探求无穷级数求和的几种常用方法

探求无穷级数求和的几种常用方法

摘要本文从几方面探求高等数学中无穷级数求和的几种常用方法。

关键词高等数学；无穷级数；求和

无穷级数求和是高等数学的一个重要组成部分，它在函数的表达﹑研究函数的性质﹑求函数值以及求解微分方程等都是非常有用的，而收敛级数的求和在级数中占有很重要的位置。

设数列，称是无穷级数,作部分和数列..若极限存在，称级数收敛，和是s,;若极限不存在，称级数发散.本文考虑在级数收敛时，如何求和?常用求和方法可总结成以下几类：

1 利用级数收敛的定义求和

对于，先求出，再求极限。当极限存在且为s时，则。

例1 ：证明：级数

收敛，并求其和。

证明：级数的前项部分和

由于，所以级数收敛，其和是，即。

2 利用已知的级数的和，求其它级数的和

利用级数的四则运算和代数运算，将所求级数的和转化为已知的常用的级数的和，可以求出一部分级数的和。例如：

其中C为尤拉常数，且。

例2：已知。求和。

解：因为所以。

3 利用错位相减法求和

对于级数，写出.用一个适当的数q乘以sn，再算出或，进而求出sn，再求极限。

例3 ：证明级数收敛，并求其和。

证明：，两边乘以，再相加，得到，两边乘以，求出sn，再求极限.所以级数收敛，和是。

4 利用幂级数的性质求和

幂级数或在收敛区间的和函数连续，可以逐项求积，逐项求导等，利用这些性质可以求出一些级数的和。

例4：求和。

解：级数的收敛域是.设和函数是s（x），即。

从0到x积分并逐项积分，得到

上式两边对x求导，得。

5 利用函数项级数的一致收敛性求和

当函数项级数在区间I上一致收敛且每一项都连续时，则和函数在I上连续，在I上可以逐项求积﹑逐项求导等，利用这些性质可以求出一些级数的和或解决与求和相关的问题。

例5：设级数收敛，求。

解：由阿贝尔判别法得知，级数在上一致收敛，由于级数的每一项在上连续，所以。

6 利用傅立叶级数求和

对于以为周期或以为周期的函数f（x），当f（x）满足一定的条件时，f（x）可以展开为付立叶级数，或

其中an,bn为f（x）的付立叶系数。

利用此结论，可以求出一些和。

参考文献

[1]华东师范大学.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1989，6

[2]刘玉链，傅沛仁编.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1992，7.