振动理论 第二章 习题解答

第二章习题

2—1

一重块100W N =，支承在平台上，如题2-1图所示。重块下联结两个弹簧，其刚度均为20/k N cm =。在图示位置时，每个弹簧已有初压力010F N =。设将平台突然撤去，则重块下落多少距离？

题2—1图 解答：由题可知：弹簧在初始时的形变0010

0.520

F L cm cm k =

== 设重块将下落h m ，则：

22

12.[()]W h k h L L =+-

于是： 4h cm =

2-3．求题2-3图所示的轴系扭转振动的固有频率。轴的直径为d ，剪切弹性摸量为 G ，两端固定。圆盘的转动惯量为J,固定于轴上，至轴两端的距离分别为12l l 和。 解： 以圆轴的轴线为固定轴，建立系统的振动微分方程 惯性力矩： J θ

恢复力矩： 1

2

p p GI GI l l +

由动静法得

1

20p p GI

GI J l l θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭

因此

2-4 一均质等直杆AB ，重为W ，用两相同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4图所示。

()122

12

4

32

2p p GI l l Jl l d I f f ωπωπ

+=

==

=

且

由以上各式得

线长为l ，

两线相距为2a 。试推导AB 杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出 其固有频率。

解：AB 杆绕重心摆动，则：

(

)2

22

2cos 20

: 2

12330

=: 2J a Wa F T T

l l

J Fa Wa J l m m J b b Wa mlb a b f θθθϕθθ

θθθωωπ===+=+===+=∴=

=

惯性力矩: 恢复力矩: 2Fa 其中 : 则 : 即 : 又有则 : 固有频率

2-5 有一简支梁，抗弯刚度EI=2E10 N ·c ㎡，跨度为L=4m ，用题图(a),(b)的两种方式在梁跨中连接一螺旋弹簧和重块。弹簧刚度K=5kN/cm ，重块质量

W=4kN,求两种弹簧的固有频率。

A

B

(a)

(b)

解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度

3

3

()2348l mg mgl EI EI

=

=

3

148l mg

EI

k =

=

（a ） 图可以看作弹簧和杆的并联

11348e EI k k k k l

=+=+

弹簧质量系统的固有频率112f π

=

已知EI=2E10 N ·c ㎡, K=5kN/cm, W=4kN

代入数据得

111.14f Hz =

（b ） 图可以看作弹簧和杆的串联

1

21

*e k k k k k =

+ 所以

2212e k f m

π=

代入数据得

2 4.82f Hz =

2—9一有黏性阻尼的单自由度系统，在振动时，它的振幅在5个周期之后减少了50%。试求系统的相对阻尼系数ζ。 【解】 由（2-33）式得

15()51

6

2T A e e A ζωδ=== 两端取对数，得 12

10ln 25()1T πζω

ζωωζ

==

-

则：22222

ln 2ln 210110010.0221

ζ

ζπζπζζ=⇒=--⇒=

2—10 列出题2—10图所示系统的振动微分方程，并计算其振动

频率。

解：系统运动时的受力如上所示

由动静法原理可得：

0002222=⋅⋅+⋅⋅+⋅⇒=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⇒=∑x l

b k x l a

c x

m b x l

b

k a x l a c l x m A

令22l ca C e = ， 22

l

kb K e =

则mw

C e 2=

ξ ，m k l b W m K W e ⋅=⇒=2

振动频率：

2

42222

222

421211c a b kml ml

m k l b wml a c W W d -=⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-=ξ

2—11如题2—1图所示轴承，轴的直径2,40d cm l cm ==剪切弹性模量

628*10/G N cm =。圆盘饶对称轴的转动惯量为10J kN =·cm ·2s ,并在5sin 2M t ππ=(k N ·cm)的外力偶矩作用下发生扭振，求振幅值。

2-11

解：惯性力矩 J θ••

恢复力矩 2

p GI l

微分方程 2

5sin 2p GI J t l

θππ••

+=

所以，振幅 2

52(2)p B GI J l

ππ=

-

已知2,40d cm l cm == ，628*10/G N cm =，10J kN =·cm ·2

s , 代入数据得 0.0672B rad =

2—12 已知一弹簧系统，质量块重N W 196=，弹簧刚度cm N k /20=，作用在质量块上的力为t F 19sin 16=，而受阻力为v R 56.2=。R F 、的单位均为N ，t 的单位为v s ，的单位为s cm /。求（1）忽略阻力时，质量块的位移和放大因子；（2

）考虑阻力时，质量块