二型曲线积分的方法主要有定义法，参数法，利用性质以及利用Green 公式和Stokes 公式。 （1）定义法 当已知或易于表达时，可考虑用定义法，一般用得较少。 （2）参数法 参数法是计算第二型曲线积分最常用的方法，将其转化为定积分，应用时要特别注意上下限的确定（根据所给的方向而不是大小）。 设有向曲线L 的参数方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t),其起点对应t=a ，终点对应t=b ，则 L P d x Q d y R d z ++?= [((),(),())'()((),(),())'()((),]b a P x t y t z t x t Q x t y t z t y t P x t y t z t z t d t ++? 计算时只要将所有量（包括微分量）用参数变量表示出来即可，不需记忆此式。 例 1 求曲线积分L ydx zdy xdz ++?，其中L 是2x y +=与 2222()x y z x y ++=+的交线，从原点看去是逆时针方向。 解：在曲线L 满足的方程组中消去y 并化简得222(1)2x z -+=，可知L 在Ozx 平面上的投影曲线是椭圆222(1)2x z -+=，注意到坐标原点在平面2x y +=的 探讨第二型曲面积分的 计算方法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 0 前言 (1) 1 直接利用公式进行计算 (1) 2 利用积分曲面的对称性进行计算 (3) 3 利用两类曲面积分之间的联系进行计算 (6) 4 利用高斯公式进行计算 (6) 参考文献 (9) 探讨第二型曲面积分的计算方法 姓名：李亚平 学号：272 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导老师：张萍 职称：讲师 摘 要：本文总结了有关第二类曲面积分的几种算法，对每种计算方法均配以典型例题加以诠释． 关键词：曲面积分；二重积分；投影区域；高斯公式． The application of symmetry to the calculation of curvilinear integral and camber integral Abstract:Some theorems and methods for simplifying curvilinear integral and camber integral calculations by means of symmetry have been introduced in this essay ．And the proves of theorems is also included ． Key Words ：symmetry ；curvilinear integral ；camber integral ；gauss formula ． 0 前言 众所周知，第二型曲面积分的计算比较繁琐，但是若能分类，利用曲面的对称性、两类曲面积分之间的联系、高斯公式、图形结合等方法系统的来解答第二型曲面积分，有时候就能使第二型曲面积分的计算相对简单、易懂，故此篇文章就第二型曲面积分的几种常见计算方法为中心进行展开讨论． 1 利用公式直接进行计算 大家知道，若()z y x R ,,在光滑有向曲面()()xy D y x y x z z ∈=∑,,,:上连续，则 ()??∑ dxdy z y x R ,,存在，且有计算公式： ()()()dxdy y x z y x R dxdy z y x R xy D ????±=∑ ,,,,, (1) 其中xy D 表示∑在xOy 面上的投影区域，当曲面取上侧时(1)的右端取“+”号，取下侧时取“—”号．探讨第二型曲面积分的计算方法
第二型曲线积分与曲面积分的计算方法
第二类曲面积分的计算方法
数学专业毕业论文-第二型曲线积分与曲面积分的计算方法
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(完整版)第一类曲面积分习题
积分(二重,三重积分,第一类曲线,曲面积分)的定义和性质
第二类曲面积分的计算方法
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第十一章 曲线积分与曲面积分经典例题
第二类曲线积分的计算22749
第二类曲面积分的计算方法定稿版
曲面积分精解
第二类曲面积分的五种求法
曲线积分和曲面积分的计算
第二十一章曲线积分和曲面积分的计算
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探讨第二型曲面积分的计算方法