第六章排列组合、二项式定理

第十章排列组合、二项式定理知识结构

知识点、能力点提示

(一)分类计数原理与分步计数原理

1.分类计数原理:完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法, 在第

2类办法中有m2种不同的方法 ......在第n类办法中有m n种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1 +m2 + ......m n 种不同的方法.

2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法, 做第

2步有m2种不同的方法 ......做第n步有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1×m2 × ...... ×m n 种不同的方法.

(二)排列、排列数公式

１.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列．

２．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号表示

３．排列数公式

１）

２）

规定：０！＝１

(三)组合、组合数公式、组合数的两个性质

１．组合：一般地,从n 个不同元素中取出m(m ≤n) 个元素并成一组，叫做从n 个不

同元素中取出m 个元素的一个．

２．组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n) 个元素的所有组合的个数，叫做从n

个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号 表示

３．组合数公式

１）

２）

４．组合数的两个性质

性质１：

性质２：

规定：

５．排列数与组合数关系

(四)二项式定理、二项展开式的性质

１．定理： 011()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++

２．通项公式：1r n r r r n

T C a b -+=，其中r n C 称为二项式系数，二项式系数一定为正整数，应当注意与项的系数的区别。项的系数可以为正，可以为负

注意：

1)令a=b=1时， 0122n n n n n n C C C C ++++=

令a=1，b=-1时02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=

2)常用的二项展开式

0122(1)n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x +=++++++

011(1)n n n r n r n n n n n x C x C x C x C --+=+++++

3)在二项式展开时()n b a +与()n

a b +的展开式是不一样的。

4)展开式中共有n+1项，当n 为偶数时，中间一项为第

12n +二项式系数最大，当n 为奇数时中间两项第12n +，112

n ++项的二项式系数最大。 ３.二项式定理的应用：

1.求展开式中的指定项或特定项(或系数)，展开式逆用

2.各项系数和的求法及各项二项式系数和的求法。

3.求二项展开式的最大系数及系数最大的项

4.利用二项式定理进行近似计算，证明整除问题，

5.证明组合数恒等有关问题

第十一章 概率

1. 必然事件 不可能事件 随机事件

2． 等可能事件的概率：如果一次试验可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可

能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1/n,如果某个事件Ａ包含的结果有m 个，那么事件Ａ的概率P （A ）＝m/n

３．１）互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件

如果事件Ａ１，Ａ２，．．．．．．Ａn 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件

Ａ１，Ａ２，．．．．．．Ａn 彼此互斥

互斥事件有一个发生的概率公式：

若事件A 、B 为互斥事件,

则P （A+B ）= P （A ）+P （B ）

２）对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件，记作Ａ

公式：若事件A 、B 为对立事件,则

P （A ）+P （B ）=1

一般地,()()1p A P A =-

４．相互独立事件：事件Ａ（或Ｂ）是否发生对事件Ｂ（或Ａ）发生的概率没有影响，

这样的两个事件叫相互独立事件

相互独立事件同时发生的概率公式：

若事件A 、B 为相互独立事件,则

P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）

５．在n 次独立重复试验中，如果事件Ａ在其中一次试验中发生的概率是p,那么在n 次

独立重复试验中这个事恰好发生K 次的概率

()()k n k k n n p p C K P --=1

例题：考纲５９页例１－例７

练习

１． 求值： 5n n

c -＋91n n c -+＝（ ）

２．

）n 展开式的各项系数和大于８且小于３２，则展开式中系数最大的 项是（ ）

３．７７７７－７被１９除所得余数是（ ）

４．５个人分４张同样的足球票，每人至多分１张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是（ ）

５．已知Ａ＝｛a 1,a 2,a 3,a4,｝,B={b1,b2,b3},可建立从集合Ａ到集合Ｂ的不同映射的个数是（ ），可建立从集合Ｂ到集合Ａ的不同映射的个数是（ ）．

６．在（１＋x ）3＋（１＋x ）４＋．．．．．．（１＋x ）

n+2 的展开式中，求含x 2

项的系数（ ）

７． 某信号兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以

任挂其中一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？

８． 有1元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？

９．4位学生与2位教师并坐合影留念．以下各有多少种不同的坐法？

(1)教师必须坐在中间；

(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；

(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．