弧长和扇形面积导学案

2.7弧长及扇形的面积导学案

学习目标：1、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；

2、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题。

教学重点、难点：

重点：弧长与扇形的计算公式的推导与应用

难点：弧长与扇形的计算公式的应用

教学过程：

一、情境创设

1、小学里我们已经学习过圆的周长计算公式为__________、圆面积计算公式为_________。

2、我们知道，弧长是它所对应的圆周长的一部分，扇形面积是它所对应的圆面积的一部分，

那么弧长、扇形面积怎样计算呢？

二、探索活动

活动一、探索弧长计算公式

因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C=_________，

所以1°的圆心角所对的弧长是_________，即_________。

这样，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计

算公式为：l =_________。

．

（1）已知圆弧的半径为12，所对的圆心角为60°，它的弧长为__________.

（2）已知一弧长为12πcm，此弧所对的圆心角为240°，则此弧所在圆的半径为_________．

活动二、探索扇形面积计算公式

什么是扇形？请画图说明.

如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形．

圆心角是1°的扇形面积是

圆心角是n°的扇形面积是圆面积的

如果用字母S表示扇形的面积，n表示圆心角的度数，r 表示圆半径，那么扇形面积的计

算公式是：

请你想一想

扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？

2、扇形面积的另一个计算公式

比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式： S=

360n πR 2

化为S=_______·21R=_______·2

1R ，从面可得扇形面积的另一计算公式： S 扇=_______。

因此扇形面积的计算公式为:

360

2r n S π=

或

lr

S 21= 三、小试牛刀

（1）圆的周长为12π，这个圆的直径为_______。

（2）圆弧的半径为24，所对的圆周角为60°，则圆心角所对的弧长为_______。 （3）扇形的面积为6π，半径为4，扇形的弧长l =_________。 （4）圆心角为120°的扇形的弧长为

2

3

π，它的面积为________。 （5）已知一个扇形的半径是一个圆的半径的2倍，并且它们的面积相等，则这个扇形的圆

心角为________。

(6）一个扇形的弧长为20πcm ，半径为24cm ，则该扇形的面积为_______.

（7）扇形的圆心角为60°，半径为5cm,则这个扇形的弧长为_______, 这个扇形的面积为

______.

(8）已知扇形的圆心角为120°,弧长为20π，扇形的面积为 ．

四、例题教学

例1 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC ＝60°．设⊙O 的半径为2，求

的

长

例2、已知：在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，C 为切点。设弦AB 的长为d ，圆环面积S 与d 之间有怎样的数量关系？

例3. 如图，折扇完全打开后，OA 、OB 的夹角为120°，OA 的长为30cm ，AC 的长为20cm ，

求图中阴影部分的面积S ．

例4、如图，半圆的直径AB=40，C ，D 是这个半圆的三等分点。求弦AC 、AD 和弧CD 围成的

阴影部分的面积。

例5、如图正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内作半圆。求围成图形（阴影部分）

的面积。

达标练习：

1、圆心角为40°、半径为6的弧长为________；面积为________。

2、半径为

3、弧长为4的扇形面积为________。

3、扇形的圆心角为120°，弧长为20π，则扇形的面积为_________。

4、弧长为2π、面积为4π的扇形的半径为________，圆心角为_______。

5、正三角形的边长为6的内切圆的周长为_______，外接圆面积为________。

6、如图，A 是半径为2的⊙O 外的一点，OA=4，

O C

A B

AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连

接AC，则图中阴影部分的面积为________。

7、如图，⊙O的半径为2，A是⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于点C，AB=23。求图中阴影部分的面积。

8、如图，点C、D在线段AB上，⊙O、⊙O1、⊙O2、⊙O3的直径分别为AB、AC、CD、DB。（1）求⊙O、⊙O1、⊙O2、⊙O3的周长C、C1、C2、C3；

（2）C与C1、C2、C3有怎样的数量关系。

9、如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为多少？

10、如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是？

课堂总结

1．弧长、扇形面积公式；

2．不规则图形的面积的求法：用规则的图形的面积来表示；

3．数学思想转化的应用：

①转化思想；②整体思想．

【课后作业】 1．如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________； 2．扇形的面积是它所在圆的面积的

3

2

，这个扇形的圆心角的度数是_________°.

3．扇形的面积是S ，它的半径是r ，这个扇形的弧长是_____________

4.一个扇形的半径等于一个圆的半径的6倍,如果扇形面积等于圆的面积,则这 个扇形的圆心角等于 ( ) A.10° B.20° C. 30° D.60°

5．设圆的半径为r ，60°的圆心角所对的弧长为L ，则L 与r 的关系是（ ）．

A ．L=r

B ．L=

3πr C ．L=23

π

r D ．L=πr 6.如图1，以边长为a 的正三角形的三个顶点为圆心，以边长一半为半径画弧，则三弧所围成的阴影部分的面积是 ( )

A.82a (23-π)

B.42a (23-π)

C. 82a +4π

D.4

3a 2

.

7.如图7-79，正方形ABCD 的边长为1cm ，以CD 为直径在正方形内画半圆，再以C 为圆心，1cm 长为半径画弧BD ，则图中阴影部分的面积为 ( ) A.

2πcm 2 B.4πcm 2 C.8πcm 2 D.16

π cm

2

图1

图2

图3

8.如图7-80，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，再以AB 为直径作半圆，所得月牙形面积为( ) A.大于S △OAB

B.等于S △OAB

C.小于S △OAB

D.以上都有可能

9.扇形的弧长为2πcm, 半径为10cm,则此扇形的面积为 .

10.已知扇形的弧长为20π,扇形的面积为240π,则扇形的圆心角的度数为___. 11.半径为30cm, 圆心角为120°的扇形的面积为 _____ . 12.圆心角为150°, 弧长为20πcm 的扇形的面积为 __ .

13.已知正三角形的边长为a ，则它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积是____; 已知正方形的边长为a ，则它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积是_______; 已知正n 边形的边长为a ，则它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积是_______. 14.如图,矩形ABCD 的边长AB=1,AD=3,若 矩形ABCD 以B 为中心, 按顺时针方向旋转到A 1B 1C 1D 1(点A 1落在对角线BD 上),则对角线

D C

B A A 1

D 1

C 1

O

A

B

C C

A

B

E

D

F

S1

S2O

A

B

B

O

P

A BD 所扫过的面积为_______.

15．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，求阴影部分周长和面积。

16．如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 相互外离，它们的半径是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD ，则图中四个扇形的面积和是多少？

17．已知如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，C 为切点。设弦AB 的长为d ，圆环面积S 与d 之间有怎样的数量关系？

18．如图，正三角形ABC 的边长为2,分别以A 、B 、C 为圆心，1为半径画弧，与△ABC 的内切圆O 围成的图形为图中阴影部分。求S 阴影。

19．如图，扇形OAB 的圆心角是90°，分别以OA 、OB 为直径在扇形内作半圆，则12S S 、 两部分图形面积的大小关系是什么？

20．如图，AB 为O 的直径，CD AB ⊥于点E ，交O 于点D ，OF AC ⊥于点F ．

（1）请写出三条与BC 有关的正确结论；

（2）当30D ∠=

，1BC =时，求圆中阴影部分的面积．

21．圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 如下图?所示那样叠放在一起，连接AC ，BD ． （1）试说明△AOC ≌△BOD ．

（2）若OA=3cm ，OC=1cm ，求阴影部分的面积．

A

D

B

C

C

B

A

O F

D E