第11章 边界层理论分析

第11章边界层理论（Boundary Layer ~）

课堂提问：高尔夫球表面粗糙还是光滑一杆打的远？为什么龙舟的形状是细长体？本章内容：

1.边界层基本概念

2.边界层基本微分方程

3.边界层动量方程

4.边界层排挤厚度和动量损失厚度

5.平板层流边界层

6.平板湍流边界层

7.平板混合边界层

8. 船体摩擦阻力计算

9.曲面边界层分离现象形状阻力

10. 绕流物体的阻力

11.减少粘性阻力的方法

§11-1 边界层的概念

N-S方程理论上完备但求解困难。解决(求解)工程实际问题大多局限于小雷诺数流动问题。

高Re时(量级在10６～10９的范围),粘性力与惯性力相比是很小的。

1904年，L.Prandtl指出，对于粘性很小的流体(如空气、水），粘性对流动的影响仅限于贴

近固体表面的一个薄层内，这一薄层以外，粘性完全可以忽略。

从边界层厚度很小这个前提出发，Prandtl 率先建立了边界层内粘性流体运动的简化方程，开创了近代流体力学的一个分支——边界层理论。均匀来流绕一薄平板流动，微型批托管测得沿平板垂直方向的速度分布如下图：

在固体壁面附近，显著地受到粘性影响的这一薄层。

边界层：

均匀来流速度

平板上u=0边界层内粘性

力不可忽略

这一薄层内速度

梯度很大

y

v

x

∂

∂

与来流速度相同的量级,U99％

边界层外边界

U99％

外边界上流速达到U99％的边界层名义厚度

点到物面的法向距离。

边界层厚度

根据速度分布的特点，可将流场分为两个区域：一、边界层

二、边界层外部区域

边界层外部粘性影响很小，μ可以忽略不计，可认为边界层外部的流动是理想流体无旋势流。

这一薄层内速度梯度很大。

x

v y ∂∂边界层内的流动是有旋流动1()2y x x z v v v x y y

ω∂∂∂=-=-∂∂∂

重要推论：

（1）边界层内各截面上压力等于同一截面上边界层外边界上的压力：

即：P

1=P2=P

P2

P

P1

x

（2）势流的近似计算中，可略去边界层的厚度，解出沿物体表面的流速和压力分布，并认为就

是边界层边界上的速度和压力分布，据此来计

算边界层。

（3）根据边界层厚度极薄的基本假设，可将N-S 方程化简，获得边界层的基本微分方程。

边界层内的流动状态：

层流边界层，湍流边界层均存在粘性底层（层流底层），其厚度与Re有关。

5

Re (

)510

kp

kp kp Ux Ux

ν

ν

==

=⨯层流边界层转变为湍流边界层的判别准则：

ｘ为离平板前缘点的距离

对于平板，层流转变为湍流的临界雷诺数为：

层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标

5

510

kp x U

ν

=⨯（11－1）

Re Ux

ν

=

雷诺数

§11-2 边界层基本微分方程

粘性不可压缩流体,不计质量力，定常流过小曲率物体，物体表面可近似当作平面。

取物面法线为ｙ轴。在大Re 数情况下的边界层流动有下面两个主要性质：

1)边界层厚度较物体特征长度小得多，即

2)边界层内粘性力和惯性力具有相同的数量级

1

L

δδ'=

以此作为基本假定，将N-S 方程（二维）化简：

2

2

22

2

2

22

1()1()x x x x x y y y

y y x

y

v v v v p

v v x y x x y v v v v p

v v x

y y x y

νρνρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂连续性方程

0y x

v v x y

∂∂+=∂∂2

,

,

,,

y x

x y v v x y p

x y v v p L

L

U

U U

ρ'''''===

=

=将其代入N-S 方程，整理后得：

引进特征长度Ｌ、特征速度Ｕ，将方程中的各物理量无量纲化：

011

()

y x v v c x y '∂'∂+=''∂∂222

2

22

2

()1111(1R ()

)e 1x x x x

x y v v v v p v v a x y x x y

δδδδ

'''''∂∂∂∂∂''+=-++'''''∂∂∂∂⋅⋅∂2

22

22

111(1R )e ()()

y y y y x y v v v v p v v b x y y x y δδδδδ''''

⋅'∂∂∂∂'∂''+=-++'''''

∂∂∂∂∂⋅'

因为

～

，所以Re ～δ′2

L

δ

1Re