第三章命题逻辑的公式

第三章命题逻辑的公式
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第三章命题逻辑的公式
第一节现代命题逻辑简介
一、现代命题逻辑与传统命题逻辑的区别与联系
1、现代命题逻辑与传统命题逻辑的联系
从上一章我们对复合命题及其推理的学习中我们可以看出：复合命题推理所依据的是推理中复合命题的逻辑性质。

复合命题的逻辑性质和构成复合命题的命题联结词有关，与构成复合命题的简单命题的内部结构无关。

因此，考察这种推理是否有效，形式上是否正确，用不着分析推理中所包含的简单命题的内部结构。

从这个意义上说，简单命题是命题逻辑研究中的最基本单位。

这是传统命题逻辑和现代命题逻辑的共同点。

2、现代命题逻辑与传统命题逻辑的区别
A、语言
传统命题逻辑采用的是日常语言。

日常语言的特点是含义丰富，能够表达丰富多彩的思想内容。

其缺点是容易产生歧义，缺乏确定性。

例如：对于命题“老张或者是湖南人，或者是湖北人”来说，我们必须分析两个肢命题在现实中是否相容来判断或者究竟表达的是相容的选言关系还是不相容的选言关系。

与传统命题逻辑不同，现代命题逻辑采用的是人工语言（一种精确的符号语言）。

同日常语言自身就表达一定的思想内容不同，人工语言本身只是一个抽象的符号系统，只有在我们指定每个基础符号所表示的意义之后，这种人工语言所表示的符号串才具有具体的思想内容。

相对于日常语言，人工语言的优点是含义单一，可进行代入、运算等数学计算。

B、方法
传统命题逻辑研究复合命题及其推理的方法是日常语言分析，通过分析命题联结词在具体的语境下所表示的命题间关系来确定复合命题的逻辑性质，并在此基础上确立各种有效推理形式。

现代命题逻辑采用符号化、公理化和形式化的方法，建立命题的逻辑运算和演算。

现代逻辑所采用的精确的人工语言是其公理化、形式化方法的基础。

由于现代逻辑采用公理化、形式化的方法，其对命题逻辑的研究也更加深入、更加严谨。

二、命题逻辑公式的构成
现代命题逻辑采用的是符号化的人工语言，因此，在现代逻辑中，无论是命题形式，还是推理形式都表现为一些符号公式，逻辑学中称为命题逻辑的公式。

1、命题逻辑公式的组成
命题逻辑公式由两部分组成：命题变项和逻辑常项。

命题变项由小写字母p,q,r,s,……来表示，它们代表一个个简单命题；
逻辑常项是一些特殊的表意符号，它们用来表示命题联结词。

在本门课程中，我们将学习五种最为基本的联结词。

它们是：否定联结词、析取联结词、合取联结词、蕴含联结词和等值联结词，分别用符号﹁，∨，∧，→，↔ 来表示。

﹁只和一个命题变项结合，而∨，∧，→，↔都和两个命题变项结合，由这些命题联结词和命题变项相结合就可以构成各式各样的命题逻辑公式。

如：﹁p, p∨q, p∧q, p→p, p↔q, p∨(p→q)等等。

在构成逻辑公式时还会用到括号，括号用来表明公式中的逻辑关系，括号内的公式是公式中一个独立的单位。

为了避免在命题逻辑公式中存在过多括号，常常约定命题联结词的逻辑结合力的强弱。

我们约定，联结词的结合力依以下次序递减：﹁，∨，∧，→，↔。

在命题逻辑中，我们还经常用大写的字母A、B、C……来表示任意的一个命题逻辑公式。

p,q,r,s,……和﹁，∨，∧，→，↔这类符号是用来表示思维的形式结构的，我们称之为对象符号语言；A、B、C……是我们在讨论或者说明命题逻辑公式时使用的，我们称之为
语法符号语言。

第二节、五种基本的命题逻辑公式
一、否定式
1、否定式的构成：否定式是由否定联结词﹁加表示命题变项或命题逻辑公式的符号构成，例如：﹁p, ﹁A
否定式表示的是对某一简单命题或者复合命题的否定，是前面我们所学过的负命题的符号化表示。

2、否定式的逻辑性质
根据我们前面所学过的负命题的逻辑性质，我们知道，负命题和原命题的真值是互相矛盾的，原命题为真，则负命题为假；原命题为假，则负命题为真。

由此，我们知道，否定式和原命题逻辑公式的真值也是互相矛盾的：
A ﹁A
T F
F T
二、析取式
1、析取式的构成：析取式是由析取联结词∨联结两个命题变项或者两个命题逻辑公式构成的。

例如：p∨q, A∨B等
析取式用来表示由∨所联结的两个析取肢至少有一个具有真的真值，它实质上是对前面我们所学过的相容选言命题的符号化表示。

2、析取式的逻辑性质（真值表）
根据相容选言命题的逻辑性质，析取式的真值表如下：
A B A∨B
T T T
T F T
F T T
F F F
三、合取式
1、合取式的构成：合取式是由合取联结词∧联结两个命题变项或者两个命题逻辑公式构成的。

例如：r∧s, C∧D等
合取式用来表示由∧所联结的两个命题变项或命题逻辑公式都具有真的真值，它实质上是对前面我们所学过的联言命题的符号化表示。

2、合取式的逻辑性质
根据联言命题的逻辑性质，合取式的真值表如下：
A B A∧B
T T T
T F F
F T F
F F F
四、蕴涵式
1、蕴涵式的构成：蕴涵式是由蕴涵联结词→联结两个命题变项或者两个命题逻辑公式构成的。

例如：p→s, B→D等
蕴涵式用来表示蕴涵符号前面的命题逻辑公式是后面的命题逻辑公式的充分条件，其实质是对充分条件假言命题的符号化表示。

2、蕴涵式的逻辑性质
根据充分条件假言命题的逻辑性质，蕴涵式的真值表如下：
A B A→B
T T T
T F F
F T T
F F T
五、等值式
1、等值式的构成：等值式是由等值联结词↔联结两个命题变项或者两个命题逻辑公式构成的。

例如：p↔s, B↔F等
等值式是用来表示由↔所联结的两个命题逻辑公式真值相同的命题逻辑公式，它实质上是充分必要条件假言命题的符号化表示。

2、等值式的逻辑性质
根据充分必要条件假言命题的逻辑性质，等值式的真值表如下：
A B A↔B
T T T
T F F
F T F
F F T
小结：根据以上我们对五种基本的命题逻辑公式的学习我们可以看出，这五种命题逻辑公式实际上是对于负命题、相容选言命题、联言命题、充分条件假言命题和充要条件假言命题的符号化表示。

据此，我们可以把通过日常语言表达的复合命题化为命题逻辑的公式，用现代命题逻辑的公理化、形式化的方法来进行命题逻辑研究。

练习一、把下列复合命题化为命题逻辑的公式
1、如果不大力加强社会主义的物质基础(p)，我国社会主义制度的巩固就是空的(q)，或者是假的(r)。

p→(q∨r)
2、如果我们不重视知识(p)或者不重视人才(q)，那么我们就不能搞好社会主义的四个现代化建设(r)。

p∨q→r
3、如果我们的干部不具有相当的科学文化知识(p)，不注意学习新的生产技能(q)，那么他们就不能领导好现代化的工业生产(r)。

p∨q→r
4、只有在某些方面有特殊专长(p)并且达到一定考分(q)，或者考分达到录取分数线(r)，才能被录取上大学(s)。

(p∧q)∨r↔s
5、当且仅当我们调动一切积极因素(p)，团结一切可以团结的力量(q)，全国人民才能团结一致共同奋斗(r)。

p∧q↔ r
6、如果工作适合自己的兴趣(p)当然应该去干(q)，如果不适合，但出于人民的需要(r)，也应去干。

(p→q)∧﹁p∧r→q
7、敌进(p)我退(q)，敌驻(r)我扰(s)，敌疲(t)我打(v)，敌退(w)我追(y)。

(p→q)∧(r→s)∧(t→v)∧(w→y )
8、并非如果刮风(P)就下雨(q)，也并非打雷(r)就下雨。

刮风不下雨，打雷不下雨的事情是常有的。

﹁(p→q)∧﹁(r→q)
第三节、真值指派、真值形式和真值断定
一、真值指派
通过前面的学习我们知道，命题逻辑公式由命题变项和逻辑常项构成。

命题变项由抽象的符号来表示，本身不具有特定的思想内容。

也就是说，就由抽象符号本身来讲，它不像用日常语言表达出来的命题那样本身具有真或者假的值。

对于它来讲，我们只能够指定它具有真的
值或者假的值。

指定命题变项的真值情况我们就称之为真值指派。

二、真值形式
我们可以说，命题逻辑公式是一种真值形式，以区别于传统的命题逻辑。

真值形式就是只能作真值解释的形式。

命题逻辑公式由逻辑常项和命题变项构成。

作为逻辑常项的命题联结词只能从真值方面加以定义（以真值表定义），命题变项也是只可做真值解释的变项，对它们只能进行真值指派。

由这样的变项和联结词所构造的公式，只能具有真值属性。

所以，称它们为真值形式。

三、真值断定
每一真值形式都包含有关它自身的真值的某种断定。

这种断定就是，根据它的变项的真值情况，断定真值形式自身的真假值。

真值形式作为一抽象的命题形式，本身无所谓真假。

但是，真值形式是由命题变项和真值联结词构成的。

对命题变项可以有真值指派。

而真值联结词则表明了变项的真值指派和真值形式之间的关联，这种关联是，真值联结词规定了在变项有什么值的情况下，公式有真值或者假值。

因此，真值形式的真值不是指派的，而是根据命题变项的真值指派和命题联结词的逻辑性质断定出来的，这就是命题逻辑公式的真值断定。

练习二、给A，B指派真，给X，Y指派假，下列真值形式有何真值？
1.X→(X→X)，真
2.(X→A)→(—X→—A)
3.(X→X)→X，真
4.(X∧B)∨(Y∧A)
5.A→(B→Y)，
6.((A∧B)→X)→(A→(B→Y)
7.(X→A)→(B→Y), 8.((A∧Y)→A)→(A→(B→X))
9.(X∨B)∧(Y∧A), 10.(X→(A→Y))→((X→A)→Y)
练习三、已知A，B为真，X，Y为假，P，Q的真值不知，下面哪些真值形式有真的真值？
1.X→(—Y→Q)，
2. —Y→(P→—X)
3.(P∨A)→(Q∧X)，
4.(P→A)→(B→Y)
5. —(P∧X)→Y，
6.(Q∨B)→X∧Y
7.(P→Q)→(—Q→—P)
8.(P→Q)→{(P→(Q→A))→(P→A)}
9.(A→P)→{(A→(→Q))→(P→Q)}
11.(X∧Q)∨(P∧A)→P
12.(X∨P)∧(A∨Q)→Q。