相似三角形添加辅助线的方法举例有答案

相似三角形添加辅助线的方法举例

例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2＝2CD ·AC ．

例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE

（1）如果AB CE ⊥，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数；

（2）设BCE ∆和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =

，试求AE

BE

的值

例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，AD AF 31=

，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC

的值．

B

C

D

例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________.

例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．

例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BD

AC AB

．

相似三角形添加辅助线的方法举例答案

例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2＝2CD ·AC ．

分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证

BC

AC

CD BC =

2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．

证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ，

∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ， 又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ．

∴ △BCE ∽△ACB ．

∴

BC AC CE BC =， ∴BC

AC

CD BC =

2 ∴BC 2＝2CD ·AC ． 证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ， ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°， 又∵BD ⊥AC ．

∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， ∴∠E=∠DBC ， ∴△EBC ∽△BDC

∴BC CE CD BC =即BC

AC CD BC 2= ∴BC 2＝2CD ·AC ． 证法三（构造

BC 21） ：如图，取BC 的中点E ，连结AE ，则EC=BC 2

1

．

又∵AB=AC ，

∴AE ⊥BC ，∠ACE=∠C ∴∠AEC=∠BDC=90° ∴△ACE ∽△BCD ．

∴BC AC CD CE =即BC

AC

CD BC

=21． ∴BC 2＝2CD ·AC ． 证法四（构造

BC 21）：如图，取BC 中点E ，连结DE ，则CE=BC 2

1

． ∵BD ⊥AC ，∴BE=EC=EB ，

∴∠EDC=∠C

又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ， ∴△ABC ∽△EDC ．

B

C

E

B

C

B

B C

∴

EC

AC

CD

BC

=J即

BC

AC

CD

BC

2

1

=．

∴BC2＝2CD·AC．

说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．例2．已知梯形ABCD中，BC

AD//，AD

BC3

=，E是腰AB上的一点，连结CE

（1）如果AB

CE⊥，CD

AB=，AE

BE

3

=，求B

∠的度数；

（2）设BCE

∆和四边形AECD的面积分别为

1

S和

2

S，且

2

1

3

2S

S=，试求

AE

BE

的值

（1）设k

AE=，则k

BE

3

=

解法1如图，延长BA、CD交于点F

BC

AD//，AD

BC3

=，∴AF

BF3

=∴k

AF2

=，E为BF的中点

又BF

CE⊥CF

BC=，又BF

CF=∴BCF

∆为等边三角形故︒

=

∠60

B

解法2如图

作AB

DF//分别交CE、CB于点G、F

则DF

CE⊥，得平行四边形ABFD

同解法1可证得CDF

∆为等边三角形

故︒

=

∠

=

∠60

1

B

解法3如图

作EC

AF//交CD于G，交BC的延长线于F

作AB

GI//，分别交CE、BC于点H、I

则GI

CE⊥，得矩形AEHG

CE

AF//

∴3

=

=

AE

BE

CF

BC

，