04-2第四章 推理技术-谓词逻辑

第4章 推理技术
证 明(语法)
在语法上，如果存在一个从假设到的证明， 则记为 ⊢ ，称由可推导出的，或可证明的。
是可推导出的，则记为
⊢ ，称为可证明的。
称一个假设是不协调的，如果存在一个语句 使得和的否定均可由推导得出。 称一个逻辑系统是一致的，或相容的(consistent)， 如果不存在逻辑系统的公式A，使得⊢A与⊢¬ A同时成 立。
8、住在中间房子的人喝牛奶； 9、挪威人住第一间房； 10、抽Blends香烟的人住在养猫的人隔壁 11、养马的人住抽Dunhill香烟的人隔壁； 12、抽BlueMaster的人喝啤； 13、德国人抽Prince香烟； 14、挪威人住蓝色房子隔壁； 15、抽Blends香烟的人有一个喝水的邻居。
第4章 推理技术
例如下面的析取式都是子句
P∨Q∨乛R P(x,y)∨乛Q(x)
第4章 推理技术
将一个谓词公式转换为子句集
定义 2 对一个谓词公式 G，通过以下步骤所得的
子句集合S，称为G的子句集。
(1)消去蕴含词→和等值词←→。可使用逻辑等价式: ①A→B 乛A∨B ②A← →B (乛A∨B)∧(乛B∨A) (2)缩小否定词的作用范围，直到其仅作用于原子公式。
1、在一条街上，有5座房子，喷了5种颜色； 2、每个房里住着不同国籍的人； 3、每个人喝不同的饮料，抽不同品牌的香烟，养不同的 宠物。
问题是：谁养鱼？
第4章 推理技术
爱因斯坦的世界难题（2）
条件是：
1、英国人住红色房子； 2、瑞典人养狗； 3、丹麦人喝茶； 4、绿色房子在白色房子左面； 5、绿色房子主人喝咖啡； 6、抽PallMall香烟的人养鸟； 7、黄色房子主人抽Dunhill香烟；
第4章 推理技术
转换子句集Βιβλιοθήκη Baidu例
(A B) (C D) 1. 消去 (A B) (C D) 2. 缩减 作用范围 (A B) (C D)
第4章 推理技术
转换子句集举例
(A B) (C D) 1. 消去 (A B) (C D) 2. 缩减 作用范围 (A B) (C D) 3.化公式为合取范式 (A (C D)) (B (C D)) (A C) (A D) (B C) (B D)
是疯狗，而不能看出自己的狗是不是疯的，如果看出别人家的狗
是疯狗，也不能告诉别人。于是大家开始观察，第一天晚上，没 有枪声，第二天晚上，没有枪声，第三天晚上，枪声响起（具体 几枪不清楚），问村子里有几只疯狗？只有晚上才能看出病狗， 并且一天晚上只能看一次。
第4章 推理技术
爱因斯坦的世界难题（1）
爱因斯坦在20世纪初出一个谜语。他说世界上有98％的人答不出来。
第4章 推理技术
第四章 推理技术
4.1 一阶谓词逻辑推理 4.2 归结演绎推理
第4章 推理技术
推理技术概述

推理是人类求解问题的主要思维方法，即按照某种策略从已有事 实和知识推出结论的过程。按思维方式可分演绎推理、归纳推理、 类比推理等。

逻辑推理：按逻辑规则进行的推理。分为：
经典逻辑推理 :主要指命题逻辑和一阶谓词逻辑推理，也称精确推理或确 定性推理； 非经典逻辑推理：主要指除经典逻辑之外，按多值逻辑、模糊逻辑、概 率逻辑等的推理，也称为非精确推理或非确定性推理。
(1) x(S(x)→M(x))
(2) S(a)
第4章 推理技术
下面我们进行形式推理：
(1) x(S(x)→M(x)) (2)S(a)→M(a) (3)S(a) (4)M(a) ［前提］ ［(1),US］ ［前提］ ［(2),(3),I3］
得结果：M(a)，即“小王学过计算机”。
这种推理过程完全是一种符号变换过程，很类似于人们用 自然语言推理的思维过程，因而称为自然演绎推理
第4章 推理技术
可靠性和完备性
可靠性(reliable) 语法->语义
一个逻辑是可靠的，如果它的证明保持真假值， 即在任何解释I下，如果I是 的模型，且可由推导 出，则I也是的一个模型。即，一个逻辑是可靠的， 如果对任何语句集合和语句 ， ⊢蕴涵 ⊨ 。
完备性(complete) 语义->语法
个常量符号代替该存在量词辖域中的相应约束变元，
这样的常量符号称为Skolem常量。
第4章 推理技术
Skolem函数举例
x y P(x,y) 根据步骤4转换为 x P(x,g(x))
这里y=g(x)为Skolem函数。
xP(x)
根据步骤4转换为 P(a),
这里a为Skolem常量
第4章 推理技术
逻辑学与计算机科学
• 逻辑学：研究思维规律的科学 • 计算机科学：模拟人脑行为和功能（思维）的科学 • 思维：大脑、逻辑、语言、计算机 • 逻辑是知识表示和推理的重要形式和工具
第4章 推理技术
逻辑的历史
• Aristotle——逻辑学 • Leibnitz——数理逻辑： 逻辑+数学 • Gottlob Frege (1848-1925)——一阶谓词演算系统 逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早 由古希腊学者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于
可使用逻辑等价式:
①乛(乛A) A ②乛(A∧B) 乛A∨乛B
③乛(A∨B) 乛A∧乛B
④乛 xP(x) x乛P(x) ⑤乛 xP(x)
第4章 推理技术
x乛P(x)
(3)适当改名，使量词间不含同名自由变元和约束变元。 (4)消去存在量词。 消去存在量词时，同时还要进行变元替换。变元 替换分两种情况： ①若该存在量词在某些全称量词的辖域内，则用这 些全称量词指导变元的一个函数代替该存在量词辖域 中的相应约束变元，这样的函数称为Skolem函数； ②若该存在量词不在任何全称量词的辖域内，则用一

器证明领域的重大突破。从理论上解决了定理证明问题。
第4章 推理技术
有关归结演绎推理的定义
文字 子句 空子句 子句集
Skolem函数
Skolem常量 互补文字 归结，又称消解(resolution)
第4章 推理技术
定义1 原子谓词公式及其否定称为文字， 若干个文字的一个析取式称为一个子句 不含任何文字的子句称为空子句（真值为假）， 记为NIL。
第4章 推理技术
逻辑推理举例
经典推理：苏格拉底之死
如何判别谎言？
ABC三人都喜欢说谎话，偶尔也说真话。某天，A指责B说谎 话，B指责C说谎话，C说AB两人都在说谎话。问谁在说谎？
第4章 推理技术
有几条疯狗？
村里有50户人家，每家都养了一条狗。现发现村子里面出现 了n只疯狗，村里规定，谁要是发现了自己的狗是疯狗，就要将自 己的狗枪毙。但问题是，村子里面的人只能看出别人家的狗是不
第4章 推理技术
第4章 推理技术
第4章 推理技术
第4章 推理技术 表4.2 常用逻辑蕴含式
第4章 推理技术
第4章 推理技术 设有前提：
例
(1)凡是大学生都学过计算机； (2)小王是大学生。
试问：小王学过计算机吗？
解 令S(x)：x是大学生;
M(x)：x学过计算机;
a：小王。 则上面的两个命题可用谓词公式表示为
公司招聘工作人员，有M,N,Q三人应聘，经面试后，公司表示如 下想法：（1）三人中至少录取一人;（2）如果录取M,则一定录取 N；（3）如果录取N,则一定录取Q。结果如何？
第4章 推理技术
1.4 谓词逻辑(一阶逻辑)
谓词逻辑是一种形式语言，具有严密的理论体系，也是一种常用的
知识表示方法。 语言: ¬，，，，(，)；常元，变元，函词，谓词；公式 – City（北京） – City（上海）
(5)消去所有全称量词。
(6)化公式为合取范式。 可使用逻辑等价式: ①A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) ②(A∧B)∨C (A∨C)∧(B∨C)
(7)适当改名，使子句间无同名变元。
(8)消去合取词∧，以子句为元素组成一个集合S。
第4章 推理技术
转换子句集举例
(A B) (C D) 1. 消去 (A B) (C D)
– Age（张三，23）
– (x)( y)( z) (F(x, y)F(y, z)GF(x, z)）
第4章 推理技术
谓词逻辑中的形式演绎推理
将自然语言中的陈述语句
利用谓词公式表示
符号化过程
利用逻辑等价式 将谓词公式进行变换
公式变形
利用逻辑蕴含式 推出结论
推理过程
第4章 推理技术 表4.1 常用逻辑等价式
构造一个程序的语句规则 定义程序做什么的语句规则 没有
第4章 推理技术
1.3 命题逻辑
• 命题：可以确定其真假的陈述句。Bolle提出了布尔代数。 • 语言:原子Q、否定¬、吸取V、合取、蕴含 、等价<-> • 公式：AV¬B， (AB,A)=> ?
第4章 推理技术
第4章 推理技术
第4章 推理技术
第4章 推理技术
现代逻辑学与计算机科学、计算语言学和人工智能的关系表
逻 时序逻辑 模态逻辑 算法证明 非单调推理 概率和模糊 直觉主义逻辑 高阶逻辑，λ-演算 经典逻辑片断 资源和子结构逻辑 纤维化和组合逻辑 谬误理论 逻辑动力学 论辩理论游戏 对象层次/元层次 机制:溯因 缺省 相干 与神经网络的联系 时间-行动-修正模型 加标演绎系统 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 辑 自然语 程序 人工 逻辑 指令与直 数据库 复杂性 智能体 未 来 展 望 言处理 控制 智能 编程 陈式语言 理论 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 理论 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 可自我指称 在适当语境 动态逻辑观 前景光明 总起中心作用 逻辑的一部分 极重要，刚开始 一类新模型 逻辑学的统一框架 理论 √ √ √ √ √ √ 意义重大 目前主流 主要替代者 更具中心作用 前景诱人 广泛应用 非常活跃
第4章 推理技术
4.2 归结演绎推理

归结演绎推理是基于一种称为归结原理(亦称消解原理 归结原理是由鲁滨逊 (J.A.Robinson) 于 1965 年首先提 归结原理的出现，被认为是自动推理，特别是定理机
principle of resolution)的推理规则的推理方法。

出。它是谓词逻辑的一个相当有效的机械化推理方法。
一个逻辑是完备的，如果任何永真语句是可证的。 即，对任何语句集合和语句 ， ⊨蕴涵 ⊢ 。
如果一个逻辑是完备的，则该逻辑的证明系统已强到 可以推出任何永真式。 Gődel完备性定理：一阶逻辑是完备的
第4章 推理技术
可判定性
可判定的
一个逻辑称为是可判定的(decidable)，如果存在 一个算法对逻辑中的任一公式 A，可确定⊢ A是否成 立。否则，称为是不可判定的(undecidable) 。 如果上述算法虽不一定存在，却有一个过程，可对该 系统的定理做出肯定的判断，但对非定理的公式过 程未必终止，因而未必能作出判断。这时称逻辑是 半可判定的。 一阶逻辑是不可判定的，但它是半可判定的。
推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻
辑。 20世纪30年代，数理逻辑广泛发展，成为数学和计算 机科学基础。
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第4章 推理技术
逻辑系统
一个逻辑系统是定义语言和它的含义的方法。
逻辑系统中的一个逻辑理论是该逻辑的语言的一个语句集合，它包括： • 逻辑符号集合：在所有该逻辑的逻辑理论中均出现的符号；
第4章 推理技术
解 释(语义)
语言的解释是在某个论域(domain)中定义非逻辑 符号。语句的语义是在解释下定义出语言L的真假值。 I是L的一个解释，且在I中为真，则记为 I ⊨ ，称作I满足 ，或者I 是的一个模型。 类似地，给定一个语句和一个语句 ，如果对 每个解释I ，有I ⊨ 蕴含I ⊨ ，换言之，如果I 是 的一个模型则I也是的一个模型，则记为 ⊨ ，我 们称为的一个逻辑结果。
• 非逻辑符号集合：不同的逻辑理论中出现的不同的符号；
• 语句规则：定义什么样的符号串是有意义的； • 证明：什么样的符号串是一个合理的证明；
• 语义规则：定义符号串的语义。
第4章 推理技术
逻辑与程序语言的对比
逻辑
逻辑符号
程序语言
保留字或者符号
非逻辑符号
用户自定义的符号(变量名，函数名等)
语句规则 语义规则 推理规则、公理和证明