粘性流体力学

xy
V xV y
t
dVx dy
其中 t 称为涡粘性系数。写成一般式：
ij
ViV j
t
dVi dx j
dV j dxi
也就是将雷诺应力表示成了平均速度的函数，同瞬时NS方程一样，此时雷 诺方程封闭。
分子粘性系数只由流体性质决定，而涡粘性系数不是流体的一个物性参数， 它与当地的湍流结构和流动情况有关。
1 T
t
t T
Adt
t
A t
A B
1
t T
A Bdt
AB
Tt
AB A AB B AB AB
表示瞬时流动的不可压缩流的NS方程为：
Vi 0 xi
Vi t
Vj
Vi x j
1
p xi
2Vi
将速度和压力表示成时间平均值和随机脉动值之和：
V V V p p p
其目的是由表示瞬时流动的NS推导出表示平均流动的控制方程。
第六章 湍流 5.模式理论
雷诺方程是时均化的NS方程，但由于雷诺应力的出现，它是不封闭的。 为了解决方程组的封闭问题，必须建立雷诺应力(或脉动量)与平均量 间的关系，通常将这些关系称为湍流的模式理论。
模式理论是当前流体力学、空气动力学的研究热点之一。由于目前国 内外普遍使用雷诺方程计算流体力学问题，因此，模式理论具有极其 重要的学术意义和工程价值。
目前模式理论发展的很广泛，包括零方程模型、一方程模型、二方程 模型（如－模型）、应力模型等等。本节将讨论Prandtl的混合长度 理论，由于并不增加新的微分方程，属于湍流的零方程模型。
雷诺应力项反映了脉动速度引起的动量输运，这有些类似于分子输运项即 粘性项。参照适用于粘性项的牛顿内摩擦定律，Boussinesq (1877) 用涡 粘性系数的概念，把雷诺切应力和时均速度梯度联系起来。在平行剪切流 中，他假定雷诺切应力：
l 2
dVx dy
dVx dy
式中 l 称为混合长度，所以涡粘性系数：
tБайду номын сангаас
l 2
dVx dy
采用模式理论将雷诺方程封闭后，就可以求解雷诺方程，计算出各种流 动参数。
目前在航空航天界，广泛使用Baldwin-Lomax模型，这是零方程模型的一 个例子 。
湍流模式理论是用理论方法和经验，建立一些有关雷诺应力的假设，从 雷诺方程得到封闭的方程组。它是工程计算常用的方法。大量的工程流 体力学问题，涉及湍流，需要估计湍流的影响； 例如飞行器的边界层， 一般是湍流。湍流产生的阻力，湍流对边界层分离的影响， 对壁面温度 的影响，都是飞行器设计中十分重要的问题。解决此问题的途径有三个； 实验、直接求解NS方程（DNS）和模式理论计算方法。实验往往耗费巨大； 各大国虽然建立了许多庞大的风洞设备，但是也不能测试、解决所有的 飞行的湍流问题。随着计算机的迅速发展，从NS 方程直接数值模拟湍流 虽然有很大的进展，但是离开解决工程湍流问题还有很大距离。因此湍 流模式理论成为解决工程湍流问题的最常用、最有效的手段。
粘性流体力学
阎超 北京航空航天大学
第六章 湍流 4.雷诺方程
湍流是高度随机的，目前，在每一时刻、对每一点的流动参数进行描述是 不可能的。另一方面，人们关心的是湍流表现出的平均特性。所以用平均 的概念研究湍流一直是湍流研究的主要方向之一。
将湍流中的瞬时参数（如速度、压力等）分解成时间平均值和随机脉动值：
第六章 湍流 专题讨论
建议论文主题：有关湍流的一切问题 建议论文重点：拟序结构、湍流模式
将上式带入NS方程，并利用平均值的有关运算法则，整理后可得：
Vi 0 xi
Vi
t
Vj
Vi x j
1 p xi
2Vi
x j
ViV j
（6.1）
或写成：
Vi t
Vj
Vi x j
1 p 1 xi xj
2Sij ij
其中：
Sij
1 2
Vi x j
V j xi
,
ij ViV j
（6.2）
(6.1)(6.2)是用平均值和脉动值表示的湍流NS方程，这就是著名的雷诺方 程。
与原NS相比，雷诺方程多出 VxVy 一项， 该项同应力表达式相同，称为 雷诺应力张量，它有六个独立分量。
由于增加了六个未知数，方程组不再封闭。
雷诺应力的讨论：（1）粘性应力对应于分子扩散引起界面两侧的动量 交换，扩散是由分子热运动引起的；雷诺应力对应于流体微团的跳动引 起界面两侧的动量交换，跳动是由大大小小的旋涡（即湍流脉动）引起 的；所以湍流平均运动的微元体除压力外还受到分子粘性应力和雷诺应 力两种表面力作用；（2）雷诺应力张量是脉动速度的二阶相关张量； （3）分子运动的特征长度是分子平均自由程，它远小于流动的宏观尺 度，而湍流脉动的最小特征尺度仍属于宏观尺度。所以雷诺应力比时均 流粘性力大若干量级，起主导作用，它使时均流速度分布等发生明显变 化。
Prandtl（1925）建立了涡粘性系数的半经验理论——混合长度模型。其 基本思想是：湍流中流体质点的无规则运动类比于气体分子的热运动，故 在流场中存在一个类似于平均自由层的尺度，该尺度是任一个流体质点与 其它流体质点发生掺混改变其速度前所经过的平均距离。根据这个理论， 可推知：
xy
VxVy
A A A
随机脉动的频率在100－100000之间，振幅一般小于平均值的十分之一， 时间平均值的定义为：
At
1
t0 T
At dt
T t0
很容易证明脉动的平均值为零
A
1
t0 T
Adt
1
t0 T
A
A
dt
0
T t0
T t0
可证明平均值的有关运算法则 ：
A
t
1 T
t T t
A t
dt