高中数学 三角函数恒等变换例题

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专题：三角函数最值问题

考点分析：三角函数是基本初等函数之一，是高考重点考查的内容。纵观近年武汉高考题，三角函数考点主要涉及三角函数概念、三角函数基本不等式及恒等变换、三角函数的图像和性质、利用三角函数解三角形问题以及与平面向量、数列、解析几何等综合知识应用等。可以以选择题、填空题和解答题三种形式考查，总分占19-24分，题目主要以简单题和中档题为主，要求学生必须掌握。

一、教学目标

1．熟悉三角恒等变换公式

2．掌握三角函数最值问题这类题型的解法

二、教学重难点

1．灵活使用三角恒等变换公式

2．解题过程中计算能力

三、课程设计

1．题型分析

三角函数的最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．

2．知识点回顾

()()()α

αααα

α

ααβ

ααβ

αβαβαβ

αβαββ

αβαβα22222tan 1tan 22tan 1

cos 2sin 21sin cos 2cos cos sin 22sin tan tan 1tan tan tan sin sin cos cos cos sin cos cos sin sin -=

-=-=-==±=

±=±±=±↓↓

倍角两角和、差

a

2 3．例题分析及讲解

例1若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（ ）

A ．1- B

C

．12- D

．12

+分析：三角形的最小内角是不大于

3π的，而()2sin cos 12sin cos x x x x +=+，换元解决．

解析：由03x π

<≤

，令sin cos ),4t x x x π=+=+而74412

x πππ<+≤

，得1t <≤．

又2

12sin cos t x x =+，得21sin cos 2t x x -=， 得2211(1)122

t y t t -=+=+-，

有2111022y -+<≤=．选择答案D ．

解法二：1sin cos sin cos sin 242y x x x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝

⎭， 当4x π=

时，max 12y =，选D 。 四、家庭作业 1. 已知函数2()2sin cos 2cos f x a x x b x =+．，且(0)8,()126

f f π

==． （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值．

分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．

解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++．

（1）由(0)8f = ，()126f π=可得(0)28f b ==

，3()12622

f a b π

=+= ，所以4b =

，a =

（2

）()24cos 248sin(2)46f x x x x π=++=+

+， 故当22

x k π

π

π+=+即()x k k Z π

π=+∈时，函数()f x 取得最大值为12．