【课件】小波与分形理论精编版

小波小变波函换数的特性：多尺度，多分辨和紧支
性。
t
小波：由基本小波或母a,b小t 波 通过伸缩a
和平移b产生 a,的b t一 a个1 2函 t数ab族
源自文库
。有
a:尺WT度x b,因a 子a1 2 bx:t时 移 t a因b d子t 小波变换： xt, a,b t
小波与分形理论
引言 小波变换
分形 两者的关系
引言 小波函数的定义使得它一出现就和分形理
论有了不解之缘。小波分析总是从远到近观察 形体，具有放大和移位的功能，与分形的本质 尺度变换是一样的，所以自小波分析创立以来， 它在分形对象中的应用日益广泛，并作为分形 的“构件”已显示出它的能力，但是小波分析 仍然是采用局部对整体依赖性的系统论方法， 而分形分析则研究局部信号以确定信号的整体 特性
分形理论
分形理论是描述其有无规结构的复杂系统形态 的一门新兴边缘学科，研究的对象主要是一类 具有“自相似性”、“自仿射性”的分形体。 其分形度量为维数；从工程技术上讲，从一个 信号的局部可得到与整个信号一样的细节，则 该信号是具有分形特征的信号。
两者的关系
由上可知，多分辨分析是从远到近观察形体， 首先注意物体最显著的特征———轮廓，再 慢慢注意其结构———线条，最后逐步观察 物体的纹理或细节。这种识别过程体现了一种 从低分辨到高分辨的原理及对目标进行分割的 思想。对分形的观察正是这样，即通过从大到 小的不同尺度变换，在越来越小的尺度上观察 越来越丰富的细节，这也是从低分辨到高分辨 的观察过程。
函数的不断分解，就是在2j分辨率下对函数x的连续 逼近，而｛Cj｝，｛dj｝则是2j分辨率下的离散逼近 和离散细节；在尺度a＝2－j中尺度越小，分辨率越高， ｛Cj｝可理解为函数x的频率不超过2－j的成分，而 ｛dj｝则是x的频率介于2－j和2－j＋1之间的成分。随 尺度a＝2－j中j的增大，由反映原始信号的细节逐步 过渡到主要反映原始信号的中低频成份；每分解一次 就剥去信号中一部分高频成份，剥下的信息可构成细 节部分，即所谓的精细结构信号。
小波变换
尺度因子a
于小尺波度变因换子有的着变多换分。辨分V析jj的Z 优点，这都取决
在平方可积实数空间L2（R）的多分辨分析
事指存在2j 一系列的闭子空间
，Wj 是V j 在
V j+1
中的正交部空间。
一般我们选用Riesz基：不同的j意味着不同 的分辨率
Vj Wj Vj-1
小 波存在变采的样换有信限号正x总交是分解具有过有程可限由分辨分解率公，式即而x∈知V，J1。我显们然对，
小波变小换波就是人们可以观察到的最短、最简
单的振动。小波分析是富里叶（Fourier） 分析的重要发展，它既保留了富氏理论的 优点，又克服了它的不足。小波分析是基 于一簇由母波函数生成的“相似”函数— —子波而展开的。由这组相似函数的不同 伸缩和平移构成平方可积函数空间 L2（R） 的仿射构架，甚至是正交基，从而稳定地 逼近任意给定的映射关系。