角动量及其守恒

M

O S

d r

m

F

α

图1.2.1

第七讲 角动量及其守恒

1、力矩

表述 由点到力的作用点的矢径r 与力F 的矢量积称为力F 对点O 的力矩，即

F r M

?=

注释:

⑴ 力矩是描述物体间相互作用的物理量．力矩不仅与力的大小有关，而且与力的方向及作用点的相对位置有关，相同的力，若作用点不同，产生的力矩也不同，所以，提到力矩时，必须指明是相对哪个点而言的．

⑵力矩是矢量，其大小为Fd

Fr M ==αsin ，式中，α为r 与力F 方向间（小于o

180

）的夹角，d 到点O 力矢量的延长线

的距离,称作力臂,显然，若力的作用线通过参考点，力臂为零，则力矩为零．

⑶力矩的方向由右手旋法则确定，即将右手的四个手指由矢量r 沿小于o

180

转至力F 的方向，此时伸出的指向，即是力矩的方向，如图

1.2.1所示，力矩M 垂直于r 和F 构成的平面。

2、冲量矩和角动量（动量矩）

冲量矩 力对某定点的力矩M 与力矩作用的微小时间间隔dt 的乘积，称为力矩M 在时间dt 内的冲量矩，而在21t t 到的一段时间内的冲量矩是?

2

1

t t Mdt ． 角动量 质点对某点的位矢r 与质点在相应位置的动量m v 的矢量积，称作质点对该

定点的动量矩，即： p r L

?=

注释

⑴ 冲量矩是矢量，反映的是力对绕定点转动的时间积累作用，是一个和过程有关的量．

⑵ 角动量是矢量，其大小为θ

sin rmv l =，式中θ为r 和

m v 方向间(小于o

180

)的夹角，其方向垂直于由r 和m v 构成的

平面，由右手法则确定，如图所示。

⑶ 角动量是描述质点绕定点的运动，是状态量．提到动量矩，应指出是相对哪个定点而言的．

⑷ 动量和角动量概念的对比．动量和角动量都是矢量，又都

是质点运动状态的函数，但二者又有区别：从定义看，前者只是速度的函数，而后者除了与运动速度有关以外，还与质点对给定点的矢径有关．以匀速圆周运动为例，运动过程中动量不守恒，而对圆心的角动量却是守恒的．

O

S

r

m

v

θz

3、角动量定理

表述 质点所受合外力对某定点的冲量矩等于质点对该定点的角动量的增量，即

?-=2

1

21t t L L dt M

对于质点系，角动量定理表述为系统所受外力合冲量矩等于系统总动量矩的增量，即

∑?

∑∑-=i

i t t i

i

i i L L dt M 021

外

注释

⑴ 此定理只适用于惯性系．

⑵ 系统的动量矩的改变仅取决于外力的冲量矩，与内力矩无关．

⑶ 各外力的作用点一般不在同一点上，在求合外力矩

时应先求出每一个外力的力矩，再求各力矩的矢量和．例如，两个质量相同的小球用一（质量可以忽略的）轻杆相连，绕中心点O 在水平面内转动，如图所示，当分别作用

于两球上大小相等，方向相反的外力时，对于两球系统有

∑=i

F 0i 外，而对中心点0的∑≠i

i M 0外．

⑷ 定理中每个外力的力矩和每个质点的角动量都应是相对同一定点而言的． ⑸ 对于微小的时间过程，动量矩定理可以写成微分形式，即

dt

L d M =合

式中，∑?=i

i i F r M )(外合

为各外力对某定点的力矩的矢量和，称为合外力矩，∑?=i

i i v m r L )(

为系统内各质点对该定点的角动量的矢量和，称为系统对该定点的总角

动量，微分形式的角动量定理可表述为：系统所受的合外力矩等于系统总角动量的变化率．

4、角动量守恒定律

表述 若对某定点合外力矩为零，则系统对该定点角动量守恒，即

若∑=?==i

i i C p r L M )(,0

则合

注释：

⑴ 角动量守恒定律既适用于单个质点，又适用于质点系．对于单个质点，守恒定律可简化为：对于某个定点O ，若质点所受的合外力矩为零，则质点对点O 的角动量守恒． ⑵ 守恒条件为对某定点的合外力矩为零．应理解力矩为零既可能是由于力为零，也可能是由于力臂为零，即力的作用线过定点．在有心力作用下的质点（如电子绕核运动时）角动量守恒．

⑶一旦满足角动量守恒条件，则有角动量守恒的结论，如匀速直线运动的质点，由于所受的合外力为零，从而导致合外力矩为零，对线外点O 的动量矩一定守恒，即

mvd v m r L =?=

；而匀速圆周运动的质点受到的合外力指出圆心，故对其圆心点来说，

合外力矩为零，动量矩必然守恒，对其他点来说，向心力的力矩不是零，则动量矩不守恒． 5、角动量定理在刚体动力学中的简单应用

m m

F I

F 2=-F

1

5.1刚体的动能

刚体是多质点系统，它的动能等于各质点动能之和，即

22

1

i i i k v m E ∑=

根据柯尼希定理k

kC k E E E '+=有： 22

2121ωC C k I mv E +=

（其中2)2

1(C

i i kC v m E ∑=为质心动能， 22

222

1)(2121ωωC i

i i i i i k

I r m v m E ='='='∑∑，C I 为相对于质心的转动惯量） 转动惯量：2

i

i

i r

m I ∑=

5.2刚体运动的描述

5.3刚体定轴转动动力学 （1）转动方程

绕z 轴转动的定轴转动方程：dt

L d M z

z =

ωωI r m v r m L i i i i i ===∑∑2

βωI dt

d I dt dL M ===

∴ （2）转动动能：2

2

1ωI E k =

转

（3）质心系中的角动量定理：dt

L d M '

='外 ，这是由于质心系中惯性力的力矩为0.

例1：（1）试证明开普勒第二定律。 （2）一根质量分布均匀的细棒，质量为M 、长L 。求其绕过其质心垂直于棒的轴的转动惯量，及其绕过其一端垂直于棒的轴的转动惯量。

例2：一个圆锥摆，长为L的绳的一端悬挂在B点，另一端系一质量为M的摆球（视作质点），摆球以匀角速度ω作稳定的水平圆周运动。设圆周运动半径为r，圆心为A点。如图所示，试求：

（1）相对于A点和B点的角动量；

（2）相对于A点和B点的力矩。

例 3：匀质杆的质量为 m，长为l，一端为光滑的支点.最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示.则：

（ 1）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度v

（ 2）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力.

（ 3）假如当棒通过竖直位置时铰链突然松脱，棒在下落过程中，当棒的质心下降了 h 的距离时，棒一共转了多少圈？

例 4： 如图甲所示，半径为Ｒ的乒乓球绕质心轴的转动惯量为 23

2

mr I

，ｍ为乒乓球的质量．乒乓球以一定的初始条件在粗糙的水平面上运动，开始时球的质心速度向右为 v C0，初角速度为 ω０，垂直于纸面向外．已知乒乓球与地面间的动摩擦因数为 μ．试求乒乓球开始做纯滚动所需的时间及纯滚动时的质心速度．

练习1：哑铃由长为L的轻质硬杆和固定在其两端的相同小钢球组成，开始时哑铃放在光滑水平桌面上不动，且杆为南北指向。现给其中一球一个指向东的恒力F。求当哑铃转过90°时杆中的张力。

练习2：在半顶角为α的圆锥面内壁离锥顶h高处以一定初速度沿内壁水平射出一质量为m 的小球，设锥面内壁是光滑的。

（1）为使小球能在h高处的水平面内作匀速圆周运动，则初速度V0为多少？

（2）若初速度V1=2V0，求小球在运动过程中的最大高度。

练习3：一个半径为a、质量为m的匀质圆环被投射到一个倾角为θ的粗糙斜面上，开始有向下的之心速度v0和和一个使环沿斜面向上运动倾向的角速度ω0。开始，环与斜面接触点距地面高为h，圆环保持在一个竖直平面内运动，若到达斜面底部刚好处于静止。求：（1）圆环与斜面间的摩擦系数（设最大静摩擦等于滑动摩擦力）

（2）圆环的初始角速度ω0。

（3）