[]桥梁(连续梁、简支梁)超静定结构次内力计算
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国际预应力协会（FIP）1978年公式——我 国采用的公式 t τ β a , τ d B d t τ f β f t β f τ
ε s t τ , ε s 0 β s t β s τ
（2）徐变系数数学模型
① 基本曲线——Dinshinger公式
次力矩为零时的配束称吻合索
iN
M 0M idx 0(i1..n .). EI
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
多跨连续梁在任意荷载作用下
in
M pM idx 0(i1...n.).. EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
3.变形计算
必须考虑施工过程中的体系转换，不同的荷载作 用在不同的体系上
根据恒载及活载变形设置预拱度——大跨径时必 须专门研究——大跨径桥梁施工控制
预拱度设置原则：
某节点预拱度 = －（所有在该节点出现后的荷载 或体系转换产生的位移）
c
lc l
lcle le l
e
c /e
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
2） 徐变、收缩量计算表达
（1）实验拟合曲线法
建立一个公式，参数通过查表计算， 各国参数取法不相同，常用公式有： CEB—FIP 1970年公式 联邦德国规范1979年公式
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
Βιβλιοθήκη Baidu
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
收缩——与荷载无关 徐变——与荷载有关
收缩、徐变与材料、配合比、温度、湿度、 截面形式、护条件、混凝土龄期有关
（1）混凝土变形过程
收缩 弹性变形 回复弹性变形 滞后弹性变形 屈服应变
1N3 N E y[If1l1f2l2e(l1l2)]
x1Ny(f1ll11 lf22l2e)
M N M 0 M 1 ' M 0 N y (f e ) M 1
M N B N y e N y (f e ) 1 N y f
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
② 徐变系数与加载龄期的关系 ❖ 老化理论
不 同 加 载 龄 期 的 混凝土徐变曲线在 任 意 时 刻 t(t>) ， 徐变增长率都相同
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
（4）变截面梁曲线配筋
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
2）线性转换与吻合束
d kp
预应力 墩台基础沉降
徐变与收缩
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
1）线性转换
只要保持束筋在超静定梁中的两端位置 不变，保持束筋在跨内的形状不变，而 只改变束筋在中间支点上的偏心距，则 梁内的混凝土压力线不变，总预矩不变
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
梁端有偏心矩时
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
1 N 3 N E y[l1 f I 1 l2f2 1 2 (l1 e a l2 e c) e (l1 l2 )]
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
d kp
dM (t ) M k dx
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M 0 M k dx d ( t , )
L
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M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
2）吻合索
调整预应力束筋在中间支点的位置， 使预应力筋重心线线性转换至压力线 位置上，预加力的总预矩不变，而次 力矩为零。
1 1(l1l2)/3 EI
x1
Ny(f
e1 2
e)
M N M 0 x 1M 1 M 0 N y(f e 2 1 e )M 1
MNB
M0
Ny(
f
e1 2
e)
M1
Ny(
f
e1 ) 2
（3）局部配筋
局部直线配筋
1 1(l1l2)/3 EI
1NE 2[INye4 l7 8]7 1N E 6 yeIl
t,0k0(1et)
徐变在加载时刻有急 变
在加载初期徐变较大 随时间增长逐渐趋于
稳定
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
d kp
dM (t ) M k dx
超静定结构次内力
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
1.次内力的概念
结构因各种原因产生变形，在多余约束处将产生约束 力，从而引起结构附加内力(或称二次力)
2.超静定结构产生次内力的外界原因
连续梁压力线与预 应力筋位置相差
e M Ny
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
1）用力法解预加力次力矩
（1） 直线配筋
d kp
dM (t ) M k dx
改变e在支点B所增 加(或减少)的初预 矩值，与预加力次 力矩的变化值相等， 而且两者图形都是 线性分布，因此正 好抵消
M N B N y e N y (f e ) 1 N y f
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
x11N/113 22 1Nye
M N BNye3 2N 2 1ye1 3N 1 2ye
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
局部曲线配筋
1 1(l1l2)/3 EI
4. 预应力次内力计算
预应力初弯矩：
M0 Nye
预应力次弯矩：
M
总M 预N 矩 ：M 0M
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
压力线：
e MN Ny
简支梁压力线与预 应力筋位置重合
L
EI
3）初预矩与总预矩
将等效荷载作用在基本结构上可得初预矩
将等效荷载直接作用在连续梁上可得总预矩
如果等效荷载直接作用在连续梁上支反力等 于0，此时为吻合束
只有改变预应力束曲率半径或梁端高度才能 改变总预矩
5. 徐变、收缩次内力计算
1）徐变、收缩理论
d kp
dM (t ) M k dx
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
（3）线性徐变
当混凝土棱柱体在持续应力不大与0.5Ra时， 徐变变形与初始弹性变形成线性比例关系
徐变系数——徐变与弹性应变之比
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
1）在梁端部
轴向力
Nyco1sNy
竖向力
N ysin 1N y1
力矩
N yco 1s eN ye
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
2）在梁内部
初预矩图为曲 线时产生均布 荷载
W w
l
W N ysi2 n N y2
初预矩图成折 线时产生集中 力
N ysin 4N y4
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
结论： 按外荷载弯矩图形状布置预应力束及为 吻合束 吻合束有任意多条
均布荷载q
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
集中荷载q
3）等效荷载法求解总预矩
把预应力束筋和混凝 土视为相互独立的脱 离体，预加力对混凝 土的作用可以用等效 荷载代替
L
EI
（2）收缩徐变的影响
结构在受压区的徐变和收缩会增大挠度；
徐变会增大偏压柱的弯曲，由此增大初始偏心，降低其承 载能力；
预应力混凝土构件中，徐变和收缩会导致预应力的损失；
徐变将导致截面上应力重分布。
对于超静定结构，混凝土徐变将导致结构内力重分布，即 引起结构的徐变次内力。
混凝土收缩会使较厚构件的表面开裂
2 13
h3
1N EI[48Ny(e2)l16Nyhl]
Nyl (26e5h) 48EI
x 1 1 N /1 1 N y ( 2 e 6 5 h ) /32
M N B N y e N y (f e ) 1 N y f
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
❖ 力法方程
1x 11 1N0
❖ 变位系数
11
2l 3 EI
❖ 赘余力
1N
Nyel EI
x1
1N
11
23Nye
❖ 总预矩
压力线位置
M N M 0 M '1 N y e 2 3 N y e M 1 N y ( e 2 3 e M 1 )
（2）曲线配筋
梁端无偏心矩时
1 1(l1l2)/3 EI
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
ε s t τ , ε s 0 β s t β s τ
（2）徐变系数数学模型
① 基本曲线——Dinshinger公式
次力矩为零时的配束称吻合索
iN
M 0M idx 0(i1..n .). EI
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
多跨连续梁在任意荷载作用下
in
M pM idx 0(i1...n.).. EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
3.变形计算
必须考虑施工过程中的体系转换，不同的荷载作 用在不同的体系上
根据恒载及活载变形设置预拱度——大跨径时必 须专门研究——大跨径桥梁施工控制
预拱度设置原则：
某节点预拱度 = －（所有在该节点出现后的荷载 或体系转换产生的位移）
c
lc l
lcle le l
e
c /e
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
2） 徐变、收缩量计算表达
（1）实验拟合曲线法
建立一个公式，参数通过查表计算， 各国参数取法不相同，常用公式有： CEB—FIP 1970年公式 联邦德国规范1979年公式
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
d kp
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M 0 M k dx d ( t , )
L
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Βιβλιοθήκη Baidu
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
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M 0 M k dx d ( t , )
L
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M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
收缩——与荷载无关 徐变——与荷载有关
收缩、徐变与材料、配合比、温度、湿度、 截面形式、护条件、混凝土龄期有关
（1）混凝土变形过程
收缩 弹性变形 回复弹性变形 滞后弹性变形 屈服应变
1N3 N E y[If1l1f2l2e(l1l2)]
x1Ny(f1ll11 lf22l2e)
M N M 0 M 1 ' M 0 N y (f e ) M 1
M N B N y e N y (f e ) 1 N y f
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
② 徐变系数与加载龄期的关系 ❖ 老化理论
不 同 加 载 龄 期 的 混凝土徐变曲线在 任 意 时 刻 t(t>) ， 徐变增长率都相同
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
（4）变截面梁曲线配筋
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
2）线性转换与吻合束
d kp
预应力 墩台基础沉降
徐变与收缩
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
1）线性转换
只要保持束筋在超静定梁中的两端位置 不变，保持束筋在跨内的形状不变，而 只改变束筋在中间支点上的偏心距，则 梁内的混凝土压力线不变，总预矩不变
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
梁端有偏心矩时
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
1 N 3 N E y[l1 f I 1 l2f2 1 2 (l1 e a l2 e c) e (l1 l2 )]
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
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M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
d kp
dM (t ) M k dx
L
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M 0 M k dx d ( t , )
L
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M ( t ) M k dx d ( t , )
L
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dM (t ) M k dx
L
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M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
2）吻合索
调整预应力束筋在中间支点的位置， 使预应力筋重心线线性转换至压力线 位置上，预加力的总预矩不变，而次 力矩为零。
1 1(l1l2)/3 EI
x1
Ny(f
e1 2
e)
M N M 0 x 1M 1 M 0 N y(f e 2 1 e )M 1
MNB
M0
Ny(
f
e1 2
e)
M1
Ny(
f
e1 ) 2
（3）局部配筋
局部直线配筋
1 1(l1l2)/3 EI
1NE 2[INye4 l7 8]7 1N E 6 yeIl
t,0k0(1et)
徐变在加载时刻有急 变
在加载初期徐变较大 随时间增长逐渐趋于
稳定
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
d kp
dM (t ) M k dx
超静定结构次内力
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
1.次内力的概念
结构因各种原因产生变形，在多余约束处将产生约束 力，从而引起结构附加内力(或称二次力)
2.超静定结构产生次内力的外界原因
连续梁压力线与预 应力筋位置相差
e M Ny
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
1）用力法解预加力次力矩
（1） 直线配筋
d kp
dM (t ) M k dx
改变e在支点B所增 加(或减少)的初预 矩值，与预加力次 力矩的变化值相等， 而且两者图形都是 线性分布，因此正 好抵消
M N B N y e N y (f e ) 1 N y f
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
x11N/113 22 1Nye
M N BNye3 2N 2 1ye1 3N 1 2ye
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
局部曲线配筋
1 1(l1l2)/3 EI
4. 预应力次内力计算
预应力初弯矩：
M0 Nye
预应力次弯矩：
M
总M 预N 矩 ：M 0M
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
压力线：
e MN Ny
简支梁压力线与预 应力筋位置重合
L
EI
3）初预矩与总预矩
将等效荷载作用在基本结构上可得初预矩
将等效荷载直接作用在连续梁上可得总预矩
如果等效荷载直接作用在连续梁上支反力等 于0，此时为吻合束
只有改变预应力束曲率半径或梁端高度才能 改变总预矩
5. 徐变、收缩次内力计算
1）徐变、收缩理论
d kp
dM (t ) M k dx
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
（3）线性徐变
当混凝土棱柱体在持续应力不大与0.5Ra时， 徐变变形与初始弹性变形成线性比例关系
徐变系数——徐变与弹性应变之比
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
1）在梁端部
轴向力
Nyco1sNy
竖向力
N ysin 1N y1
力矩
N yco 1s eN ye
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
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M ( t ) M k dx d ( t , )
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EI
2）在梁内部
初预矩图为曲 线时产生均布 荷载
W w
l
W N ysi2 n N y2
初预矩图成折 线时产生集中 力
N ysin 4N y4
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
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M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
结论： 按外荷载弯矩图形状布置预应力束及为 吻合束 吻合束有任意多条
均布荷载q
d kp
dM (t ) M k dx
L
EI
M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
EI
集中荷载q
3）等效荷载法求解总预矩
把预应力束筋和混凝 土视为相互独立的脱 离体，预加力对混凝 土的作用可以用等效 荷载代替
L
EI
（2）收缩徐变的影响
结构在受压区的徐变和收缩会增大挠度；
徐变会增大偏压柱的弯曲，由此增大初始偏心，降低其承 载能力；
预应力混凝土构件中，徐变和收缩会导致预应力的损失；
徐变将导致截面上应力重分布。
对于超静定结构，混凝土徐变将导致结构内力重分布，即 引起结构的徐变次内力。
混凝土收缩会使较厚构件的表面开裂
2 13
h3
1N EI[48Ny(e2)l16Nyhl]
Nyl (26e5h) 48EI
x 1 1 N /1 1 N y ( 2 e 6 5 h ) /32
M N B N y e N y (f e ) 1 N y f
d kp
dM (t ) M k dx
L
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M 0 M k dx d ( t , )
L
EI
❖ 力法方程
1x 11 1N0
❖ 变位系数
11
2l 3 EI
❖ 赘余力
1N
Nyel EI
x1
1N
11
23Nye
❖ 总预矩
压力线位置
M N M 0 M '1 N y e 2 3 N y e M 1 N y ( e 2 3 e M 1 )
（2）曲线配筋
梁端无偏心矩时
1 1(l1l2)/3 EI
L
EI
M ( t ) M k dx d ( t , )
L
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d kp
dM (t ) M k dx
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M 0 M k dx d ( t , )
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M ( t ) M k dx d ( t , )
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dM (t ) M k dx
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