北京大学2000年研究生入学考试量子力学试题
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的本征值和本征函数； （V0 为一常数） b. t=0 时，体系处于态 1 2 1 ， 2 1 0 ，求 t 时刻发现体系在态
1 2 0 ， 2 1 1 的几率。
（注：
ix
,
iy
为第 i 个粒子泡利算符的 x, y 分量）
五． （10 分）考虑一维谐振子，其哈密顿量
V0 0
中运动， a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数； b. 给出粒子处于 x>0 区域中的几率。它是大于 1/2，还是小于 1/2，为什么？ 二． （10 分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并 计及电子的自旋—轨道耦合项） a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；
求本征值和简并度。
1 2 1 2
)(
四． （22 分）两个自旋为 1/2 的粒子，在 ( s1 z , s 2 z ) 表象中的表示为 (
) ，其中，
i 是第 i 个粒子自旋向上的几率， i 是第 i 个粒子自旋向下的几率。
a. 求哈密顿量
2
2
ˆ V ( ) H 0 1x 2y 1y 2x
ˆr ˆ 0 ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ b. 若 f ( r ) s
ˆ, r ˆ 为电子的自旋和坐标算符。 （注：f(r)是 r 的非零函数， s ）
三． （16 分）三个自旋为 1/2 的粒子，它们的哈密顿量为
ˆ C (s ˆ1 s ˆ2 s ˆ2 s ˆ3 s ˆ3 s ˆ1 ) H 0
ˆ h (a a 1 ) H ， 2
而[a, a ] [a , a ] 0 , [a , a ] 1 a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0） ，则第 n 个激发态为
n N n (a ) 0
试求归一化因子 N n ；
ˆ ga a aa ， c. 若外加一微扰，H 试求第 n 个激发态的能量本征值 （准至 g 一级） 。
2
)
1/ 2
2x b
x
2 2
e 2b ，
则基态能量上限为 E 2 ( 一个？为什么？
81 4
)
1/3
(
A h m
)
1/3
。对这两个基态的能量上限，你能接受哪
北京大学 2000 年研究生入学考试试题
考试科目：量子力学 招生专业：物理系各专业 指导老师 试题： 一． （20 分）质量为 m 的粒子，在位势
V ( x ) ( x ) V
V{ V0 0
a 0
考试时间：2000.1.23 下午 研究方向：各研究方向
x 0 x 0
ˆ T V ( x) ， 六． （22 分）考虑体系 H
n
V ( x) {
Ax
x 0 x 0
A>0，
a. 利用变分法，取试探波函数为
1 ( x ) (
2 b
x
2 2
)
1/ 2
e 2b ，
来自百度文库
求基态能量上限； b. 我们知道，如试探波函数为
2 ( x) (
2
1 b
1 2 0 ， 2 1 1 的几率。
（注：
ix
,
iy
为第 i 个粒子泡利算符的 x, y 分量）
五． （10 分）考虑一维谐振子，其哈密顿量
V0 0
中运动， a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数； b. 给出粒子处于 x>0 区域中的几率。它是大于 1/2，还是小于 1/2，为什么？ 二． （10 分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并 计及电子的自旋—轨道耦合项） a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；
求本征值和简并度。
1 2 1 2
)(
四． （22 分）两个自旋为 1/2 的粒子，在 ( s1 z , s 2 z ) 表象中的表示为 (
) ，其中，
i 是第 i 个粒子自旋向上的几率， i 是第 i 个粒子自旋向下的几率。
a. 求哈密顿量
2
2
ˆ V ( ) H 0 1x 2y 1y 2x
ˆr ˆ 0 ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ b. 若 f ( r ) s
ˆ, r ˆ 为电子的自旋和坐标算符。 （注：f(r)是 r 的非零函数， s ）
三． （16 分）三个自旋为 1/2 的粒子，它们的哈密顿量为
ˆ C (s ˆ1 s ˆ2 s ˆ2 s ˆ3 s ˆ3 s ˆ1 ) H 0
ˆ h (a a 1 ) H ， 2
而[a, a ] [a , a ] 0 , [a , a ] 1 a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0） ，则第 n 个激发态为
n N n (a ) 0
试求归一化因子 N n ；
ˆ ga a aa ， c. 若外加一微扰，H 试求第 n 个激发态的能量本征值 （准至 g 一级） 。
2
)
1/ 2
2x b
x
2 2
e 2b ，
则基态能量上限为 E 2 ( 一个？为什么？
81 4
)
1/3
(
A h m
)
1/3
。对这两个基态的能量上限，你能接受哪
北京大学 2000 年研究生入学考试试题
考试科目：量子力学 招生专业：物理系各专业 指导老师 试题： 一． （20 分）质量为 m 的粒子，在位势
V ( x ) ( x ) V
V{ V0 0
a 0
考试时间：2000.1.23 下午 研究方向：各研究方向
x 0 x 0
ˆ T V ( x) ， 六． （22 分）考虑体系 H
n
V ( x) {
Ax
x 0 x 0
A>0，
a. 利用变分法，取试探波函数为
1 ( x ) (
2 b
x
2 2
)
1/ 2
e 2b ，
来自百度文库
求基态能量上限； b. 我们知道，如试探波函数为
2 ( x) (
2
1 b