第一节 二重积分的概念与性质

第一节二重积分的概念与性质

学习指导

１．教学目的：使读者理解二重积分的概念与性质。

２．基本练习：熟悉二重积分的几何、物理背景。熟悉二重积分的性质。

3．应注意的事项：

二重积分是二元函数乘积和式的极限，是定积分的推广，因此从引例到研究方法，从定义到性质都是类似的，读者要善于比较，触类旁通，温故而知新。

第一节二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念

1. 曲顶柱体的体积

（1）曲顶柱体

（2）曲顶柱体的体积

现在我们来讨论如何定义并计算上述曲顶柱体的体积V。

平顶柱体的体积

2. 平面薄片的质量

(1) 问题的提出

(2) 均匀薄片的质量

(3) 非均匀薄片质量的计算方法

(4) 二重积分的定义

上面两个问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限。在物理、力学、几何和工程技术中，有许多物理量或几何量都可以归结为这一形式的和的极限。因此我们要一般的研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义。

定义设是有界闭区域上的有界函数.将闭区域任意分成个小闭区域

。

其中

表示第个小闭区域，也表示它的面积。再每个上任取一点，作乘积

，并作和。如果当个小闭区域的直径中最大值

趋于零时，这和的极限总存在。则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记

作，即

。（1）

叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，与叫

其中

积分变量，叫做积分区域，叫做积分和。

(5) 直角坐标系中的面积元素

在二重积分的定义中对闭区域的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的

直线网来划分，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。

设矩形闭区域的边长为和，则。因此在直角坐标系中，有

时也把面积元素记作。而把二重积分记作

。

其中叫做直角坐标系中的面积元素。

(6) 二重积分的存在性

这里我们要指出，当在闭区域上连续时，式右端的和的极限必定

存在，也就是说，函数在上的二重积分必定存在。我们总假定函数在闭区域上连续，所以在上的二重积分都是存在的，以后就不在每次加以说明了。

(7) 用二重积分表示曲顶柱体的体积

由二重积分的定义可知，曲顶柱体的体积是函数在底上的二重积分

。

(8) 用二重积分表示平面薄片的质量

平面薄片的质量是它的面密度在薄片所占闭区域上的二重积分

。

(9) 二重积分的几何意义

二、二重积分的性质

比较定积分与二重积分的定义可以想到，二重积分与定积分有类似的性质，先叙述于下。

性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即

（为常数）。

性质2 函数的和(或差)的二重积分等于各个函数的二重积分的和(或差)。例如

。

性质3 如果闭区域被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则在上的二重积分等

于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如分为两个闭区域与，则

。

这个性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。

性质4如果在上,，为的面积，则

。

这性质的几何意义是很明显的，因为高为1的评定柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。

性质5如果在上，，则有不等式

。

特殊地，由于

，

又有不等式

。

性质6设，分别是在闭区域上的最大值和最小值，是的面积，则有

。

上述不等式是对于二重积分估值的不等式，因为，所以由性质5有

。

再应用性质1和4，便得此估值不等式。

性质7(二重积分的中值定理) 设函数在闭区域上连续，是的面

积，则在上至少存在一点使得下式成立：

。

第二节二重积分的计算

学习指导

１．教学目的：使读者掌握直角坐标系、极坐标系下二重积分的计算方法。

２．基本练习：熟练掌握直角坐标系、极坐标系下二重积分的计算方法，熟练掌握

交换积分次序，确定积分限的方法与步骤。

3．应注意的事项：

二重积分的计算是学习三重积分，线面积分的基础，是本章教

学的重点，读者要进行足够的练习熟练掌握二重积分的计算方法。

计算重积分的方法是化二重积分为二次积分，一般步骤是：

（1）绘出积分区域的图形，根据区域和被积函数特点确定积分次序、积分限。读者要养成计算重积分时较准确地绘出区域图形的良好习惯。

（2）计算单积分(定积分)。

第二节二重积分的计算

一、利用直角坐标计算二重积分

假定，设积分区域可以用不等式

按照二重积分的几何意义, 的值等于以为底,以曲面为顶

的曲顶柱体(图9-5)的体积.下面我们应用第六章中计算”平行截面面积为已知的立体的体积”的方法,来计算这个曲顶柱体的体积。

由平行截面面积为已知的立体体积的方法,求得曲顶柱体体积为

这个体积也就是所求二重积分的值,从而有等式

(1) 上式右端的积分称为先对y，后对x 的二次积分。

这个先对y ,后对x的二次积分也常记作

因此，等式（1）也写成

(1') 这就是把二重积分化为先对y,后对x的二次积分的公式。

在上述讨论中,我们假定,但实际上公式（1）的成立并不受此条件限制。类似

地，如果积分区域可以用不等式