求t时刻质点的位置坐标和加速度

大学物理学业竞赛讲座

力学例题及解答

例1 一质点沿x 轴运动，其速度与位置坐标的关系为12+=x v ，若t =0时质点位于坐标原点，求t 时刻质点的位置坐标和加速度。 解：

00221211

(1)

2

x t

t dx

v x dt dx dt x x e =

=+=+=-??

2222t d x

a e dt

==

例2 一半径为R 的半圆柱体沿水平方向作加速度为a 的匀加速运动，如图示。竖直杆只能在竖直方向运动。当半圆柱体的速度为v 时，杆与半圆柱体的接触点P 的角位置为θ。求此时竖直杆运动的速度和加速度。 解：

sin x R θ= cos y R θ=

cos cos dx d d v v R dt dt dt R θθθθ=-

=-→=- sin tan p dy d v R v dt dt θθθ==-=

22

3

tan sec tan cos p p dv d v a a v a dt dt R θθθθθ

==+=- 例3 如图示合页构件由两个菱形组成，其边长之比为2：1。顶点A 2以速度v 0水平移动，求当构件的所有角为直角时，顶点A 1、B 1、B 2的速度

1

v 0

解：

23cos A x l θ=

2

003sin 3sin A dx v d d v l dt dt dt l θθ

θθ

=

=-→=-

12cos A x l θ=→1102

2sin 3A A dx d v l v dt dt θθ==-= 1cos B x l θ=→1101

sin 3B B x dx d v l v dt dt θθ==-= 1sin B y l θ=→1101cos ctg 3B B y

dy d v l v dt dt θθθ===- 25cos 2B x l θ=→22055

sin 26B B x dx d v l v dt dt θθ==-=

21

sin 2

B y l θ=→

22011cos ctg 26B B y dy d v l v dt dt θθθ===-

例4 甲、乙两小孩在做游戏，甲在树上，乙在地上用枪描准甲，乙一开枪，甲就从树上跳下（初速度为零）。问：甲是否被击中？若被击中，求出被击中的时间和地点。 解：（略）

例5 一质量为m 的质点t =0时自坐标原点以初速i v v o

0=做平抛运动，运动过程

中受到空气阻力v mk f

-=，求:

（1） t 时刻质点的速度； （2） 质点的运动方程。 解：

（1）a m f g m =+

???

???

?

=-=-(2) (1) dt dv m mkv mg dt

dv m mkv y y x x 由（1）：

kt x v v x

x t x x e v v v dv dt k dt dv kv x -=→=-→=

-??000)( 由（2）：

s

v

)1(/)(0

kt y v y y t

y y e k

g

v k

g v dv dt k dt

dv kv g y

--=

→-=-→=

-?

? ???

??-==--)

1(0kt

y kt x e k g v e v v （2）)1(00000kt t kt x kt x e k

v x dt e v dx e v dt dx

v ----=→=→==

??

)1()1()1(200kt t kt y kt y e k

g

t k g y dt e k g dy e k g dt dy v -----=→-=→-==

??

???

???

?

--=-=

--)1()1(20kt kt e k g t k g y e k

v x 讨论：

（1）0→k ，???==gt v v v y

x 0

,

??

???==2021gt y t

v x ——理想平抛运动 （2）∞→t ，???==k g v v y x /0, ???

????-

==20k g t k g y k v x ——匀速直线运动

例6 一小环A 套在半径为a 的竖直大圆环上，小环与大环之间的摩擦系数为μ，证明：当大环以匀角速ω 绕它自己水平轴O 转动时，如果 4/122/1)/11()/(μω+>a g 则小环与大环之间无相对运动。 解：

→?

?

?<==+N mg f ma mg N μθωθsin cos 2

)cos (sin 2θωμθmg ma mg -<

2

/1)cos sin (?

?

????+>θμθωa g

令)cos sin (

)(θμ

θ

θ+=f ，→=0)('θf

μθ/1tan =

221/cos ,1/1sin μμθμθ+=+=

4

/12

2/1)1

1()(μ

ω+

>a

g 例7 如图，设所有的接触面都光滑，求物体m 相对于斜面的加速度和M 相对于地面的加速度。 解1：

?

??

??==-=0

11sin cos sin Ma N ma mg N ma mg y x

θθθ →+='0a a a

→???-=+-=θθsin 'cos 00a a a a a y x →

???

??=-=-+-=01

010sin sin cos )

'cos (sin Ma

N ma mg N a a m mg θθθθθ→ ???

???

?

+=++=θθθθθ202sin cos sin sin sin )('m M mg a m M g m M a 解2：

???

??==+-=+01

010sin 0sin cos 'cos sin Ma

N ma mg N ma ma mg θθθθθ→ ???

???

?

+=++=θθθθθ202sin cos sin sin sin )('m M mg a m M g m M a

例8 一质量为m 的质点以初速0v

，抛射角θ作斜抛运动，落地时与地面发生碰撞，而后作第二次斜抛运动。设质点两次斜抛运动的飞行时间相等，而第二次斜抛运动的射程是第一次的一半，求碰撞时地面对质点的冲量。

g

m 1

N a '

x

y O

a '

a m -m g

N 1

x

y

2

/s

解：

12mg t j mg t j I -?-?+21x x v i v i =-

2112()()x x I m v v i mg t t j =-+?+? 012sin v t t g

θ?=?=

，θθcos 21

,cos 0201v v v v x x ==

001

cos sin 2

I mv i mv j θθ=-+

例9 一质量为M 的圆环用线悬挂着，两质量为m 的有孔小珠套在此环上，小珠可在环上无摩擦滑动，如图所示。今将两小珠从环的顶部释放，使之沿相反方向自由滑下。

（1）证明：为使小珠下滑过程中大环能升起，m 和M 必须满足：M m 2

3

>

； （2）在满足上述条件下，求大环开始升起时小珠与环中心连线与竖直线的夹角。 解：

（1）→???

????

=+=-R m v N m g m v m gR 2

2cos 2

1)cos 1(θθ)cos 32(θ-=mg N 上升条件：Mg N >θcos 2，即 Mg mg >-θθcos )cos 32(2

06c o s 32c o s

2

<+-m

M θθ 以上不等式有解： M m m M 2306494>→>-=

? （2）M m 2

3

>

当时，以上不等式的解为：

11(1cos (133θ<< 即开始上升时，

???

???-+=-)2311(3

1c o s 1m M θ

θ 例10 如图所示，半径为R 、质量为M 、表面光滑的半球放在光滑的水平面上，在其正上方置一质量为m 的小滑块。当小滑块从顶部无初速地下滑后，在图示的θ 角位置处开始脱离半球，已知cos θ ＝0.7，求M /m 。

解：

222

011()(1cos )22

x x y mv MV MV m v v mgR θ-=??

?++=-?? →+='v V v

???=-=θθsin 'cos 'v v V v v y

x

2

222('cos )0

11[('cos )'sin ](1cos )22m v V MV MV m v V v mgR θθθθ--=???+-+=-?

?'v V ?=?

?

??=??

脱离球面的条件：N ＝0，则

22

2()(1cos )

cos sin v M m mg mg m R M m θθθ'+-==+ 3cos 3cos 2

2.433cos 2

M m θθθ-+==- 例11 用一弹簧把质量各为m 1和m 2的两木块连起来，一起放在地面上，弹簧的质量可不计，而m 2>m 1 ，问：对上面的木块必须施加多大的压力Ｆ，以便在Ｆ突然撒去而上面的木块跳起来时，恰能使下面的木块提离地面？ 解：

11F m g kx += （1） m 2刚好能被提起的条件：

22m g kx = （2） 机械能守恒：

221112121122

kx m gx kx m gx -=+ （3） 根据（1）～（3）可得

12()F m m g =+

例12 如图，求当人从小车的一端走到另一端时，小车相对与地面移动的距离。

解：

M

m Ml ml x C ++=2

/1

M

m l s M ms x C +++=

)

2/(2

由2

1C C x x =得： M

m ml

s +=

例13 如图，质量为m 的小球，拴于不可伸长的轻绳上，在光滑水平桌面上作匀速圆周运动，其半径为R ，角速度为ω，绳的另一端通过光滑的竖直管用手拉住，如把绳向下拉R /2时角速度ω'为多少？ 解：

2

L mvR mR ω==

21

'''24

R L mv mR ω==

'L L =→'4ωω=

例14 如图所示，质量为 m 的小球 B 放在光滑的水平槽内，现以一长为 l 的细绳连接另一质量为m 的小球A ，开始时细绳处于松弛状态, A 与B 相距为l /2。球A 以初速度v 0在光滑的水平地面上向右运动。当A 运动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B 球开始运动时速度v B 的大小。 解：

000

0||0||/2cos 60cos30cos30A B A A B A mv l mv l mv mv mv mv v v ⊥⊥?=??=++→??=?? 037

B v v =

例15 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO '转动，设大小圆柱的半径分别为R 和r ，质量分别为M 和m ，绕在两柱体上的细绳分别与物体m 1

v A

O '

O

l

l

和物体m 2 相连，m 1和m 2则挂在圆柱体的两侧，如图所示，设R =0.20m ，r =0.10m ，m =4kg ，M =10kg ，m 1=m 2=2kg ，求柱体转动时的角加速度及两侧绳中的张力。

111122221212

2212,1122

m g T m a m g T m a T R T r J a R a r J m R m r α

αα

?

?-=?

-+=??

-=→??==??=+?? 212

6.13/1

7.220.8rad s T N

T N α?=?

=??=?

例16 如图，滑轮质量为M ，半径为R ，物体质量m ，弹簧屈强系数k ，斜面倾角θ均为已知。开始时扶住物体m ，使系统保持静止，弹簧无伸缩，然后放开。求：

（1）物体下滑距离为x 时的速度为多少？

（2）下滑距离x 为多大时，物体的速度为最大，最大速度为多少？ （3）物体下滑的最大距离为多大？（设绳子与滑轮间无相对滑动） 解：

（1）2222

1110sin 2221

2mv I kx mgx v R J MR ωθω?=++-??=→???=?

sin /2

v mg kx dv dv dx dv a v dt dx dt dx m M θ-====

+ （2）2

/sin ,sin 0max M m mgx v k mg x dx

dv

m x x m

+=

=

→==θ

θ （3）k

mg x v x x θ

sin 20max max

=

→== 例17 如图，长为l ，质量为m 的匀质细棒的两端分别连着质量均为m 的小球A 和质量为2m 的小球B 。整个系统绕过细棒的中点O 的水平轴自水平位置以零初速自由下摆，求：

1m 2g

m 1g

T 2

T 1

2m

（1）系统摆到某一角位置θ 时，细棒的角速度和角加速度； （2）此时细棒对小球A 、B 的作用力。 解：

（1）2

222210sin 2sin 222

15()2()22126l l mg mg J l l J m m ml ml θθω?=-+????=++=??

→

l

g 5sin 6θ

ω=

l

g d d dt d d d dt d 5cos 3θ

θωωθθωωα=

===

（2）θαcos 1032g l a Bt =

=，θωsin 5

3

22g l a Bn == ???

???

?

?==-?==-θθθθsin 5322sin 2cos 10

322cos 2g m ma mg T g m ma T mg Bn Bn Bt Bt ???

???

?

==θθsin 516cos 5

7mg T mg T Bn Bt 同理：???

????==θθsin 52cos 1013mg T mg T An At

例18 水平面内有一静止的长为l ，质量为m 的细棒，可绕通过棒一端O 点的铅直轴旋转。今有一质量为m /2、速率为v 0的子弹在水平面内沿棒的垂直方向射击棒的中点，子弹穿出时速率减为v 0/2。当棒转动后，设棒上各点单位长度受到的阻力正比于该点的速率（比例系数为k ）。试求： （1）子弹穿击瞬时，棒的角速度ω0为多少？

（2）当棒以角速度ω转动时，受到的阻力矩M f 为多少？ （3）棒的角速度从ω0变为ω0/2时，经历的时间为多少？

T l

（2

）

例19 如图，圆柱体A 上绕着轻绳，绳子跨过一定滑轮B 与物体C 相连。设A 、B 、C 的质量均为为m ，圆柱体和定滑轮的半径均为R ，系统从静止开始运动。求物体C 下落h 后的速度和加速度。（设圆柱体与接触面间、定滑轮与绳子间都无相对滑动） 解：

1121222

2

122,,,/2C

C C mg T ma T R T R J T R fR J T f ma

a R a R a a R J mR ααααα?-=?

-=??

+=??-=??===+=?

g a 15

8

=

，15162gh ah v =

= 另解：

C

'

222

2122

122

11112222

1,,,2

C C C mgh mv J J mv v R v R v v R J mR ωωωωω?=+++???

?===+=??→ 15

16gh

v =，g h v a 15822==

例20 如图，长为l 质量为m 的均匀杆，在光滑桌面上由竖直位置自然倒下，当杆与水平夹角为θ时，求：

（1）质心的速度和杆的角速度； （2）地面对杆的支撑力。 解： （1）2211sin 2222

C C l l

mg mv J mg ωθ=++ θs i n 2

l

y =

θωθθc o s 2

c o s 2l dt

d l dt dy v C =-=-= )

c o s 31()

s i n 1(32

2

θθω+-=l g θ

θθ2

c o s 31)

s i n 1(3c o s

+-=gl v C （2）2

22)cos 31(4sin 6sin 3cos 3θθθθθωωωα++-=-==l g d d dt d c o s 2

C l

N

J θα=→ 2

22

)c o s 31(4

s i n 6s i n 32θθθ++-=mg N