差分方程

一阶常系数线性差分方程的解法
二阶常系数线性差分方程的解法
（3）二阶常系数非齐次线性方程及其特解形式
设 y * 是方程 y" py'qy f ( x).
的一个特解，Y 是其对应齐次方程的通解，则 y y* Y . 是它的通解，下面给出上述非齐次线性方程的特解 形式.
(1) f ( x) e x Pm ( x)型.
特征方程 r 2 pr q 0 的两个根为 r1 , r2 ,
对于高阶线性方程也有与上述定理相对应 的定理.
5. 可分离变量的方程
M1 ( x)M 2 ( y)dx N1 ( x) N2 ( y)dy 0,
M 1 ( x) N 2 ( y) N1 ( x) dx M 2 ( y) dy C
其中 N1 ( x), M 2 ( y) 0.
ex (C1 cosx C2 sin x).
ex [(C1 C2 x Ck x k 1 ) cos x ( D1 D2 x Dk x k 1 ) sin x].
k重实根 r
一对虚根 r1,2= i
一对 k 重虚根
r1,2= i
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齐次方程
dy y ( )的通解为 dx x
y du (u) u ln x C, 其中 u x .
7.
一阶非齐次线性微分方程
y' P( x) y Q( x)
的通解为 8
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx [ Q( x)e dx C ]
xt p B p xt , p 1
延迟算子
延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘
以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时 间向过去拨了一个时刻 记B为延迟算子，有
xt p B p xt , p 1
延迟算子的性质

B0 1
B(c xt ) c B( xt ) c xt 1, c为任意常数
伯努利方程
y' P( x) y Q( x) y n (n 0,1)
的通解为
y
1n
e
(1n ) P ( x ) dx
(1 n ) P ( x ) dx [ (1 n)Q( x)e dx C ]
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全微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
Q P (满足 ) x y
任意常数的个数正好等于微分方程的阶数时，
称该解为通解（或一般解）；不含有任意常数而
能被通解所包含的解叫做特解. 3 定解条件 用来确定通解中任意常数的的条件称为定解条 件，最常用的定解条件是初始条件.
主要结论 1 如果函数 y1与y2 是二阶齐次 线性方程
y" P( x) y'Q( x) y 0
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若在3中的方程的右边是几个函数的和，如
f ( x) f1 ( x) f 2 ( x)
*
且 y1与y2 分别为非齐次方程
y" P( x) y'Q( x) y f1 ( x) y" P( x) y'Q( x) y f 2 ( x)
* y y1 y2 就是原方程的特解。 的特解,则 * *
特征方程 r 2 pr q 0 的两个根为 r1 , r2 ,
当r1, 2 wi 当r1, 2 wi
其中m max( l , n).
方程
y" py ' qy
ex [P l ( x) cos wx P n ( x) sin wx]
(1) ( 2) y* ex [Rm ( x) coswx Rm ( x) sin wx].
(1) ( 2) y* xex [ Rm ( x) coswx Rm ( x) sin wx].
差分方程
在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是 以等间隔时间周期统计的。例如，银行中的定期 存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额 按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月 统计等等。这些量是变量，通常称这类变量为离 散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学模 型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，
dp 设y ' p( x), 则y" , 代入方程有 dx p' f ( x, p).
积分后解之得
再积分
p ( x, C1 )
dy ( x, C1 ), 则原方程的通解为 dx
y ( x, C1 )dx C2 .
（3）不显含 x 的二阶方程
y" f ( y, y' ).
i 0
p
k 步差分
k xt xt k (1 B ) xt
k
线性差分方程
线性差分方程
zt a1 zt 1 a2 zt 2 a p zt p h(t )
齐次线性差分方程
zt a1 zt 1 a2 zt 2 a p zt p 0
r1, 2 i,
（2） 阶常系数齐次线性方程
y ( n) p1 y (n1) p2 y ( n2) pn1 y pn 0
根据特征方程的根，可按下表写出通解形式.
特征方程的根
单实根 r
方程通解中对应的项
Ce rx .
erx (C1 C2 x Ck xk 1 ).
（1）二阶常系数齐次线性方程
y" py'qy 0.
特征方程
两实特征根 两相等特征根 两共轭虚根
r 2 pr q 0
r1 r2 , r1 r2 ,
微分方程的通解
y C1er1x C2er2 x . y (C1 C2 x)er1x .
y ex (C1 cosx C2 sin x).
差分方程
微分方程
1.微分方程及微分方程的阶
含有自变量、未知函数以及未知函数的导数或
微分的方程叫做微分方程；未知函数是一元函数的
微分方程叫做常微分方程；未知函数是多元的微分 方程叫做偏微分方程. 微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数叫
做微分方程的阶，这里只讨论常微分方程.
2
微分方程的解 若将函数代入微分方程使其成为恒等式，则称 为该方程的一个解；根据是显函数还是隐函数分 别称之为显式解与隐式解；不被通解包含的解称 为奇异解；若解中含有任意常数，当彼此独立的
y
的通解为 u( x, y) C.
其中 u( x, y)

x
x0
P( x, y0 )dx Q( x, y)dy.
y0
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(1)
可降阶的高阶方程及其通解
y ( n ) f ( x)
对方程两边连续积分 n 次，便可得到其含有n个任 意常数的通解. (2) 不显含 y 的二阶方程 y" f ( x, y' ).
B( xt yt ) xt 1 yt 1
i (1 B) (1) n C n Bi n i 0


B n xt xt n
n
，其中
i Cn
n! i!(n i )!
用延迟算子表示差分运算
p 阶差分
p xt (1 B) p xt (1) p C ip xt i
差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。
差分方程
差分运算
一阶差分
xt xt xt 1
p 阶差分
p xt p1 xt p1 xt 1
k 步差分
k xt xt k
延迟算子
延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘
以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时 间向过去拨了一个时刻 记B为延迟算子，有
dp dy dp 设y ' p( x),则y" p , 代入方程有 dy dx dy
dp p f ( y, p). dy
解之得 再积分
p ( y, C1 )
dy ( y, C1 ), 则原方程的通解为 dx
dy ( y, C1 ) x C2 .
11 二阶常系数线性方程
的两个解，则 y C1 y1 C2 y2 也是它的解，其中
C1 , C2
是任意常数.
2 若 y1 与 y2 是上述方程的两个线性无关解,
则 y C1 y1 C2 y2 就是该方程的通解.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
* 是二阶非线性方程 y 若 y" P( x) y'Q( x) y f ( x)
的一个特解，而 Y 是它所对应的齐次方程的通解， 则 y y* Y 就是该非齐次方程的通解.
当 r1 , r2 , 当 r1 , r2 , 当 r1 r2 ,
方程 y" py'qy ex Pm ( x) 的特解形式 y* Qm ( x)ex .
y* xQm ( x)ex .
y* x2Qm ( x)ex .
(2) f ( x) e x [ Pl ( x) cos wx Pn ( x)sin wx]型.