人大版 微积分 第四章 函数的极值及其求法

（不易判明符号） 不易判明符号）
⇒ f ′′( x ) = 2 − e x 令 f ′′( x ) = 0 得 x = ln 2
当 x < ln 2 时, f ′′( x ) > 0 当 x > ln 2 时, f ′′( x ) < 0 ⇒ x = ln 2是 f ′( x )的一个极大值点
⇒
而且是一个最大值点， 而且是一个最大值点， f ′( x ) < f ′(ln 2) = 2 ln 2 − 2a − 2 < 0
⇒ ∃δ 1 > 0, 使当 x ∈ (a − δ 1 , a + δ 1 )时，有 f ( x ) > f (a ) 处连续， 又f ( x )在 x = a 处连续，且 f ( a ) < 0 在 ⇒ ∃δ 2 > 0, 使当 x ∈ ( a − δ 2 , a + δ 2 )时，有 f ( x) < 0 令δ = min{δ 1 , δ 2 } 则当 x ∈ (a − δ , a + δ )时，有 f (a ) ≤ f ( x ) < 0
微积分
三、小结
极值是函数的局部性概念: 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 极小值可能大于极大值. 值,极小值可能大于极大值 极小值可能大于极大值 驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点 函数的极值必在临界点取得. 函数的极值必在临界点取得 临界点取得 第一充分条件; 第一充分条件 判别法 第二充分条件; 第二充分条件 (注意使用条件 注意使用条件) 注意使用条件
f ( x0 ) 不是极值
微积分
为偶数， 渐增地经过x ②n为偶数，当x 渐增地经过 0时 为偶数 f ( n ) (ξ ) 不变号 ( x − x0 )n 不变号 n! ⇒ f ( x ) − f ( x0 ) 不变号
f ( x0 ) 是极值
且当 f ( n ) ( x0 ) > 0 时 f ( x0 ) 是极小值 当 f ( n ) ( x0 ) < 0 时 f ( x ) 是极大值 0
微积分
微积分
dx = rx dt
莫兴德
广西大学 数信学院
Email:moxingde@gxu.edu.cn
微积分
链接目录
第二章 极限与连续
中值定理, 第四章 中值定理,导数的应用
第一章 函数 第三章 导数与微分 第五章 不定积分
无穷级数(不要求) 第七章 无穷级数(不要求)
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
所以,函数 所以 函数 f ( x ) 在 x0 处取得极大值
微积分
例2 求 函 f (x) = x3 + 3x2 − 24x − 20的 值 出 数 极 . 解
f ′( x ) = 3 x 2 + 6 x − 24 = 3( x + 4)( x − 2)
x 2 = 2.
令 f ′( x ) = 0， 得驻点 x1 = −4,
⇒ f 2 ( x ) ≤ f 2 (a )
f 2( a )是 f 2( x )的极大值 是 的极大值 同理可讨论f 同理可讨论 ( a ) 是f ( x )的极大值的情况 的极大值的情况
微积分
阶的连续导数， 在 例6 假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且 f ′(x0) = f ′′(x0) =⋯ f (n−1)(x0) = 0,但 f (n)(x0) ≠ 0 = 为偶数时， 证明当n为偶数时， f(x0)是f(x)的极值 为奇数时， 当n为奇数时， f(x0)不是f(x)的极值 证 公式， 由Taylor公式，得 公式
f ′( x 0 + ∆ x ) − f ′( x 0 ) 证 (1) ∵ f ′′( x0 ) = lim < 0,
∆x → 0
∆x
异号， 故f ′( x0 + ∆x ) − f ′( x0 )与∆x异号，
当∆x < 0时， 有f ′( x0 + ∆x ) > f ′( x0 ) = 0, 当∆x > 0时， 有f ′( x0 + ∆x ) < f ′( x0 ) = 0,
f ( n ) (ξ ) f ( x ) − f ( x0 ) = ( x − x0 )n (ξ在x与x0之间) n! 又 f ( n ) ( x )在x0处连续
⇒ lim f ( n ) ( x ) = f ( n ) ( x0 ) ≠ 0
x → x0
微积分
的一个小邻域， 因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内
仍用定理 2.
Baidu Nhomakorabea
微积分
注意:函数的不可导点 也可能是函数的极值点 也可能是函数的极值点. 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点 例3 解
求 函 f (x) =1−(x − 2) 的 值 出 数 极 .
− 2 f ′( x ) = − ( x − 2 ) 3 3 1
2 3
( x ≠ 2)
当x = 2时, f ′( x )不存在 . 但函数 f ( x )在该点连续 .
函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值 极值的点称为极值点 极值点. 极值的点称为极值点
微积分
二、函数极值的求法
定理1 必要条件) 定理1(必要条件) 设f (x)在 x0 处 有 数 且 点 具 导 , x 取 极 , 末 定 在 0处 得 值 那 必 f '(x0) = 0. 定义 使导数为零的点 (即方程 f ′( x ) = 0 的实根 )叫
0
y
y
+ − o
x0
−
x
+
x0
o
x
(是极值点情形 是极值点情形) 是极值点情形
微积分
y
+ +
y
− −
o
x0
x
o
x0
求极值的步骤: 求极值的步骤:
x (不是极值点情形 不是极值点情形) 不是极值点情形
(1) 求导数 f ′( x );
( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
⇒ x > 0时, f ( x ) ↓
微积分
⇒
f ( x ) < f ( 0) = 0
即 x 2 − 2ax + 1 < e x
连续， 的极值， 设f ( x )连续，且f ( a )是f ( x )的极值，问 连续 是 的极值 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值 是否是 的极值 分两种情况讨论
例5 证
① 设 f ( x ) > f (a ), 且f (a ) ≥ 0
⇒ ∃δ > 0, 使当 x ∈ (a − δ , a + δ )时，有
f 2 ( x ) > f 2 (a )
所以 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的极小值
微积分
的极小值， ②设f ( a ) 是f ( x )的极小值，且 f ( a ) < 0 的极小值
微积分
定理2(第一充分条件) 定理2(第一充分条件) 2(第一充分条件
; x (1)如 果 (1)如 x∈(x0 −δ, x0),有f '(x) > 0 而 ∈(x0, x0 +δ ), x 有f '(x) < 0， f (x)在 处 得 大 . 则 取 极 值 ; x (2)如 (2)如 x∈(x0 −δ, x0),有f '(x) < 0 而 ∈(x0, x0 +δ ) 果 f '(x) > 0， f (x)在 0 处 得 小 . x 取 极 值 有 则 ' x (3)如 (3)如 当 ∈(x0 −δ, x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f (x) 果 x , x 无 值 符 相 ,则f (x)在 0 处 极 . 号 同
x
( −∞ ,−1) − 1
+
(−1,3) −
−
3 0
极 小 值
( 3,+∞ )
+
f ′( x ) f ( x)
0
极 大 值
↑
↓
↑
极 值 f (−1) = 10, −
极 值 f ( 3) = −22.
微积分
f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 5图形如下
M
m
微积分
定理3(第二充分条件) 定理3(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 3(第二充分条件 x 具 二 导 , 且f '(x0) = 0, f ''(x0) ≠ 0, 那 末 f ''(x0) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 (1)当 , 数 '' x 取 极 值 (2)当 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数
当x < 2时， f ′( x ) > 0; 当x > 2时， f ′( x ) < 0.
M
∴ f ( 2) = 1为f ( x )的极大值 .
微积分
x 明 时 2 例4 证 x > 0 , x −2ax +1< e (a > 0)
证
记 f ( x ) = x 2 − 2ax + 1 − e x 则 f ′ ( x ) = 2 x − 2a − e x
可疑极值点：驻点、不可导点 可疑极值点：驻点、
可疑极值点是否是真正的极值点， 可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步 判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、 判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、 右两侧邻近，导数分别保持一定的符号， 右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题 即可得到解决。 即可得到解决。
做函数 f ( x ) 的驻点.
注意: 注意 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 点,
但函数的驻点却不一定 是极值点.
y = x 3 , y ′ x = 0 = 0, 例如, 例如
但x = 0不是极值点. 不是极值点
微积分
注
①这个结论又称为Fermat定理 ②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值， 则此函数没有极值，此时导数不改变符号 ③不可导点也可能是极值点
∵ f ′′( x ) = 6 x + 6,
∵ f ′′( −4) = − 18 < 0,
f ′′( 2) = 18 > 0,
故极大值 f (−4) = 60, − 故极小值 f ( 2) = −48.
f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 24 x − 20 图形如下
微积分
M
m
注意: f ′′( x0 ) = 0时, f ( x )在点x0处不一定取极值 , 注意:
微积分
一、函数极值的定义
y
y = f (x)
ax
y
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
b
x
y
o
x0
x
o
x0
x
微积分
定义 设 数 (x)在 间a,b) 有 义 x0是 函 f 区 ( 内 定 , (a,b) 的 个 , 内 一 点 如 存 着 x0的 个 域对 这 域 的 果 在 点 一 邻 , 于 邻 内
何 x 了 x , 任 点 ,除 点 0外 f (x) < f (x0)均 立就 成 , 称 f (x0)是 数 (x)的 个 大 ; 函 f 一 极 值 果 在 点 一 邻 , 于 邻 内 如 存 着 x0的 个 域对 这 域 的 何 x 了 x , 任 点 ,除 点 0外 f (x) > f (x0)均 立就 成 , 称 f (x0)是 数 (x)的 个 小 . 函 f 一 极 值
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
微积分
例1 求 函 f (x) = x3 − 3x2 −9x + 5的 值 出 数 极 . 解
f ′( x ) = 3 x 2 − 6 x − 9 = 3( x + 1)( x − 3)
令 f ′( x ) = 0， 得驻点 x1 = −1, x2 = 3. 列表讨论
f ( n ) ( x )与 f ( n ) ( x0 )同号 ⇒ f ( n ) (ξ )与 f ( n ) ( x0 )同号
下面来考察两种情形
( x − x0 )n 变号 为奇数， 渐增地经过x ①n为奇数，当x 渐增地经过 0时 为奇数 f ( n ) (ξ ) 不变号 n! ⇒ f ( x ) − f ( x0 ) 变号
第九章 微分方程
微积分
参考书
[1]赵树嫄 微积分 中国人民出版社 赵树嫄. 微积分. 赵树嫄 [2]同济大学 高等数学 高等教育出版社 同济大学. 同济大学 高等数学.
微积分
第四章 函数的极值及其求法
微积分
函数的极值及其求法
由单调性的判定法则，结合函数的图形可知， 由单调性的判定法则，结合函数的图形可知， 曲线在升、降转折点处形成“ 曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函 数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点 处的函数值。函数的这种性态以及这种点， 处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论 在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义， 在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义， 值得我们作一般性的讨论。 值得我们作一般性的讨论。