新高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法6-5数学归纳法教师用书

新高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法6-5数学归

纳法教师用书

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n 都成立．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( ×)

(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( ×)

(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( ×)

(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( ×)

(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √)

(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.( √)

1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是( )

A．1 B．1＋a

C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3

答案C

解析当n＝1时，n＋1＝2，

∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.

2．(2016·黄山模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2(＋＋…＋)时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )

A．n＝k＋1时等式成立

B．n＝k＋2时等式成立

C．n＝2k＋2时等式成立

D．n＝2(k＋2)时等式成立

答案B

解析因为n为正偶数，n＝k时等式成立，

即n为第k个偶数时命题成立，

所以需假设n为下一个偶数，即n＝k＋2时等式成立．

3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于( )

A．1 B．2

C．3 D．0

答案C

解析凸n边形边数最小时是三角形，

故第一步检验n＝3.

4．(教材改编)已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________.答案 3 4 5 n＋1

题型一用数学归纳法证明等式

例1 设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n －1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．

证明①当n＝2时，左边＝f(1)＝1，

右边＝2(1＋－1)＝1，

左边＝右边，等式成立．

②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即

f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，

那么，当n＝k＋1时，

f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)

＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k

＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k

＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，

∴当n＝k＋1时结论成立．

由①②可知当n∈N*时，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．

思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意

(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．

(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．

(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．

(2017·杭州第四中学质检)用数学归纳法证明：

12

＋＋…＋＝(n∈N*)．

1×3

证明①当n＝1时，左边＝＝，

右边＝＝，

左边＝右边，等式成立．

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立．

即＋＋…＋＝，

当n＝k＋1时，

左边＝＋＋…＋＋＋

＋＋

＝＋＋

＋＋

＝k＋＋＋＋

＋＋

＝＋＋5k＋

＋＋

＝，

右边＝＋＋1＋

＋＋1]

＝，

左边＝右边，等式成立．

即对所有n∈N*，原式都成立．

题型二用数学归纳法证明不等式

例2 (2016·烟台模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．

(1)求r的值；

(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立．

(1)解由题意，Sn＝bn＋r，

当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.

所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．

由于b>0且b≠1，

所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．

又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，

所以＝b，即＝b，解得r＝－1.

(2)证明由(1)及b＝2知an＝2n－1.

因此bn＝2n(n∈N*)，

所证不等式为··…·>.

①当n＝1时，左式＝，右式＝，

左式>右式，所以结论成立．

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，

即··…·>，

则当n＝k＋1时，

2＋1

··…··>·＝，

2