矩阵分析第章线性空间与线性变换概述

再单位化：1
|
1
1
|
1
(
1, 2
1 ,0,0) 2
2
|
1
2
|2
(
1 , 6
1, 6
2 ,0) 6
3
1
| 3
|3
( 1 , 12
ห้องสมุดไป่ตู้
1, 12
1, 12
3) 12
4
1
| 4
|4
(1,1,1,1) 2 2 22
1,2,3,4 即为所求．
2.5 标准正交基、子空间的正交关系
例2. 在 R [ x ]4 中定义内积为
称为正交基； 由单位向量构成的正交基称为标准正交基.
注：
① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准 正交基.
2.5 标准正交基、子空间的正交关系
② n 维欧氏空间V中的一组基 1,L ,n 为标准正交基
(i,j) 1 0i i j j， i,j 1 ,2 ,L ,n (1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1,L ,n为标准正交基
① 从 ( , i ) x r 1 , r ( , j r ) r y 1 ,( u r , u r k ) z 1
得 (, i ) i (,j ) j (, k ) k
② (,) x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
③ | | x12y12z12
④ , a r c c o s
是由单位向量构成的正交向量组，即 r rr u ru r r r r u r ( i ,j ) ( j , k ) ( k , i ) 0 , |i||j||k|1
r r ur i, j, k 是 R 3 的一组基.
r r u r r r u r
设 x 1 i y 1 j z 1 k , x 2 i y 2 j z 2 k R 3 r r u r
2.5 标准正交基、子空间的正交关系 一、正交向量组
定义：
设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1,2,L ,m V ,
如果它们两两正交，则称之为正交向量组.
注：
① 若 0 , 则 是正交向量组.
② 正交向量组必是线性无关向量组.
2.5 标准正交基、子空间的正交关系
③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组．
x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
x 1 2 y 1 2 z 1 2 x 2 2 y 2 2 z 2 2
r r ur 即在基 i , j , k 下，R 3 中的与内积有关的度量性质有
简单的表达形式.
2.5 标准正交基、子空间的正交关系
2. 标准正交基的定义
n 维欧氏空间中，由 n 个向量构成的正交向量组
1
(f,g) f(x)g(x)dx 1
求 R [ x ]4 的一组标准正交基．
(由基 1,x,x2,x3 出发作正交化)
解: 取 1 1 , 2 x , 3 x 2 , 4 x 3
1 o 正交化
111
2 2((21,,11))1
Q(2,1) 11xdx0, 22x
33(( 3 1,, 1 1))1(( 3 2,, 2 2))2
n
(ii) (, )x 1y 1x 2y 2 L x n y n x iy i (3)
i 1
这里
x 1 1 x 2 2 L x n n ，
y 1 1 y 2 2 L y n n .
(iii) || x12Lxn2
2.5 标准正交基、子空间的正交关系
3. 标准正交基的构造 ─施密特(Schmidt)正交化过程
第2章 线性空间与线性变换
主要内容： 2.1 线性空间 2.2 子空间、子空间的直和 2.3 线性变换及其矩阵表示 2.4 欧氏空间 2.5 标准正交基、子空间的正交关系 2.6 正交变换 2.7 酉空间简介
2.5 标准正交基、子空间的正交关系
一、正交向量组 二、标准正交基 三、正交矩阵 四、正交子空间 五、子空间的正交补
例1. 把 1 ( 1 , 1 , 0 , 0 ) , 2 ( 1 , 0 , 1 , 0 ) ,
3 ( 1 , 0 , 0 , 1 )4 ( 1 , 1 , 1 , 1 )
变成单位正交的向量组.
解：令 1 1 (1 ,1 ,0 ,0 )
正交化
2
2((21,,11))1
(
1 2
Schmidt正交化过程:
1 o 先把线性无关的向量组 1,L,m
化成正交向量组 1,2,L,m.
1 1,
2 2((21,,11))1,
jjij 1 1( (ij,, ii) )i, j2 ,3 ,L ,m ;
2 o 再单位化得标准正交向量组 1,2,L,m.
i |1i|i, i1,2,L,m
当且仅当其度量矩阵 A(i,j) En.
④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用:
设 1,L ,n为V的一组标准正交基，则
2.5 标准正交基、子空间的正交关系
(i) 设 x 1 1 x 2 2 L x n n V
由(1) ， (,i)xi.
有 ( ,1 ) 1 ( ,2 ) 2 L ( ,n ) n(2)
例如： R 3 中 1 ( 1 ,1 ,0 ) , 2 ( 1 ,0 ,1 )线性无关．
但 1 , 2 不是正交向量组.
Q(1 ,2 ) 1 0 .
④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n.
2.5 标准正交基、子空间的正交关系
二、标准正交基
1. 几何空间 R 3 中的情况
在直角坐标系下 r r u r i ( 1 , 0 , 0 ) ,j ( 0 , 1 , 0 ) ,k ( 0 , 0 , 1 )
Q(3,1) 11x2dx2 3,
(1,1)
1
dx2,
1
(3,2) 11x3dx0,
332 2 3102x21 3
2.5 标准正交基、子空间的正交关系
44 ( (4 1 ,,1 1 ) )1 ( (4 2 ,,2 2 ) )2 ( (4 3 ,,
3 ) 3 )3
Q(4,1) 11x3dx0,
,
1 2
,1,0)
33(( 3 1,, 1 1))1(( 3 2,, 2 2))2
(
1, 3
1 3
,
1 3
,1)
44 ( (4 1 ,,1 1 ) )1 ( (4 2 ,,2 2 ) )2 ( (4 3 ,,3 3 ) )3
(1,1,1,1)
2.5 标准正交基、子空间的正交关系