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k0方向不变，大小为|k|倍
kAk|A|aˆ k0
k0方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
AB|A||B|cos
B
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
其结果是一标量。
推论1：满足交换律 ABBA 推论2：满足分配律 A (B C )A B A C
电磁场与电磁波 复习课
X.L Qian 6-15-2011
考试范围
一． 矢量分析 二． 静电场 三． 恒定电流 四． 静电场 五． 时变电磁场 六． 平面电磁波 七． 传输线概述
一、矢量分析
矢量的运算 梯度、散度、旋度 微分矢量算符—— 算符 两个恒等式和亥姆霍兹定理
一、矢量的基本运算
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
B
C
CAB
C B
A
A
a.满足交换律： ABBA
b.满足结合律： ( A B ) ( C D ) ( A C ) ( B D )
在直角坐标系下的矢量表示: 三个方向的单位矢量用 aˆ x , aˆ y , aˆ z 表示。
z
Az
A
根据矢量加法运算：
o
AAx Ay Az
Ax
x
其中：
A x A x a ˆx,A y A y a ˆy, A z A za ˆz
o y
x
(A y B z A z B y )a ˆx (A z B x A x B z)a ˆy (A x B y A y B x )a ˆz
两矢量的叉积又可表示为：
aˆ x aˆ y aˆ z A B Ax Ay Az
Bx By Bz
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
(A B)C 矢量，标量与矢量相乘。
A(BC) 标量，标量三重积。
A(BC) 矢量，矢量三重积。
a. 标量三重积 法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
定义： A B C |A ||B ||C |s inc o s hBC A
含义：
C
标量三重积结果为三矢量构成的平行
六面体的体积 。
B
V A ( B C ) C ( A B ) B ( C A ) hBC
注意：先后轮换次序。
A
C
推论：三个非零矢量共面的条件。
A(BC)0
B
在直角坐标系中：
aˆx aˆy aˆz
A(BC)(AxaˆxAyaˆyAzaˆz)Bx By Bz
Ax Ay Az
Cx Cy Cz
A (BC) Bx By Bz
Cx Cy Cz
b.矢量三重积： A (B C ) B (A C ) C (A B )
其方向为该点所在等值面的法线方向。
数学表达式：
grad
d dn
aˆ n
d
计算：
d
dn
dl dn dl
d cos dn
d dn
aˆ n
aˆ l
P1
dgraddl
dn dl
在直角坐标系中：
P
ddxdydz
0
x y z
P2
0 d
dldxa ˆxdya ˆydza ˆz
所以：gradxaˆxyaˆyzaˆz
一、矢量分析
矢量的运算 梯度、散度、旋度 微分矢量算符—— 算符 两个恒等式和亥姆霍兹定理
二、梯度、散度、旋度
2-1. 标量场的梯度
标量场的场函数为 (x,y,z,t)
a.方向导数： d 空间变化率，称为方向导数。
dl d
d n 为最大的方向导数。
P1
dn dl
P
0
P2
0 d
b.梯度
定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，
2-2、矢量场的散度
1. 矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每
一点的切线方向与场矢量在该点的
+
-
方向重合，则该曲线称为矢线。
2. 通量： 定义：如果在该矢量场中取一曲面S，
通过该曲面的矢线量称为通量。
表达式： vdS S
若曲面为闭合曲面： vdS S
通量的含义：
a. 如果闭合曲面上的总通量 0
co sA x, co sA y, co sA z
|A |
|A |
|A |
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
A B C ( A x B x C x ) a ˆ x ( A y B y C y ) a ˆ y ( A z B z C z ) a ˆ z
2.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
A xB xA yByA zB z
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
b.矢量积（叉积）：
aˆ c
A B |A||B|sina ˆc
B
•含义：
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量
组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三
者符合右手螺旋法则。
推论1：不服从交换律： A B B A , A B B A
推论2：服从分配律： A (B C )A B A C 推论3：不服从结合律： A (BC )(A B )C 推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
A B ( A x a ˆ x A y a ˆ y A z a ˆ z ) ( B x a ˆ x B y a ˆ y B z a ˆ z )
说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意 味着闭合面内存在正的通量源。
b. 如果闭合曲面上的总通量 0
说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢 线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。
c. 如果闭合曲面上的总通量 0 说明穿入的通量等于穿出的通量。
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
a ˆxa ˆy 0, a ˆxa ˆx 1, 有两矢量点积：
a ˆxa ˆz 0, a ˆya ˆy 1,
a ˆya ˆz 0 a ˆza ˆz 1
A B ( A x a ˆ x A y a ˆ y A z a ˆ z ) ( B x a ˆ x B y a ˆ y B z a ˆ z )
Ay
y
所以： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
矢量： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
zBaidu Nhomakorabea
模的计算： |A| Ax2Ay2Az2
Az
A
单位矢量：
a ˆ|A A||A A x|a ˆx|A A y|a ˆy|A A z|a ˆz
o
Ax
cosa ˆxcosa ˆycosa ˆz x
Ay
y
方向角与方向余弦： , ,