波的能量能流密度

单位Biblioteka Baidu积介质内的能量
W x 2 2 2 w A sin [ ( t ) 0 ] w( x , t ) dv u
2.平均能量密度 能量密度在一个周期内的平均值。
1 T x 1 sin [ ( t )]dt u T
2

t T
t

t T
t
1 x 1 [1 cos 2 ( t )]dt 2 u 2
1 x 2 2 2 dWk dWp dVA si n ( t ) 2 u 表明：质元的总能量随时间作周期性变 3.波动的能量 化，时而达到最大值，时而为零 x dW dWk dWp dVA2 2 si n2 ( t ) u 4.结论 意味着：在由波传播的细棒中有能量在传播
T
T 0
Pdt w uS
• 能流密度
垂直通过截面单位面积上的平均能流。
dP 1 I w u A2 2 u dS 2
u
S
波强
J
例 证明球面波的振幅 与离开其波源的距离成反比， 并求球面简谐波的波函数. 证 介质无吸收，通过 两个球面的平均能流相等. 1uS1 2 uS2
一、波的动能、势能和能量
波的传播过程就是振动的传播过程。波到哪里， 哪里的介质就要发生振动，因而具有动能；同时由 于介质元的变形，因而具有势能，因此波传到哪里， 哪里就有机械能。这些机械能来自于波源。可见， 波的传播过程即是振动的传播过程，又是能量传递 过程。在不传递介质的情况下而传递能量是波动的 基本性质。 介质的动能与势能之和称为波的能量。
分析
y A
u
B
y v最小, 也最小 x
O
x
y v最大, 也最大 x
上 下
形变最小 振速 最小
时刻波形
未起振的体积元
抖 动
形变最大 振速 最大
二、 能量密度
1. 能量密度
x W Wk W p ( dv ) A sin [ ( t ) 0 ] u
2 2 2
① 任一时刻介质元的动能等于势能，且相位相同，与振动系 统的动能与势能总有π/2相位差不同。 ② 振动系统的机械能守恒，而波动过程中，能量不守恒。波 动过程中，沿波的传播方向，介质元不断地通过振动由后面的 质元获得能量，又不断地把能量传播给前面的质元，波是能量 传递的一种形式。 ③ 在平衡位置时质元具有最大动能和势能，在最大振幅处动 能和势能为零。在回到平衡位置时从相邻质元吸收能量，离开 时放出能量。
w
1 T

T 0
wdt 1 A2 2 在一个周期内介质传递的能量是
2
(该式与坐标无关，说明平面波
一样的，介质中无能量积累。）
三、能流和能流密度
在单位时间内垂直通过某一截面的能量为通过该面的能流
wutS P wuS t
取其时间平均值，便有平均能流
u
u△t
s
1 波的功率 P
1.波动的动能
以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
O O
波函数
x
dx
x
y dy
y
x
x y x y A cos ( t ) v A si n ( t ) t u u
•质元的动能
1 1 2 dWk dm v dV v 2 2 2
1 x 2 2 2 dWk dVA si n ( t ) 2 u
s2
s1
r1
r2
即
1 1 2 2 2 2 2 2 A1 u4 πr1 A2 u4 πr2 2 2
A1 r2 A2 r1
A0 r0 r y cos ( t ) r u
式中
r
为离开波源的距离， A0 为
r r0 处的振幅.
2.波动的势能
弹性势能 O
1 2 dWP k dy 2
F l E S l
F
弹性模量
x
dx
O
y y dy
u E
x x

ES l l
1 1 dy 2 2 dWP k dy ESdx( ) 2 2 dx
SE k dx
1 dy 2 y A si n ( t x ) 2 u dV ( ) x u u 2 dx 1 x 2 2 2 dVA si n ( t ) 2 u