理论力学(30-10) 3-4 达朗伯-拉格朗日原理
理论力学精品课程 第十五章 达朗伯原理
YA
d
gl 2g 达 g 设力F 的作用点到点A的距离为 d ， 朗 由合力矩定理，有 l 伯 g F (d cos ) ( cos )dF g 0 2 原 l P 2 sin d 0 gl 2 理 即 d l
0
P
g F
B
P l 2 sin 2g
二、质点系的达朗伯原理
因为质点系的内力总是成对出现，并且彼此等 i i 15.1 值反向，因此有 F 0和 m ( F ) 0 ；而剩下的 i O i 外力系又可分为作用在质点系上的主动力系和外约 达 束反力系。设 Fi 、 Ni 分别为作用在第 i 个质点上的 朗 主动力的合力和外约束反力的合力，于是的得
F Fi (mi ai ) mi ai
3
假想地加上惯性力，由质点系的达朗伯原理 l g mA (F ) 0 F d cos P sin 0 2
例2
15.1
g F 代入 的数值，有
达 朗 伯 原 理
Pl 2l 2 sin ( cos 1) 0 2 3g
故有
3g ) 0 或 arccos( 2 2l
一、质点的达朗伯原理
设质量为 m 的质点M，沿图示轨迹运动，在某瞬 15.1 时作用于质点M上的主动力为 F ，约束反力为 N ，其 g 加速度为 a 。 F 达 根据动力学基本方程有 ma F N M F 朗 将上式改写成 F N (ma )0 a
下面用静力学力系简化理论研究刚体运动时惯 性力系的简化结果。 15.2 首先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质 a i ，刚体的质量为M， 刚 点 M i的质量为mi ，加速度为 a 体 质心的加速度为 C，则惯性力系的主矢为
理论力学中的拉格朗日方程
理论力学中的拉格朗日方程在理论力学中，拉格朗日方程是一种重要的数学工具，用于描述系统的运动行为和力学规律。
拉格朗日方程由意大利数学家和物理学家约瑟夫·拉格朗日于18世纪提出，被广泛应用于经典力学的各个领域。
1. 拉格朗日方程的引入拉格朗日方程的引入是为了解决在复杂的力学系统中，尤其是多体系统中，求解运动方程困难的问题。
拉格朗日方程通过引入广义坐标和广义速度的概念，将原来的N个质点受力问题转化为2N个一阶偏微分方程组的求解问题。
2. 广义坐标和广义速度在拉格朗日方程中，将系统的坐标由笛卡尔坐标系转化为广义坐标系，这样可以更好地描述系统的自由度。
广义坐标的数目等于系统的自由度，它们可以用来完全描述系统的构型。
广义速度则是对广义坐标的时间导数，表示系统的运动状态。
3. 拉格朗日量在拉格朗日力学中，拉格朗日量是一个以广义坐标、广义速度和时间为变量的函数，代表系统的能量和动力学性质。
拉格朗日量可以通过系统的动能和势能函数得到。
对于自由度为n的系统，拉格朗日量可以表示为L(q, q', t)，其中q表示广义坐标，q'表示广义速度，t表示时间。
4. 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是拉格朗日方程的数学形式，它由拉格朗日原理引出。
欧拉-拉格朗日方程可以描述系统在运动过程中的动力学规律。
它可以表示为d/dt(dL/dq') - dL/dq = 0，其中d/dt表示对时间求导数。
通过求解这个方程组，我们可以得到系统的运动方程。
5. 应用与例子拉格朗日方程在经典力学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于求解刚体的运动，弹性体的振动，以及受约束的质点系等问题。
通过将系统的动能和势能函数表示为广义坐标和广义速度的函数，可以得到相应的拉格朗日量，进而求解运动方程。
总结：拉格朗日方程是一种在理论力学中广泛应用的工具，用于描述系统的运动行为和力学规律。
它通过引入广义坐标和广义速度的概念，将系统的受力问题转化为求解一阶偏微分方程的问题。
理论力学动力学部分5达朗伯原理
③当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时， r FIR = 0，M IC = 0 ，惯性力系自成平衡力系。
五 达朗贝尔原理
23
3）平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运 动平面与质量对称平面互相平行。
对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力 系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。
F1 FI1 FNam2m121FIiFmN1iFNFi ai
合力和外约束反力的合力，于是得
F2 a2
i
å
Mår OFr(i
+ Fi
å FrNi )+å
M+r
å FrIi O (FNi
=0 )+å
Mr O
( FIi
)
=
0
即：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上的所
有主动力系，约束反力系和惯性力系构成形式上的平
五 达朗贝尔原理
24
解法1：利用达朗伯原理
取系统为研究对象,受力分析及 运动分析如图示：
运动分析：
以轮B为对象，vC = vD + wBr = wAr + wBr 求导得：aC = e Ar + e Br 由达朗伯原理：
åMO(F)
=
0,
1 2
×
P g
×r2
×eA
+
1 2
×
P g
×r2
×eB
-
P ×2r
衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。
五 达朗贝尔原理
11
质点系达朗贝尔原理的投影形式
å Fix + FNix + FIix = Fx = 0 i
《理论力学》考试知识点.
《理论力学》考试知识点静力学第一章静力学基础1、掌握平衡、刚体、力的概念以及等效力系和平衡力系，静力学公理。
2、掌握柔性体约束、光滑接触面约束、光滑铰链约束、固定端约束和球铰链的性质。
3、熟练掌握如何计算力的投影和平面力对点的矩，掌握空间力对点的矩和力对轴之矩的计算方法，以及力对轴的矩与对该轴上任一点的矩之间的关系。
4、对简单的物体系统，熟练掌握取分离体并画出受力图。
第二章力系的简化1、掌握力偶和力偶矩矢的概念以及力偶的性质。
2、掌握汇交力系、平行力系、力偶系的简化方法和简化结果。
3、熟练掌握如何计算主矢和主矩；掌握力的平移定理和空间一般力系和平面力系的简化方法和简化结果。
4、掌握合力投影定理和合力矩定理。
5、掌握计算平行力系中心的方法以及利用分割法和负面积法计算物体重心。
第三章力系的平衡条件1、了解运用空间力系（包括空间汇交力系、空间平行力系和空间力偶系）的平衡条件求解单个物体和简单物体系的平衡问题。
2、熟练掌握平面力系（包括平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系）的平衡条件及其平面力系平衡方程的各种形式；熟练掌握利用平面力系平衡条件求解单个物体和物体系的平衡问题。
3、了解静定和静不定问题的概念。
4、掌握平面静定桁架计算内力的节点法和截面法，掌握判断零力杆的方法。
第四章摩擦1、掌握运用平衡条件求解平面物体系的考虑滑动摩擦的平衡问题。
2、了解极限摩擦定律、滑动摩擦系数、摩擦角、自锁现象、摩阻的概念。
运动学第五章点的运动1、掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动方程。
2、熟练掌握如何计算点的速度、加速度及其有关问题。
第六章刚体的基本运动1、掌握刚体平动和定轴转动的特征；掌握刚体定轴转动的转动方程、角速度和角加速度；掌握定轴转动刚体角速度矢量和角加速度矢量的概念以及刚体内各点的速度和加速度的矢积表达式。
2、熟练掌握如何计算定轴转动刚体的角速度和角加速度、刚体内各点的速度和加速度。
理论力学-拉格朗日方程PPT
拉格朗日方程的推导
拉格朗日方程的推导基于哈密顿原则，通过对系统的运动原理进行最小作用 量的假设，推导出系统的运动方程。
拉格朗日方程的应用
拉格朗日方程在各个物理学和工程学领域都有广泛的应用，例如刚体动力学、 量子力学、控制理论等。
经典示例：单摆运动
单摆运动是拉格朗日方程应用的经典示例之一，通过建立摆角和摆长的关系，可以得到描述摆动的拉格 朗日方程。
拉格朗日方程的优点
相较于牛顿方程，拉格朗日方程具有独特பைடு நூலகம்优点，如坐标自由度更广、描述力学系统更简洁等。
拉格朗日方程在其他领域的应 用
除了物理学和工程学领域外，拉格朗日方程还在经济学、生物学等领域中有 着广泛的应用，为解决复杂问题提供了新的视角。
理论力学-拉格朗日方程 PPT
欢迎大家来到这个关于理论力学的PPT。本次内容将深入探讨拉格朗日方程的 定义、与牛顿方程的关系、推导方法、应用、经典示例和其他领域的应用。
拉格朗日方程的定义
拉格朗日方程是解决运动的一种优雅方法，通过定义拉格朗日函数和广义坐 标来描述系统的动力学行为。
拉格朗日方程与牛顿方程的关系
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
理想弹性振子的振动分析
总结词
理想弹性振子是一个简化的模型，用于研究振动的规 律。通过拉格朗日方程，可以分析其振动行为。
详细描述
理想弹性振子是一个质量为m的质点，连接到一个无 质量的弹簧上。当振子受到一个外部力作用时，它会 开始振动。通过应用拉格朗日方程，可以计算出振子 的振动频率和振幅。
地球的运动分析
详细描述
分离变量法是一种求解偏微分方程的常用方法。它通过假设解可以表示为多个独立变量的乘积，将偏微分方程转 化为多个常微分方程，从而简化了求解过程。这种方法在求解波动方程、热传导方程等偏微分方程时非常有效。
哈密顿正则方程法
总结词
利用哈密顿原理和正则方程推导出系统 的运动方程，适用于完整约束系统。
VS
相对论力学中的拉格朗日方程
总结词
相对论力学中的拉格朗日方程是经典拉格朗 日方程的进一步发展，它考虑了相对论效应 ，适用于高速运动和高能量密度的物理系统 。
详细描述
在相对论力学中，由于物体的高速运动和相 对论效应的影响，经典拉格朗日方程需要进 行相应的修正。相对论力学中的拉格朗日方 程能够更好地描述高速运动和高能量密度下 的物理过程，如相对论性粒子的运动、高能
要点一
总结词
地球的运动是一个复杂的系统，涉及到多个力和力的矩。 通过拉格朗日方程，可以分析地球的运动轨迹和规律。
要点二
详细描述
地球的运动包括自转和公转，受到太阳和其他天体的引力 作用。通过应用拉格朗日方程，可以计算出地球的运动轨 迹和周期，以及地球上不同地区的重力加速度和潮汐现象 等。
非保守系统的拉格朗日方程
总结词
非保守系统中的拉格朗日方程需要考虑非保 守力的影响，这需要引入额外的变量和方程 来描述系统的运动。
理论力学经典课件-达朗伯原理
3
弹簧参数选择
使用达朗伯原理可以确定弹簧参数，以满足系统的稳定性和运动要求。
达朗伯原理的基本假设
1 理想约束
系统的约束可以用广义坐标表示，且广义坐标不相互依赖。
2 无耗散
系统的约束不引起能量的损耗。
达朗伯原理的三种形式
虚位移原理
系统的广义坐标在可行的无限小位移中，虚功等于零。
虚功原理
各个力沿任意小位移方向所做的虚功之和等于零。
虚功率原理
各个力的虚功率之和等于广义力的负广义势能的导数。
理论力学经典课件-达朗 伯原理
在力学领域，达朗伯原理是一项重要的基本原理，它提供了分析物体或系统 运动的理论框架。在本课件中，我们将探讨达朗伯原理的定义和应用。
达朗伯原理的定义
1 物理意义
达朗伯原理描述了一个自由度系统在广义坐标下运动的基本性质。
2 公式表达
达朗伯原理可以表示为系统动能与势能函数之间的差分式。
达朗伯原理在力学中的应用
通过应用达朗伯原理，我们可以：
• 分析并预测系统的运动 • 推导出系统的运动方程 • 计算系统的能量变化
达朗伯原理广泛应用于：
• 刚体力学 • 含有约束达朗伯原理中的虚位移是指系统在可能的位移下进行力学分析。通过选择合适的虚位移，我们可以简化问题并 得到更简洁的方程。
达朗伯原理在系统平衡分析中的应用
达朗伯原理可以用于分析系统的平衡条件，从而确定约束力和广义力的关系。这对于研究平衡稳定性和找到系 统的平衡位置非常重要。
达朗伯原理的实际应用举例
1
汽车悬挂系统
通过达朗伯原理，可以分析汽车悬挂系统的运动特性，优化系统设计。
2
自鸣钟
达朗伯原理可以解释自鸣钟的工作原理，为其设计和制造提供指导。
达朗贝尔-拉格朗日原理
ui
Su
0
ui ij n j dS ij ij dV
S V
i dV ij ij dV f i ui dV Ti ui dS 0 ui u
V V V S
力系(外力、内力、惯性力)的虚功和为零。
• 适用于非线性问题 • 场函数必须事先满足几何方程和本质边界条件
1.2 达朗贝尔-拉格朗日原理
2016年3月19日
达朗贝尔-拉格朗日原理
运动方程的等效积分形式 V Ri vi dV S Ri vi dS 0 取 vi ui , vi ui
S
V
i )dV ; Ri vi dV ui ( ij , j f i u
达朗贝尔-拉格朗日原理
u (
V i
ij , j
i )dV 0 fi u
要求ui具有C1连续性
分部积分
i dV - ò de ijs ij dV + ò fi d ui dV + ò Ti d ui d S = 0 弱形式 - ò d ui ru V V V S
s
只要求ui具有C0连续性 达朗贝尔-拉格朗日原理降低了对位移函数连续性的要求，更 便于构造近似解。 收敛条件 完备性：试探函数取自完全的函数系列 连续性：弱形式可积 当试探函数的项数不断增加时，近似解趋于精确解！ 哪些方程和条件是严格满足的？ 本质边界条件 几何条件
S
Ri vi dS ui ( ij n j Ti )dS
S
V
ui ij , j dV [( ui ij ), j ui , j ij ]dV
拉格朗日原理
拉格朗日原理可以总结为：在所有可能的轨迹中，物体运动的真实轨迹使得作用量 S 取得最小值。
拉格朗日原理的基本原理包括以下几个方面：
1. 广义坐标与拉格朗日函数
在拉格朗日力学中，为了简化问题和描述系统的微观行为，通常采用广义坐标来描述系统的运动状态。广义坐标是一组与系统的自由度相对应的坐标，它们可以完整地描述系统的位置和运动状态。
拉格朗日方程的应用非常广泛，包括刚体运动、振动系统、流体力学、电磁学等方面。它为研究和解决各种力学问题提供了一种统一而强大的数学工具。
拉格朗日力学具有较高的自然和数学美，它克服了牛顿力学的一些固有缺陷，提供了一种更加简洁、统一的描述物体运动的方法。拉格朗日原理的应用已经深入到物理学的各个领域，并对现代科学的发展产生了重大影响。
约束是指系统在运动过程中所受到的限制，例如硬约束（如杆的长度不变），软约束（如弹簧的拉伸长度受限制）等。约束对虚位移的大小和方向有一定的限制。
3. 动力学方程
拉格朗日力学中的动力学方程是描述系统运动的基本方程，通过该方程可以求解系统的运动轨迹。
根据拉格朗日原理，系统的真实轨迹使得作用量 S 最小。作用量由广义坐标和广义速度的积分路径 L 决定。通过对作用量求取极值的条件可以推导出系统的动力学方程，即欧拉-拉格朗日方程。对于具有 n 个自由度的系统，其动力学方程为：
d/dt (∂L/∂q̇i) - ∂L/∂qi = 0, i = 1, 2, ..., n
其中 L 是拉格朗日函数，q 是广义坐标，q̇ 是广义速度。这组方程描述了系统运动的特征和规律。
4. 拉格朗日方程的应用
拉格朗日方程是解决多个自由度力学问题的一种有效方法。通过将问题转化为寻找使作用量最小的轨迹所满足的动力学方程，可以在最小的计算量下得到系统的运动规律。
理论力学经典课件达朗伯原理
该原理最初是为了解释物体运动 中的惯性力和主动力之间的关系 ，后来被广泛应用于理论力学和 工程学领域。
达朗伯原理的基本概念
达朗伯原理指出，在一个动力学系统 中，对于任何一个质点，其受到的合 外力等于零，即惯性力与主动力之和 为零。
这意味着在考虑物体运动时，只需要 考虑主动力，而惯性力则会自动平衡 掉。
02
达朗伯原理的数学表达
动力学方程的建立
牛顿第二定律
在经典力学中，物体的加速度与 作用力成正比，与物体的质量成 反比。
动力学方程
根据牛顿第二定律，可以建立物 体运动的动力学方程，描述物体 的速度、加速度和作用力之间的 关系。
惯性力和非惯性力的关系
惯性力
在非惯性参考系中，为了保持牛顿运 动定律的形式不变，引入了惯性力的 概念。
详细描述
达朗伯原理指出，在考虑重力、空气阻力和其他外力的情况 下，单摆的运动方程可以由牛顿第二定律和达朗伯原理推导 出来。通过分析，可以得出单摆的周期和振幅与外力之间的 关系。
刚体的平面运动分析
总结词
利用达朗伯原理，可以对刚体在平面内的运动进行动力学分析。
详细描述
在刚体平面运动的分析中，达朗伯原理可以帮助我们建立刚体的运动方程。通过 分析，可以得出刚体的速度、加速度以及作用在刚体上的力和力矩之间的关系。
达朗伯原理的应用范围
达朗伯原理在理论力学中有着广泛的应用，特别是在分析动力学系统和 振动问题时。
它可以帮助我们理解和分析物体的运动规律，例如在研究行星运动、机 械振动、弹性力学等领域中都有重要应用。
此外，达朗伯原理还可以应用于工程学领域，例如在结构设计、机械振 动控制等方面。通过应用达朗伯原理，我们可以更好地理解和预测物体 的运动行为，从而优化设计、提高系统的稳定性和可靠性。
理论力学经典课件第七章达朗贝尔原理
•
又
d
dt
di ωi ωj dt
F1
aC C
F2
rC
Fi
A
M IA y
dj ωj ωi d k 0 x
m aC
dt
dt
故 M IA ( J x α z J y ω z 2 ) i ( J y α z J x ω z 2 ) j J z α k
7-4-3 轴承动约束力
• 设动约束力如图。
z
r
m
r
m
r
m
r
2r
2m
r
m
(a)
(b)
静,动
静
(c)
静,动
mr m
rm
(d)
静
7-4-4 动约束力效应及消除方法
1. C 0 Wc=0。
由 TTv W
R
1mvc211m2R22
C
2
23
m g ( 2 R 2 R c o s) + m g R ( 1 c o s) l
而 VC 2R ，
• 1)静约束力——与主动力平 衡
2)动约束力——与惯性力平衡
2.求解: 1)动量定理与动量矩定理
2)动静法 形式不同，本质相同。
7-4-2 惯性力系的简化
• 如图 已知ω 、α AB， l 向A点简化，且A-xyz
z
与刚体固结。
B
主矢 主矩
FIRmaC
MIA
d LA dt
而 L AJxω ziJyω zjJzω k
由 Mx 0
B
F BlyJx z Jyz 20 F B x
F By
F1
FByJxzlJyz2
拉格朗日方程和虚功原理
拉格朗日方程（Lagrange's equations）和虚功原理（Principle of Virtual Work）都是理论力学中常用的分析方法，用于描述物体的运动和力学系统的行为。
拉格朗日方程是描述质点或物体在广义坐标下的运动的方程。
它是源自哈密顿原理（Hamilton's principle），通过定义一个称为拉格朗日量（Lagrangian）的函数来推导得到。
拉格朗日量是系统动能与势能的差，其定义为L = T - V，其中T 是动能，V 是势能。
拉格朗日方程可以统一描述多自由度系统中质点或刚体的运动，通过求解其中的偏微分方程可以得到物体的运动方程。
虚功原理是一个广义的力学原理，用于分析力学系统中的约束。
它通过平衡约束力和虚位移所作的虚功为零来得到系统的运动方程。
虚功原理要求系统在一组虚位移下保持等势，即满足约束条件。
通过应用虚功原理，可以推导出与拉格朗日方程等价的运动方程。
虚功原理和拉格朗日方程都是建立在能量守恒原理的基础上，它们提供了一种简洁而深入的方法来描述物体的运动和约束行为。
它们在理论力学、动力学、弹性力学等领域具有重要的应用价值。
拉格朗日方程（Lagrange's equations）给出了描述力学系统中物体运动的一阶微分方程。
在一般的情况下，拉格朗日方程可以表示为：d/dt (∂L/∂ᶲ̇ᵢ) - ∂L/∂ᶲᵢ = Qᵢ其中，L 是系统的拉格朗日量，ᶲ是广义坐标（generalized coordinates），ᶲ̇是对应的广义速度（generalized velocities），Qᵢ是外力对应的广义力（generalized forces）。
在使用拉格朗日方程求解力学系统时，我们首先选择适当的广义坐标，构建系统的拉格朗日量。
然后，对拉格朗日量分别对广义速度和广义坐标求偏导，并对时间求导，得到上述方程中的项。
最后，根据外力对应的广义力，求解该方程可以得到系统的运动方程。
理论力学(30-10) 3-4 达朗伯-拉格朗日原理
mg
-
-
例3 第3章
例3 第3章
几何法
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
已知:离心调速器以匀角速ω 转动.各侧杆 长度为l,T型杆宽度为2d.球与重块的质量 分别为m1 和m2 ,各杆均不计重量.光滑接触. 求:角速度ω与张角a的关系.
O B dα C
α
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
∑ (F mr&&) δ r
-
-
第二章 动力学 第3章
力的总功
M i1
i0
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
力所做的总功 :
Ai = ∫M Fi d ri = ∫M ( Fixd xi + Fiy dyi + Fizd z i )
M i1
i0
第二章 动力学 力系的元功 第3章 力系在无限小位移上做的元功 力系在无限小位移上做的元功: 牛
δ r2 ≠ 0
o
y
m2 g
第3章
例2
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
建立如图所示 单摆的运动微分方程.
第3章
牛 顿
x
-
m1
消去约束力
( m1 +m 2 )a2 = (m2 m1 ) g
( m1 +m 2 ) &&2 = ( m2 m1 ) g x
a1
x
m2
δ r1
D-L原理:按整体处理; 不必解除约束,再消去约束力.
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
a 达朗伯-拉格朗日原理是不包含理想约束力
的动力学方程.
a 用牛顿力学求解时,将会出现理想约束的
约束反力.
a 对非理想约束,可解除该约束,将约束反
拉格朗日达朗贝尔原理积分形式
拉格朗日达朗贝尔原理积分形式拉格朗日达朗贝尔原理是力学中的一个基本原理，它是描述物体运动的数学工具之一。
拉格朗日达朗贝尔原理的积分形式在力学中具有重要的应用价值。
拉格朗日达朗贝尔原理是由意大利数学家拉格朗日和法国物理学家达朗贝尔独立提出的。
它是一个基于虚功原理的原理，用于描述物体在运动过程中的动力学行为。
拉格朗日达朗贝尔原理的积分形式为：∫(T-V)dt = ∫Ldt其中，T代表系统的动能，V代表系统的势能，L为系统的拉格朗日函数，t为时间。
拉格朗日达朗贝尔原理的积分形式表明，在物体的运动过程中，系统的动能和势能的变化之和等于拉格朗日函数的积分。
这个积分等于系统的作用量，也就是物体在运动过程中所做的虚功。
拉格朗日函数L是描述系统动力学行为的核心，它是由系统的动能和势能构成的。
拉格朗日函数L可以根据系统的具体情况进行选择，例如对于质点系统，L等于动能减势能。
而对于连续介质系统，L等于系统的拉格朗日密度函数。
拉格朗日达朗贝尔原理的积分形式可以应用于各种不同的力学问题中。
例如在经典力学中，通过对拉格朗日函数进行变分，可以推导出物体的运动方程。
这个运动方程描述了物体在给定力场中的运动规律。
拉格朗日达朗贝尔原理的积分形式还可以用于求解约束系统的运动问题。
在约束系统中，物体的运动受到一些限制条件的约束，例如绳索、轨道等。
通过将约束条件纳入拉格朗日函数中，可以得到约束系统的运动方程。
拉格朗日达朗贝尔原理的积分形式还可以用于求解复杂的多体系统问题。
在多体系统中，不同物体之间存在相互作用，它们的运动受到彼此的影响。
通过将每个物体的拉格朗日函数相加，可以得到整个多体系统的运动方程。
总结一下，拉格朗日达朗贝尔原理的积分形式是描述物体运动的重要工具。
它通过将系统的动能和势能结合在一起，描述了物体在运动过程中的动力学行为。
这个原理可以应用于各种不同的力学问题，包括经典力学、约束系统和多体系统等。
通过应用拉格朗日达朗贝尔原理的积分形式，我们可以求解物体的运动方程，研究物体的运动规律。
清华大学本校用理论力学课件3-4 达朗伯-拉格朗日原理
-
讨论
第3章
达朗伯-拉格朗日原理是不包含理想约束力
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
的动力学方程。 用牛顿力学求解时，将会出现理想约束的 约束反力（未知量）。 对非理想约束，可解除该约束，将约束反 力处理成主动力。 直角坐标形式的达朗伯-拉格朗日方程中的 虚位移不是相互独立的。
-
例3
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
已知：离心调速器以匀角速 转动。各杆长 度为l，T型杆宽度为2d，均不计重量。光滑 接触。求：角速度与张角a的关系。
O B
d
A
x
-
C
y
例3
几何法
(F m r ) r 0
i i i i i 1 n
第3章
O
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
y
g sin 0 l
-
解题步骤
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
确定研究对象：整体 受力分析：画出作功的主动力 运动分析：分析加速度 给出虚位移，找出它们之间的关系 几何法：根据约束的几何关系，直接 找出各点虚位移之间的关系 解析法：对约束方程进行变分，即可 求得各点虚位移之间的关系 5. 列出动力学方程，并求解 1. 2. 3. 4.
设质系的质点Pi受主动力Fi的作用，质系的 约束都是理想、双面约束，可能运动ri = ri(t) 是真实运动的充分必要条件是：
(F m r ) r 0
i i i i i 1 n
动力学普遍方程
牛顿定律和达朗伯-拉格朗日原理是等价的， 但它们的思路是不同的。
牛顿定律—将约束用反力来代替，直接给出各质 点真实运动和主动力、约束反力的关系
理论力学达朗贝尔原理ppt课件
第五章 达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-2 惯性力系的简化
一、 惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各自向
任意点O简化后所得的主矢、主矩分别记作F，MO 和F* ，M*O ，于是，
第五章 达朗贝尔原理
目录
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
第五章 达朗贝尔原理
引言
达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了 有别于动力学普遍定理的另外一类方法。
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯 性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗贝 尔原理。
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-2 惯性力系的简化
刚体做定轴转动
2. 刚体做定轴转动
具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。
设刚体绕固定轴Oz转动，在任意瞬
时的角速度为ω，角加速度为α。
第五章 达朗贝尔原理
舰载飞机降落过程中的动力学问题
拦阻装置为什么装在飞机的后部？
第五章 达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-1 达朗贝尔原理
质点达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
理论力学达朗贝尔原理
§10-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的 惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力R Q 和一个 惯性力偶 M QO 。
RQ QmaMaC MQOmO(Q)
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
5
二、质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F ， 约束反力 N ，合力 RFNm a FNm a0
FNQ0
质点的达朗伯原理
6
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
7
例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
8
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Qm a (Qm)a
由动静法, 有
X 0 ,m sg i Q n co 0 s
解得
agtg
对平面任意力系：
Xi(e) Qix0 Yi(e) Qiy0 mO(Fi(e) )mO(Qi )0
对于空间任意力系：
Xi(e)Qix0 , mx(Fi(e))mx(Qi)0 Yi(e)Qiy0 , my(Fi(e))my(Qi)0 Zi(e)Qiz0 , mz(Fi(e))mz(Qi)0
dv dvdv dvgsin dt d dt Rd
v2 2gR(1cos)
F Nm(3 g co s2)
§10-2 质点系的达朗伯原理
理论力学-拉格朗日方程
涨落力广泛应用于统计物理、凝聚态物理、材料科学等领域。
多体动力学问题的求解
拉格朗日方程也可以应用于多体动力学问题，下面将展示拉格朗日方程求解多体系统运动规律的实例。
数学表述
多体系统问题可以表示为n个质 点组成的整体。设第i个质点的 坐标为ri，速度为vi，将其表示 为广义坐标和广义速度，得到n 个广义坐标和广义速度的描述 向量Q。
应用
广泛应用于天体物理学、量 子力学、粒子物理学等领域。
数学表达
拉格朗日方程的核心在于始终作用量原理。通过最小作用量原理，我们可以得到物理系统的拉格朗日方程。
协变性
拉格朗日力学描述物体运动规律 不随坐标系的选择而改变。
数学形式
实验验证
拉格朗日方程为求解动力学问题 提供了一种非常便捷的数学语言。
大量实验结果证明拉格朗日方程 可以准确描述物体的运动规律。
优点
相比于牛顿运动定律，拉格朗日方程更加简明、严谨。
应用领域
涉及众多领域，如物理、数学、历史等。
研究意义
对拉格朗日方程深入理解有助于人们掌握某些方面的物理知识，提高人们的综合分析和问题 解决能力。
公式推导
拉格朗日力学与哈密顿力学是两种常用的力学描述方式。接下来，我们将比较两种描述方式，并展示拉 格朗日方程的具体公式表达。
1
拉格朗日力学
将物理问题转化为描述系统能量的拉格朗日函数，通过一组广义坐标和广义速度来表示 系统的状态。
2
哈密顿力学
基于哈密顿量，通过广义坐标和广义动量表示系统状态。哈密顿量表示粒子对系统全能 量的贡献。
公式推导
通过哈密顿原理或变分原理， 推导出Lagrangian和Lagrange's equations of motion，这样就可 以写下多体系统的Lagrangian方 程。
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牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
建立如图所示系统的运动微分方程.
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
解除绳子约束,代以反力: 运动分析 a1 = a2 受力分析
y
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
无伸长绳是理想约束 约束允许的运动: δ r1 = δ r2
o
y
m1
T′= T
列写运动微分方程
δ r2
a2
例2
可能位移:δ r
几何法 o δ
l
例2 第3章
解析法
o δ x
l δr
o
l
定 律 与 达 拉 原 理 -
&& aτ = l
( mg man maτ ) δ r =0
x
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
x = l cos y = l sin
δ x = l sinδ δ y = l cosδ
yC = 2lc o s α δ yC = 2ls i n αδα
m2 g
y
第3章
解题步骤
-
ω [ 2m1 (d + l sin α ) 2 cosα 2(m1 +m 2 ) g sin α ] δ rA = 0
y
(m + m2 ) g tan α ∴ ω = 1 m1 (d + l sin α )
i =1
δ ri = 0
∑ (F + N
i i =1
i
mr&&) δri = 0 i i
牛顿定律 — 将约束用反力代替,直接求各质 点真实运动以及主动力,约束反力的关系. 达朗伯-拉格朗日原理 — 先考虑约束对运动的 限制,在可能运动中找出真实运动. 牛顿定律和达朗伯 -拉格朗日原理是等价的.
元功用符号d′ 而不 d 用表示,因为它不一 定是某个函数的全微分.
所以力的分量应满足全微分条件 : A A A Fix = i ; Fiy = i ; Fiz = i x y z 这类力称为有势力或保守力 . 势函数就是功的负值.
-
-
第二章 动力学 第3章
力的总功
M i1
i0
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
an
aτ
δr
mg
( mg sin ml ) δ r =0 &&
&& && (0 mx)δ x + (mg my)δ y = 0
ml( g sin + l&)δ = 0 & & + ( g / l) sin = 0 &
y
y
+ &&
g sin =0 l
y && && & x = l sin l cos 2 && && & y = l cos l sin 2
δ rB = δ rA
δ rC = 2δ rA sinα
x
A
d αm g
ω
m1gδ rB sin α m1 gδ rA sinα 2m2 g r sinα + δ A m1aB δ rB cosα + m1a A rA cosα = 0 δ
C
y A = l cos α δ y A = lsin αδα xB = (d + l sin α ) δ xB = l cosαδα yB = l cos α δ yB = l sin αδα
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
证明 :由达朗伯-拉格朗日原理出发 由达朗伯-拉格朗日原理 和理想约束的定义 :
r ∑ (F m &&) δ r + ∑ N
i i i i i =1 n i =1 n n i
动力学普遍方程
引进惯性力,把动力学问题化为"静力学" 问题 Fi + Ni mi &i& = 0, i = 1,2,L, n r 平衡力系在任意虚位移上所作的功为零: n r r r r ri ∑ ( Fi mi &&n+ N i) δ ri = 0; i =1 r r ∑ Ni δ ri = 0 理想约束 i =1 n r r r && ∴ ∑ (Fi mi ri ) δ ri = 0 动力学普遍方程
2
FIAδ x A FIB δ xB +m1 g δyA +m 1 gδ y B +m2 g yC = 0 δ
讨论 第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
确定研究对象:整体 受力分析:画出作功的主动力 运动分析:加惯性力 确定虚位移,找出它们之间的关系 几何法:根据约束的几何关系,直接 找出各点虚位移之间的关系 解析法:选取适当的坐标轴,写出各 主动力和惯性力作用点的坐标,然后 将坐标变分后,即求得各点的虚位移 5. 根据D-L原理列出动力学方程 6. 求解 1. 2. 3. 4.
dr
F(t)
d Ai =
而
Ai A A d x + i d yi + i d zi xi i yi zi
达朗伯- 达朗伯-拉格朗日原理
r
r + dr
d Ai = Fix d x i + Fiy d y i + Fiz d z i
d′ Ai = Fi d ri = Fix d xi + Fiy d yi + Fiz d zi
n
n
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
i =1
i =1
虚功:力在虚位移上所做的元功. n r r δ A = ∑ Ni dri
i =1
总功(曲线积分)一般与路径(曲线形状)有关. 例如,摩擦力. 若是保守力,满足全微分条件,则有:
Fi = Fi + Fi
(e )
(i )
d′ A = d′ A
( e)
N
r N1
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
N
P
N ⊥δr
δr
r N1
Q P
刚体1
r N2
O
r NLeabharlann 刚体2N δ r = 0r r d r d r2 1
在切平面上
∑
i =1
2
r r N i δ ri =
r dr =0 r or N d ro = 0
F
C
Q P
刚体1
r N2
B
物体受力作用,运动状态发生变化. 物体惯性反抗运动的变化,对外界产生反作 用,这种抵抗力称为惯性力.
+ d′ A
( i)
Ai = ∫ ( Fixd xi + Fiyd y i + Fizd z i ) =∫
Mi 0 Mi 1 M i0
M i1
总功 = 内力功 + 外力功
理想约束:约束反力在质系任意虚位移上所 做的虚功恒等于零的约束. n r r ∑ Ni d ri = 0
i= 1
-
-
dAi = A ( M i1 ) Ai ( M i 0 ) i
运动的光滑曲面也是理想约束.
惯性力的大小等于质量乘加速度,方向与加速 度相反,作用在使物体运动的施力物体上 .
达朗伯达朗伯 -拉格朗日原理
质系Pi 受主动力F i 作用,受理想,双面约束, 可能运动ri = ri(t)是真实运动的充要条件是: 主动力与惯性力在该系统任意虚位移上的元功 之和等于零,即
用约束反力代替约束后,质系就变成了自 由质系,所有虚位移都是相互独立的 ,故 Fi + Ni mi &i& = 0, i = 1,2, L, n r Fi + Ni = mi &&, i = 1,2,L , n r i 牛顿定律
-
-
例1 第3章
例1 第3章
牛顿定律 第3章 o
T
例1
达朗贝尔达朗贝尔 -拉格朗日原理
于是总功与路径无关.(状态函数) 例如,重力.
对非定常约束,虚功为零时,实功一 定为零吗?
理想约束 第3章
理想约束 第3章
光滑接触
刚体2
惯性力的概念 第3章
不可伸长的绳子
δ rA
A
N N′
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
光滑曲面约束
固定球铰
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
无滑动的滚动 完全粗糙接触
第二章 动力学 第3章 常力沿直线作功: A = F s 牛
力的元功 第3章
第二章 动力学
力的元功
顿
变力沿曲线作功: 力取瞬时值; 曲线取微弧
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
若是全微分,则:
第4节
律 与 达 拉 原 理
2002年10月28日
定
功用点积表示 矢量点积的物理意义: 投影; 功 力在无限小位移上做的元功 :
力所做的总功 :
Ai = ∫M Fi d ri = ∫M ( Fixd xi + Fiy dyi + Fizd z i )
M i1
i0
第二章 动力学 力系的元功 第3章 力系在无限小位移上做的元功 力系在无限小位移上做的元功: 牛
理想约束 第3章
顿 定 律 与 达 拉 原 理 -
d′ A = ∑ Fi d ri = ∑ ( Fix d x i + Fiy d y i + Fiz d zi )
i i i i =1
n
i
=0
O
a A = aB = (d + l sin α ) ω 2
δ rB