高等数学：第5节 隐函数求导

则方程 F ( x , y , z ) = 0 在点 P( x0, y0, z0 ) 的某一
邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的
函数 z = f ( x , y ) , 它满足条件 z0 f ( x0, y0 )
并有
z Fx , z Fy
x Fz
y Fz
例3
设 x2 y2 z2 4z 0，求
F F dx F z 0
x dx z x
xx
z
y
y
z x
F
x F
z
z y
F
y F
z
隐函数存在定理 2：设函数 F ( x , y , z ) 在点
P( x0, y0, z0 ) 的某一邻域内有连续偏导数， 且 F( x0, y0, z0 ) 0, Fz ( x0, y0, z0 ) 0,
F
d y dx
x F
y
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点
P( x0 , y0 )的某一邻域内具有连续的偏导数，
且
F ( x0 , y0 ) 0，Fy ( x0 , y0 ) 0，
则方程F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内
恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的
思路：
把z 看成 x, y 的隐函数对 x求偏导数得 z ， x
把 x看成z, y的隐函数对 y求偏导数得 x ， y
把 y看成 x, z的隐函数对
z 求偏导数得
y
.
z
例 4 设 z f ( x y z, xyz)，求 z ，x ，y . x y z
解： 令 u x y z, v xyz, 则 z f (u,v),
dx
dx
dy dx
e y 1 1 xe y
问题：(1) 没有统一的公式;
(2) 没有回答隐函数是否一定存在.
将 y = f (x) 代入方程得： F [ x , f (x) ] 0
x
d F [ x , f (x) ] dx
F
x y
F dx F d y x dx y dx
F F d y 0 x y dx
(1 x e y )2
例2：设 y x e y x 0 求 d 2 y d x2
解： F ( x , y ) y x e y x
dy
dx
e y 1 1 xe y
,
d2 y d x2
(1 xe y ) d (e y 1) (e y 1) d (1 xe y )
dx
dx
(1 x e y )2
2z x 2 .
解 令 F(x, y,z) x2 y2 z2 4z,
则
Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
2z x 2
(2 z) x z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x (2 z)2
(2 z) x x
2 z (2 z)2
(2
z)2 (2 z)3
x2
.
例 4 设 z f ( x y z, xyz)，求 z ，x ，y . x y z
(1 xe y )e y y (e y 1)(e y xe y y ) (1 x e y )2
e y (1 e y )(xe y x 2 ) (1 x e y )2
（2）由方程
F(x, y,z)0
所确定的二元函数 z = f ( x , y ) , 求
z , z x y
F[x, y, f (x, y)] x
( Fx ) x Fy
( Fx ) dy y Fy d x
Fx x
Fy Fx Fy2
Fy x
Fx y
Fy Fx Fy2
Fy y
(
Fx Fy
)
Fxx Fy2
2Fxy Fx Fy Fy3
FyyFx2
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导
两边微分得 dz fudu fvdv
fu(dx dy dz) fv ( yzdx xzdy xydz)
（1）解出 d z 得
dz
fu yzfv dx 1 fu xyfv
fu xzfv dy 1 fu xyfv
解 令 F ( x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F (0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0,
dx x0
d2y dx2
y
xy y2
y
x y2
x y
1 y3
,
d2y dx2
x0
1.
例2：设 y x e y x 0 求 d 2 y d x2
函数 y f ( x)， 它满足条件 y0 f ( x0 )，
并有 dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式
问题：如何给出 d 2 y 的计算公式？ d x2
F ( x , y ) 0 , y f (x) , dy Fx
dx Fy
x
x
F
x Fx
y
Fy
x y
d2y dx2
d ( Fx ) d x Fy
数在 x 0的值.
解 令 F ( x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F (0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻域内 能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1的函数 y f (x)．
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0的值.
第五节 隐函数的微分法
（一）一个方程的情形
（1）由方程 F ( x , y ) 0
dy 所确定的 y 是 x 的隐函数 y = f (x) , 如何求 d x
例如： y x e y x 0
两边对 x 求导
d y d(x e y) 1 0
dx dx
d y ( e y xe y d y )10 ,
解： F ( x , y ) y x e y x
Fx e y 1 , Fy 1 x e y
dy dx
Fx Fy
e y 1 1 xe y
,
d2 y d x2
d e y 1
d
x
( 1
x
e
y
)
(1 xe y ) d (e y 1) (e y 1) d (1 xe y )
dx
dx