高中数学北师大版选修2-2 4.3.2简单几何体的体积 课件

x 轴和y轴旋转所成的旋转体的体积.
解
(一) 绕x轴：
6
ห้องสมุดไป่ตู้ V
2V1
2
a y2dx
0
2
a 0
b2 (1
x2 a2
)dx
y
2b2
a2
(a2x
x3 3
)
a
4 3
ab2.
0
O
x x+dx x
7
(二)绕y轴：
则
V
2V1
2
b 0
x2dy
2a2 b2
b
(
0
b2 y2 )2dy 4 a2b. 3
y
所以，所求旋转 体的体积
V b [ f (x)]2 dx a
4
类似地可得，由区间[c,d]上的连续曲线 x ( y) ,
两直线y=c与y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋 转一周所成的旋转体的体积为
V d [( y)]2 dy c
5
练习1
求由椭圆
x2 a2
y2 b2
1
所围图形分别绕
第四章 定积分 4.3.2 简单几何体的体积
1
2
3
旋转体的体积
由微元法，取x为积分变量，其变化范围为区间 [a,b]。在区间[a,b]的任意一个小区间[x,x+dx]上，相 应的薄旋转体的体积可以用以点x处的函数值f(x)为底 面半径，以dx为高 的扁圆柱体的体积近似代替，
从而得到体积元素 dV [ f (x)]2 dx
y +dy
yx
O
xx
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课堂小结： 求体积的过程就是对定积分概念的进一步 理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如 下：
1．先求出 y f x 的表达式；
2．代入公式 V
b
f
2
xdx ，
a
即可求旋转体体积的值。
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