经济数学基础第一章2
经济数学基础--函数
1 2
y
x 32
x
指数函数的运算性质可依据幂函数 的运算性质(1)--(5)。
31
（四）对数函数 y log a x
其中a为底数，x为真数
a 0, a 1
例如： y log 3 x 就称为以3为底的对数函数
其中以e为底的对数函数称为自 然对数，
简记为y ln x ( log e x)
x 1 0 x 1 2 x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 即：x 1 x 1 或 x 1
写成区间： , ) (1
公共部分
11
【练习2】
1 求函数 f ( x) 3 x 的定义域 . ln( x 3)
a a 1y 2
x x
;
2y x sin x.
x
解：
(1) 对任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得
f x
a
x
a 2
a
x
a f x 2
x
由定义,知f(x)是偶函数。
23
(2) 对任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得
f x x sin x x sin x x sin x f x
x 3
分解为基本初等函数的复合运算或 四则运算。
解：
1y e
u
uv
1 2
v x3
2
2y log2 u
u 1 x
41
9. 分段函数
有些函数在它的定义域的不同部分,其表 达式不同，亦即用多个解析式表示函数，这类 函数称为分段函数. 例 8.1:绝对值函数
经济数学基础-知识点归纳
第一章函数与极限1．理解函数概念。
（1）掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值。
函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。
学生要掌握常见函数的自变量的变化范围，如分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式下表达式大于0，等等。
（2）理解函数的对应关系f 的含义：f 表示当自变量取值为x 时，因变量y 的取值为f (x )。
（3）会判断两函数是否相同。
（4）了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。
2．掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点。
判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即(1)若)()(x f x f =-，则)(x f 为偶函数；(2)若)()(x f x f -=-，则)(x f 为奇函数。
也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数±奇函数、奇函数×偶函数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”的性质来判断。
3．了解复合函数概念，会对复合函数进行分解。
4．知道初等函数的概念，牢记常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、主要性质。
基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质在微积分中常要用到，一定要熟练掌握。
5.了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念。
6.知道一些与极限有关的概念（1）知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；（2）了解无穷小量的概念，知道无穷小量的性质；（3）了解函数在某点连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点。
第二章导数及其应用1．知道一些与导数有关的概念（1）会求曲线的切线方程（2）知道可导与连续的关系(可导的函数一定连续，连续的函数不一定可导)2．熟练掌握求导数或微分的方法。
（1）利用导数（或微分）的基本公式（2）利用导数（或微分）的四则运算（3）利用复合函数微分法3．会求函数的二阶导数。
《经济数学基础》习题答案及试卷（附答案）
习题解答第一章 经济活动中的函数关系分析实训一（A ）1．填空题：（1）(,2][2,)-∞-+∞ ； （2）()3,5； （3）1x； （4）2x e ；2x e ； （5）473x -，提示：由()()47433433g f x x x =+=+-⎡⎤⎣⎦，所以()473x g x -=．2．（1）tan(2)y x =；（2）（3）y=；（4）y=lg(sin 2)x ．3．（1）cos y u =，1xu e =-； （2）ln y u =，222u x x =-+；（3）y =1u x =+；（4）y lg u v =，v =实训一（B ）1．由已知可知2110x -<-<，得到201x <<，即定义域为()()1,00,1- ．2．由()21f x x -=，可得()()2111f x x -=-+，所以()()21f x x =+．也可令1x t -=．3．（1）u y e =，sin u v =，2v x =；（2）log uv ay =，21u x =+，sin v w =，2w x =． 4． ()()()log log log a a a f x f y x y xy f xy +=+==；()()log log log a a axx f x f y x y f y y ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭． 实训二 （A ）1．填空题：（1）y =（2）[]1,3-； （3）2π-，4π； （4）12，π． 2．（1）⨯；（2）⨯；（3）⨯；（4）√．3．（1）由()cos 21y x =+，解得21arccos x y +=，()1arccos 12x y =-， 所以，()()11arccos 12fx x -=-．定义域：[]1,1x ∈-；值域：11,22y π-⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）由()1ln 2y x =++，解得12y x e -+=，12y x e -=-，所以，()112x fx e --=-定义域：(),x ∈-∞+∞；值域：()2,y ∈-+∞ 4．【水面波纹的面积】设面积为S （2cm ），时间为t （s ），则()22502500S t t ππ==【仪器初值】()0.04200.800208986.58Q Q e Q e -⨯-===解得0.808986.582000Q e =≈．实训二（B ）1．由()x a f x x b +=+，解得反函数为()11a bx f x x --=-． 由已知()1x a f x x b -+=+，可得1a bx x a x x b-+=-+，相比较，可得a 为任意实数，1b =-．2．由()ln x x ϕ=，()21ln 3g x x ϕ=++⎡⎤⎣⎦，可得()221ln 3ln 3x x g x e e e ϕ+=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦所以，()213x g x e+=．实训三【商品进货费用】 设批次为x ，由题意： 库存费：11250030000242C x x=⋅⋅=； 订货费：2100C x =． 【原料采购费用】设批量为x ，库存费用为1C ，进货费用为2C ，进货总费用为12C C C =+．1122C x x=⋅⋅= 23200640000200C xx=⋅=所以进货总费用为：12640000C C C x x=+=+． 【商品销售问题】设需求函数关系式为：d Q ap b =+，其中p 为定价． 由已知可得：1000070700073a ba b=+⎧⎨=+⎩，解得1000a =-，80000b =，所以100080000d Q p =-+； 供给函数为：1003000s Q p =+平衡状态下：价格70p =；需求量10000d Q =． 【商品盈亏问题】设()()()()2015200052000L x R x C x x x x =-=-+=-．()6001000L =； 无盈亏产量：()0L x =，解得400x =． 【供给函数】答案：1052PQ =+⋅． 【总成本与平均成本】总成本()1306C Q Q =+，[]0,100Q ∈． 平均成本()13061306Q C Q Q Q+==+，[]0,100Q ∈．第一章自测题一、填空题1、[2,1)(1,1)(1,)---+∞2、(,)-∞+∞3、(,1)a a --4、23x x -5、2ln(1)x -6、arcsin 2x7、cos(ln )x8、2142R Q Q =-+9、22()2505;()6248100R x x x L x x x =-=-+- 10、6P = 二、选择题1、C2、B3、B4、D5、C三、计算解答题1、（1）22log , 1y u u x ==+（2）1x y u e ==+ 2、1()1 , ()1f x x f x x -=+=- 四、应用题1、（1） 6 , 8P Q == （2） 3.5 , 3P Q == （3） 6.5 , 7P Q ==2、（1）()10200C x x =+，()200()10C x C x x x==+ （2）()15R x x =（3）()()()5200L x R x C x x =-=-，无盈亏点：40x =五、证明题（略）第二章 极限与变化趋势分析实训一（A ）1．（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）√． 2．（1）收敛，且lim 0n n x →∞=；（2）发散，lim n n x →∞=∞；（3）收敛，且lim 2n n x →∞=；（4）发散．3．（1）收敛，且lim 2x y →∞=；（2）收敛，且0lim 1x y →=；（3）收敛，且lim 1x y →+∞=；（4）发散．【产品需求量的变化趋势】lim lim 0t t t Q e -→+∞→+∞==．实训一（B ）（1）无穷大；（2）无穷大；（3）无穷大；（4）无穷大． 【人影长度】越靠近路灯，影子长度越短，越趋向于0．实训二 （A ）1．填空题（1）5；（2）2；（3）1；（4）13；（5）∞；（6）∞；（7）2． 2．（1）()()()()2211111112lim lim lim 21121213x x x x x x x x x x x x →→→-+-+===---++； （2）(222211lim2x x x x x x →→→===--；（3）()()2322000222lim lim lim 211x x x x x x x x x x x x x →→→---===---； （4）()()211121111lim lim lim 111112x x x x x x x x x →→→--⎛⎫-===-⎪---++⎝⎭． 3．（1）222112lim lim 2111x x x x x x x →+∞→+∞-⎛⎫-==- ⎪+--⎝⎭； （2）()()()1121lim lim lim 22222222n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫++++-⎛⎫-=-==- ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 【污染治理问题】由题意可知，该问题为等比级数问题，首项为a ，公比为45，则设n 周后所剩污染物为n a ，则45nn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为4lim 05nn a →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，可以确定随着时间的推移能将污染物排除干净．【谣言传播】 （1）1lim (t)lim11ktt t P ae -→∞→∞==+；（2）121(t)0.8110t P e-==+，可解得2ln 407.38t =≈．实训二（B ）1．填空题（1）32π-； （2）0；0．（无穷小与有界函数的乘积为无穷小）（3）0a =，2b =-．2．（1）()3320lim3h x h x x h→+-=；（2）442x x x →→→===．3．由()3lim 30x x →-=，且232lim 43x x x kx →-+=-，可得()23lim 20x x x k →-+=，解得3k =-．4．由题意可知()()21116lim lim 511x x x x x ax bx x→→--++==--，可得7a =-，6b =．实训三 （A ）1．填空题（1）1e -；（2）3e -；（3）e ；（4）e ；（5）3k =；（6）5050.1230⨯⨯=万元，()55010.125038.1⨯+-=万元，50.125041.1e ⨯=万元． 2．（1）6e -；（2）1e -；（3）2e -；（4）01e =． 3．（1）0.042003 6.68rtPe e ⨯==万元； 2.25o P =万元．（2）24.38t p =万元；24.43t p =万元．实训三（B ）1．（1）(()0111lim 1lim 1lim 11x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎫-=-=-==⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）()15lim 15xx x x e →→∞=+=；（3）()1111111lim lim 11xxx x xx e ---→→=+-=；（4）()()()1000ln 121limlim ln 12limln 12x x x x x x x xx →→→+=+=+ ()()112limln 12lnlim 12ln 2x xx x x x e →→=+=+==．2．322lim lim 122x xc x x x c c e e x c x c →∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以3c =． 实训四 （A ）1．填空题 （1）(]0,3；（2）()243,110,1x x x f x x ⎧-+≤-=⎨>⎩；（3）()0lim 1x f x -→=-，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在； （4）()(),22,-∞--+∞ ； （5）1x =，2x =；（6）1k =．2．图略，()0lim 1x f x -→=，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在． 3．()()1lim 11x f x f -→==，()1lim 2x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在1x =处不连续．【个人所得税计算】个人所得税的起征点为月收入3500元．850035005000-=，50000.2555455⨯-=；1200035008500-=，85000.25551145⨯-=．【出租车费用】图略，()8, 322, 3836, 8x f x x x x x ≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩．实训四 （B ）1．图略，()()0lim 10x f x f -→=-=，()0lim 0x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在0x =处不连续．2．由连续的定义可知：()()220lim 1xx k f x e →==+=．3．因为()01f =，()01lim sin00x x f x→=≠（无穷小与有界函数的乘积）， 所以0x =为第一类的可去间断点．第二章自测题一、填空题 1、1- 2、1 3、12- 4、345、221,02,0x x x x ⎧+=⎪⎨≠⎪⎩6、1-7、100 ; 0 8、0.035; 5.15e(万)(万)二、选择题1、C2、A3、C4、A5、B 三、计算解答题1、（1）原式=211(1)1 lim lim0(1)(1)1x xx xx x x→→--==+-+（2）原式=lim lim x x=1lim2x==-（3）设1xe t-=，则ln(1)x t=+，0x→时，0t→，原式=10011lim lim1ln(1)ln(1)limln(1)t ttttt ttt→→→==+⋅++1111lnln[lim(1)]ttet→===+（4）原式=sin[lim sin[limx x→+∞=s i n[l]s i n00x===2、(0)2f=00l i m()l) x x xf x---→→→==00lim lim(12x x--→→==+=00lim()lim(2)2x xf x x++→→=+=lim()2(0)xf x f→∴==()f x∴在0x=点连续，从而()f x在(,)-∞+∞内连续.四、应用题第三章经济最优化问题分析实训一（A ）1．填空题（1）45x ； （2）2313x -； （3）23x ； （4）5232x --；（5）2ln 2x ； （6）1ln10x ； （7）0； （8）0．2．2log y x =，1ln 2y x '=．212ln 2x y ='=，122ln 2x y ='=．3．（1）()141y x -=-，即43y x =-； （2）()222y x +=--，即22y x =-+； （3）cos y x '=，312x k y π='==，切线方程为123y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即126y x π=-． 实训一（B ）1．()()()20001sin010limlim lim sin 00x x x x f x f x f x x x x→→→-'====-．2．()()()()000002lim h f x h f x f x h f x h →+-+--()()()()0000022lim2h f x h f x hh f x h f x h →+-=+--()()()()00000022limlim 12h h f x h f x hh f x h f x h →→+-=⋅=+--． 其中()()()00002lim2h f x h f x f x h→+-'=，()()()()()00000021limh h f x f x h f x f x h f x →='+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 3．因为3,02⎛⎫⎪⎝⎭不在21y x =上，不是切点．设过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭与21y x =相切的切线的切点坐标为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切点为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程为：()2312Y X a a a -=--，有已知3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭在切线上，带入可得1a =，所以切线方程为：()121y x -=--，即23y x =-+．实训二 （A ）1．（1）223146y x x x '=+-； （2）11'ln n n y nx x x --=+； （3）21'41y x x =++； （4）2cosx cosx sinx'(x 1)x y +-=+． 2．（1）22'1xy x =+； （2）22'2sin3x 3cos3x x x y e e =+； （3）'y = （4）22sec cos122'csc sinx 2tan 2cos sin222x x y x x x x ====．3．（1）''2y =； （2）''2x x y e xe --=-+（3）222222(1x )2(2x)''224(1x )x y x x --+-==-+--； （4）2322222(1x)2''2arctanx 1(1x )x x x y x +-=++++． 4．（1）2212dy x xdx y y --+==；（2）x y x y dy y e y xy dx e x xy x++--==--． 【水箱注水】由24r h =，12r h =，22311133212h v r h h h πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，两边求导得214v h h π''=，由已知2v '=，3h =，带入可得： 1294h π'=，89h π'=所以水位上升的速度为89π米/分．【梯子的滑动速度】由题意可得22100x y +=，两边求导可得：220dx dy xy dt dt +=，即dx y dy dt x dt=-， 将8y =，6x =，0.5dy dt =带入可得：820.563dy dt =-⨯=-．所以梯子的另一端华东的速度为23米/秒．负号表示运动方向． 实训二 （B ）1．（1）11(1ln )e x e x y x x x e -=+++； （2）()()1112121y x x x ⎫'=--⎪⎪-+⎭． 2．()()cos sin x x y e x f e x ''=++． 3．将1y y xe -=两边对x 求导可得：0y y dy dy e xe dx dx --=，即1y ydy e dx xe =-．…………（1） 将0,1x y ==带入（1）可得：y e '=． 对（1）继续求导，()()()22121y y y y y y y e xe e e xy e y e xe ''----''==-．4．（1）22x z z xy x ∂'==∂， 22y zz yx y ∂'==∂； （2）2xy x z z ye xy x ∂'==+∂，2xy y z z xe x y∂'==+∂． 实训三 （A ）1．填空题（1）单调递增区间，(),0-∞；单调递减区间()0,+∞． （2）6a =-．（3）驻点． （4）()00f x ''<．2．()()3444110y x x x x x '=-=-+=，得驻点1230,1,1x x x ==-=，单调递增区间：()()1.0 1.-+∞ ，单调递减区间：()().10.1-∞- ．3．()()23693310y x x x x '=--=-+=，得驻点121,3x x =-=．又由于：66y x ''=-，()1120y ''-=-<，所以11x =-为极大点，极大值为0； ()360y ''=>，所以23x =为极小点，极小值为32-．【定价问题】21200080R PQ P P ==-，25000502500050(1200080)6250004000C Q P P =+=+-=-， 224000160T Q P ==-，21200080625000400024000160L R C T P P P P =--=--+-+28016160649000P P =-+-160161600L P '=-+=，解得：101P =， 167080L =．【售价与最大利润】1100200Q p =-，21100200R PQ P P ==-；220019004400L R C P P =-=+-，40019000L P '=-+=，解得 4.75P =此时：150Q =，112.5L =． 【最小平均成本】210000501000050x x c x x x ++==++；21000010c x '=-+=，解得100x =．【最大收入】315x R px xe -==，33155x x R exe--'=-3(155)0x x e-=-=，解得：3x =，此时115p e -=，145R e -=．实训三 （B ）1．（1）设()1xf x e x =--，()10xf x e '=->（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立． （2）设()()ln 1f x x x =-+，()1101f x x'=->+（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立． 2．()cos cos3f x a x x '=+，没有不可导点，所以cos cos 033f a πππ⎛⎫'=+=⎪⎝⎭，得2a =．又()2sin 3sin3f x x x ''=--，03f π⎛⎫''=<⎪⎝⎭，所以3x π=为极大值点，极大值为3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【采购计划】 设批量为x ，采购费：132********200C x x =⨯=； 库存费：222xC x =⨯=；总费用：12640000C C C x x=+=+； 264000010C x'=-+=，解得800x =唯一驻点， 所以采购分4次，每次800吨，总费用最小．第三章自测题一、填空题 1． 2 2． 12-3． 21x -4． 1-5． 212c o s x xx+ 6． 17． 2l n3x + 8． 2 ; 09． 11ln ; ln y x y x yxy y x x xy --+⋅⋅+10． 12x =二、选择题1、C2、A3、A4、D5、A 三、计算解答题1、（1）([1]y x '''=+=+[12]()1x =⋅⋅⋅==（2）222()()2x x x x y e x e x xe e --'''=⋅+⋅-=- 2、方程221x y xy +-=两边对x 求导，得22()0x y y y x y ''+⋅-+= 解得：22y xy y x-'=-，将0,1x y ==代入，得切线斜率12k =，所以，切线方程为：11(0)2y x -=-，即：220x y -+=. 3、定义域(,)-∞+∞2363(2)y x x x x '=-=- 令0y '=，得驻点120,2x x ==递增区间：(,0)-∞、(2,)+∞ 递减区间：(0,2)极大值：(0)7f = 极小值：(2)3f = 四、应用题1、50S t ==(50)50dSt dt'== 所以，两船间的距离增加的速度为50千米／小时. 2、第四章 边际与弹性分析实训一（A ）1．填空题（1）0.2x ∆=， 2.448y ∆=， 2.2dy =． （2）1x dy edx ==． （3）12dy x dx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （4）cos(21)x +，2cos(21)x +． （5）[]()f g x '，[]()()f g x g x ''．2．（1）(12)dy x dx =+； （2）221dy dx x =+； （3）222(22)x x dy xe x e dx --=-； （4）322(1)dy x x dx -=-+； （5）23(1)1dy dx x =-+； （6）1dx dy x nx=． 3．()ln 11x y x x '=+++，11ln 22x y ='=+，所以11ln 22x dy dx =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 【金属圆管截面积】2s r π=，2200.05ds r r πππ=∆=⨯=．实训一（B ）1．（1）2sec x ；（2）1sin 5x 5；（3）2x ；（4）232x ；（5）21x +；（6）arctan x ． 2．将x yxy e+=两边对x 求导，()1x yy xy ey +''+=+，解得：x y x ye yy x e ++-'=-，所以x y x ye ydy dx x e++-=-．3．（1110.001 1.00052≈+⨯=；（20.02221 2.001783⎛⎫==≈+= ⎪⨯⎝⎭； （3）()ln 1.01ln(10.01)0.01=+≈； （4）0.0510.05 1.05e ≈+=． 【圆盘面积的相对误差】2s r π=，0.2r ∆≤()'2s ds s r r r r π∆≈=∆=∆（1）()()22482240.29.65s ds cm cm πππ∆≈=⨯⨯==； （2）2220.22 1.67%24r r r s ds s s r r ππ∆∆∆≈===⨯≈． 实训二 （A ）1．（1）()2'2x f x xe =；（2）[]1'()(1)a bf x x e a x ac --=++．2．（1）()21900110090017751200C =+⨯=；17757190036C ==． （2）()39002C '=，表示第901件产品的成本为32个单位；()51000 1.673C '=≈，表示第1001件产品的成本为53个单位． 3．（1）(50)9975R =；9975199.550R ==． （2）()502000.0250199R '=-⨯=，表示第51件产品的收入为199个单位． 4．22()()100.01520050.01200L R x C x x x x x x =-=---=--，50.020L x '=-=，解得唯一驻点250x =，所以当每批生产250个单位产品时，利润达到最大．实训二（B ）1．()()()()()242,04282, 4x x x x L x R x C x x x ⎧--+≤≤⎪=-=⎨⎪-+>⎩， 即()232,0426, 4x x x L x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，求导()3,041, 4x x L x x -+≤<⎧'=⎨->⎩，令()0L x '=解得3x =百台（唯一驻点） 所以每年生产300台时，利润达到最大．()()430.5L L -=-万元，在最大利润的基础上再生产1百台，利润将减少0.5万元．2．()0.50.25C a a =+（万元）()2152R a aa =- ()22150.50.25 4.750.522a L a a a a a =---=-+-令() 4.750L a a '=-+=，解得 4.75a =（百台）又()10L a ''=-<，有极值的第二充分条件，可知当 4.75a =为最大值（唯一驻点） 所以该产品每年生产475台时，利润最大．实训三 （A ）1．填空题 （1）1axy=；（2）21x Ey Ex ==；（3）1ln()4p η=-；（4）()334η=，()41η=，()554η=． 2．（1）15x η=； （2）3(3)5η=，价格为3时，价格上涨1%，需求下降0.6%，缺乏弹性；(5)1η=，价格为5时，价格上涨1%，需求下降1%，单位灵敏性； 6(6)5η=，价格为6时，价格上涨1%，需求下降1.2%． 3．（1）500P =元时，100000Q =张． （2）18002ppη=-．（3）1η=时，18002600p p p =-⇒=所以：当0600p ≤<时，1η<；当600900p <≤时，1η>．实训三 （B ）1．（1）224202EQ x x Q Ex Q x '==--，243x EQ Ex ==-，所以价格增长5%，需求量减少6.7%；（2）()()3220R x xQ x x x ==--，x =403Q =．2．（1）2Q P '=-，48P Q ='=-，经济意义：在价格4P =的基础上，增加一个单位，需求量减少8个单位．（2）22275P P Q Q P η'=-=-，4320.542359P η===，经济意义，在4P =的基础上涨1%，需求减少0.54%．（3）375R PQ p p ==-，3375375p p p pη-=-，(4)0.46η=，经济意义，在4P =的基础上，若价格上涨1%，收入上涨0.46%．（4）198(6)0.46234η-=≈-，经济意义，在6P =的基础上，若价格上涨1%，收入减少0.46%． （5）375R p p =-，275305R p p '=-=⇒=，又6R p ''=-，()5300R ''=-<，所以由极值的第二充分条件，可知5P =时，总收入最大．第四章自测题一、填空题 1． 22 ; 2xxe e2．212x 3． arctan x4． 0.1 ; 0.63 ; 0.6 5． 45 ; 11 ; 456．10 ; 10% ; 变动富有弹性 7． 15%20% 8． 10% 二、选择题1、C2、B3、D4、A5、C 三、计算解答题1、（1）2222222()()2(2)x x x x y x e x e xe x e x ''''=⋅+⋅=+⋅2222222(1)x x x x e x e x e x =+=+ 22(1)xd y y d x xe x d x'∴==+ （2）222sin(12)[sin(12)]y x x ''=+⋅+2222s i n (12)c o s (12)(12)x x x '=+⋅+⋅+ 24s i n (24)x x =+ 24s i n (24)d y y d x x x d x'∴==+ 2、方程242ln y y x -=两边对x 求导，得31224dy dyy x dx y dx⋅-⋅⋅= 解得，3221dy x y dx y =-，3221x y dy dx y ∴=-3、四、应用题1、（1）()60.04C Q Q '=+ ()300()60.02C Q C Q Q Q Q==++（2）2300()0.02C Q Q'=-+令()0C Q '=，得Q = （3）2()()(204)204R Q P Q Q Q Q Q Q =⋅=-⋅=-2()()() 4.0214300L Q R Q C Q Q Q =-=-+- ()8.0414L Q Q '=-+ 令()0L Q =，得Q =2、 4Q P '=-（1）(6)24Q '=-，6P =时，价格上升1个单位，需求量减少24个单位.（2）22224(1502)15021502P P P Q P Q P P η''=-⋅=-⋅-=-- 24(6)13η=6P =时，价格变动1%，需求量变动2413% （3）23()()(1502)1502R P Q P P P P P P =⋅=-⋅=-33(1502)1502E R P PR P P E P R P P''=⋅=⋅--2215061502P P -=-61113P EREP==-6P =时，若价格下降2%，总收入将增加2213%第五章 经济总量问题分析实训一（A ）1．填空题（1）3x ，3x C +； （2）3x ，3x C +； （3）cos x -，cos x C -+；（4C ； （5）arctan x ，arctan x C +．2．（1）B ； （2）C ； （3）D ； （4）A ．3．（1）5322225x x C -+；（2）31cos 3xx e x C --+；（3）21x x C x-++； （4）(2)ln 2xe C e+． 4．（1）1arctan x C x--+；（2）sin cos x x C ++． 【曲线方程】由题意()21f x x '=+，所以()()()23113f x f x dx x dx x x C '==+=++⎰⎰，又过点()0,1带入，得到1C =，所以曲线方程为：()3113f x x x =++． 【总成本函数】由题意可得()220.01C x x x a =++，又固定成本为2000元，所以 ()220.012000C x x x =++． 【总收入函数】()()278 1.2780.6R x x dx x x C =-=-+⎰，由()000R C =⇒=，所以总收入函数为()2780.6R x x x =-．实训一（B ）1．填空题（1）sin 2ln x x x +；（2）223cos3x e x +；（3）ln x x C +． 2．（1）D ； （2）B ．3．（1）322233331u u u I du u du u u u -+-⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ 2133ln 2u u u C u=-+++； （2）)32332333I dx x x C ===-+⎰；（3）()222222121212arctan 11x x I dx dx x C x x x x x ++⎛⎫==+=-++ ⎪++⎝⎭⎰⎰； （4）()()()1111tttt te e I dt edt e t C e +-==-=-++⎰⎰．实训二 （A ）1．填空题 （1）212x ； （2）x e --； （3）ln x ； （4）arctan x ； （5）23x x +； （6）arcsin x ． 2．（1）B ； （2）B ．3．（1）()()()11cos 2121sin 2122I x d x x C =++=++⎰； （2）()()3212313139I x x C =+=++；（3）()()231ln ln ln 3I x d x x C ==+⎰；（4）111xx I e d e C x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰．4．（1）sin sin sin x xI e d x eC ==+⎰； （2）()()11ln 11x xx I d e e C e =+=+++⎰；（3）()()2222ln 22d x x I x x C x x -+==-++-+⎰；（4）22221111111x x x I dx dx x x x ++-⎛⎫==+- ⎪+++⎝⎭⎰⎰ 21l n (1)a r c t a n 2x x x C=++-+． 5．（1）()x x x x x I xd e xe e dx xe e C -----=-=-+=--+⎰⎰；（2）()()()ln 1ln 1ln 1I x dx x x xd x =+=+-+⎰⎰()()11ln 1ln 111x x x x dx x x dx x x +-=+-=+-++⎰⎰()()l n 1l n 1x x x x C =+-+++． 【需求函数】由已知，()111000ln3100033p pQ p dp C ⎛⎫⎛⎫=-⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 又因为0p =时，1000Q =，代入上式，得到0C =．所以，()110003pQ p ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【资本存量】由已知，32()2(1)y I t dt t C ===++⎰⎰因为0t =时，2500498y C C =+=⇒= 所以，322(1)498y t =++．实训二 （B ）1．填空题（1）ln ()f x C +；（2）arctan(())f x C +；（3）'()()xf x f x C -+． 2．（1）()()2arctan 1x x x d e I e C e ==++⎰；（2）()()11131431dx I dx x x x x ⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭⎰⎰113l n 3l n 1l n 441x I x x C C x -=⎡--+⎤+=+⎣⎦+；（3）()()2arctan 111dxI x C x ==++++⎰；（4）()22222x x x x x I x d e x e e dx x e xe dx -----=-=-+=--⎰⎰⎰()22222x x x x x x I x e xe e C x e xe e C ------=----+=-+++． 【物体冷却模型】设()T t 为t 时刻物体的温度，由冷却定律可得：0()dTk T T dt=-， 分离变量0dT kdt T T =-，两边积分0dTkdt T T =-⎰⎰，可得：()0ln ln T T kt c -=+，0()kt T t T ce =+．由已知()0100T =，()160T =，020T =，带入得到：80c =，ln 2k =-， 所以ln2()2080t T t e -⋅=+， 当ln 23020803te t -⋅=+⇒=．实训三 （A ）1．填空题 （1）122lim(1)nn i i n n→∞=+∑；（2）2)x dx -；（3）2π；（4）0． 2．（1）12010(3)3S x dx =+=⎰； （2）12218(2)3S x x dx -=--=⎰；（3）1303(1)4S x dx =-=⎰或034S ==⎰．实训三 （B ）1．（1）分割：将[]0,4n 等分，每份长度为4n ；（2）近似代替：2412823i i n iA n n n⎡⎤+⎛⎫∆=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（3）求和：()2212221111281281282nnni ii i n n n in n iA A n nn===++++≈∆===∑∑∑； （4）取极限：()2211282lim16n n n n A n→∞++==． 2．1sin xdx π⎰．3．22211113ln ln 222x dx x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．实训四 （A ）1．填空题（1）64；（2）1；（3）2π；（4）3；（5）1． 2．（1）()()()44341118111144I x d x x =--=-=⎰； （2）()()44223328I x dx xx =+=+=⎰；（几何上为直角三角形的面积）（3）22242200111222x x e I e dx e -===⎰； （4）2112111xx I e d e e x =-=-=⎰（5）01cos sin 222x x x I dx πππ++===⎰； （6）0；（利用当积分区间为对称区间，被积函数为奇函数时定积分的性质） （7）121211122222235I xdx xdx xdx xdx -=+=+=+=⎰⎰⎰⎰；（8）02sin 4I xdx π==⎰．（利用定积分的周期性）【资本存量问题】 （1）434211214I t ===⎰（万元）；（4）33224422820 6.87x xtx x ⎛⎫==-=⇒=≈ ⎪⎝⎭⎰．【投资问题】01000P =，200A = 0.05()200T t tdP e dt-= 0.05()0.05020040004000TT t T t P edt e -==-+⎰ 10t =，0.5400040002595t P e=-+= 因为0.515741600T P e-≈<，所以，此项投资不恰当．实训四 （B ）1．因为()1229214x dx --+=-⎰，()1129214x dx -+=⎰，()20216x dx +=⎰，()21214x dx +=⎰， ()3222213x dx +=⎰， 所以应该分两种情况： （1）因为()3403kf x dx =⎰，()()332240221816333k f x dx x dx -+=-==⎰⎰ 所以，0k =； （2）因为()()102112f x dx f x dx ---=⎰⎰，由对称性可知1k =-．2．对()21f x dx -⎰作代换令1x t -=（切记：定积分的换元要换限，积分值不变），则有：()()21011f x dx f t dt --=⎰⎰，所以，()()21101101112tte f x dx f t dt dt dt e t ---==+++⎰⎰⎰⎰ ()()()()001101011132ln 1ln 2ln 121t t td e ed te t e t e --+=++=+++=+++⎰⎰． 3．()()()()11111111I xf x dx xdf x x f x f x dx ----'===-⎰⎰⎰()()()()21111110x f f e f f --=+--=+-=．因为()()222x x f x e xe --'==-，()f x 为奇函数，所以()()110f f +-=．【储存费用问题】第五章自测题一、填空题 1．sin x x e c ++2．5314453x x x c -++ 3．ln xdx4．21ln 2x c +5．196．327．94π8．21200 ;200Q Q - 9．二、选择题1、D2、B3、A4、B5、C 三、计算解答题 1、（1）原式=1111()(3)(2)532dx dx x x x x =--+-+⎰⎰ 113[l n 3l n 2]l n 552x x x c cx -=--++=++ （2）原式=22111112sin ()cos cos cos1d x x x πππ-==-⎰2、（1）222222212(1)()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x ++++==++⎰⎰22111()arctan 1dx x c x x x=+=-+++⎰（2）222222212(1)3()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x -+--==++⎰⎰ 22131()3arctan 1dx x c x x x=-=--++⎰3、原式=31222(1)(1)1)33x x =+=+=⎰⎰四、应用题 1、（1）32412)2(24S x x dx x x =-=-=（2）1100()()1x x S e e dx ex e =-=-=⎰2、（1）2()()(100020)C Q C Q dQ Q Q dQ '==-+⎰⎰2311000103Q Q Q c =-++(0)9000C = ，9000c ∴=， 321()10100090003C Q Q Q Q ∴=-++ ()3400R Q Q = 321()()()10240090003L Q R Q C Q Q Q Q =-=-++- （2）令()()R Q C Q ''=，得60Q = 最大利润(60)99000L =（元） 3、.期末考试（90分钟）一、选择题（每题3分，共9分）1、设()0, 0x f x k x ≠=⎪=⎩在0x =处连续，问k =（ ）。
经济数学基础
经济数学基础微积分第一编微分学第二编一元函数积分学线性代数第一编微分学第1章函数第2章极限、导数与微分第3章导数应用第1章函数1.1 函数概念1.2 几类基本初等函数1.3 函数的运算1.4 利息与贴现(略)1.5 经济分析中常见的函数1.1 函数概念1.定义2.几点解释3.基本属性2.几点解释(1)记号(2)两要素(3)单值性(4)图形(5)表示法()y f x=定义域、对应规则一个x只有一个y与之对应解析法、图示法、表格法定义域1)分母≠02)被开偶次方根的数≥03)真数>04)三角函数的定义域列出不等式(组)后解不等式(组)tan ,2cot ,y x x k k Zy xx k k Z πππ=≠+∈=≠∈3.基本属性(1)单调性(2)奇偶性(3)有界性(4)周期性(1)单调性()()()()()()12121212, , x x D f x f x f x x x D f x f x f x ∀<∈∃<∀<∈∃>则称函数单调增加则称函数单调减少(2)奇偶性()()()()()() f x f x f x f x f x f x -=--=则称函数为奇函数则称函数为偶函数(3)有界性()()()()0f x M M f x M f x M M ≤-≤≤>，即则称函数有界显然，注：不是唯一的(4)周期性()()() f x T f x f x T +=则称函数为周期函数注：不是唯一的，其中最小的正数称为最小正周期，简称周期。
1.2 几类基本初等函数1.常数函数2.幂函数3.指数函数4.对数函数5.三角函数6.反三角函数(略)1.常数函数y c=yxcy c=2.幂函数y xα=0(1,1)yxq x() = x-1h x() = x3g x() = x2f x() = x()0,1xy aa a =>≠(0,1)y=(12)xy=2xyx()log 0,1a y x a a =>≠(1,0)ln y x=1lny x=Oxy5.三角函数y=t a n xy=c o s xy=s in xyx1.3 函数的运算1.复合()()(),,y u u x y x y f u u x y f x ϕϕ===⎡⎤⎣⎦是的函数，是的函数，则是的函数，即则2.初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算或复合而得到的能用一个式子表示的函数1.5 经济分析中常见的函数1.需求与供给①需求函数②供给函数③供需平衡点2. 成本、收入、利润①成本②收入③利润()0,0d q aq b a b =+<>()11110,0s q a q b a b =+><d sq q =①成本()()()()0C q c c q C q C q q=+=+==总成本固定成本变动成本总成本平均成本产量②收入()()()()R q q p R q q pq=⨯==⋅收入产价格不变时：量销售量价格③利润()()()()()()0 0 ()0 L q L L q R q C q L q q ==>-=<盈利盈亏平利润收入衡-本本保成亏损第2章极限、导数与微分2.1 极限的概念2.2 极限的运算2.3 函数的连续性2.4 导数与微分的概念2.5 导数计算2.6 高阶导数2.1 极限的概念1.极限的概念(1)数列的极限(2)函数的极限2. 左右极限3. 极限存在定理4. 无穷小量(1)数列的极限“一尺之棰，日截其半，万世不竭”──庄子·天下11111,,,,,,2482n 12n n 当无限增大时，越来越接近于(1)数列的极限{}{}(), lim n n n n n n x n x A n x A x A x A n →∞=→→∞数列当无限增大时，无限地接近于某个固定的常数则称趋于无穷时，数列或以为极限，记作(2)函数的极限①自变量趋于无穷的情形②自变量趋于有限值的情形①自变量趋于无穷xy观察函数1y x=()()()lim lim lim x x x f x f x f x →+∞→∞→-∞⎧⎪⎨⎪⎩②自变量趋于有限值观察函数211x y x -=-()()()0lim lim lim x x x x x x f x f x f x +-→→→⎧⎪⎨⎪⎩0x yx32132012.左右极限()()00lim lim x x x x f x L f x R-+→→==左极限右极限3. 极限存在定理()()()0lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A-+→→→⇔===函数在某一点的左、右极限都存在且相等称函数在这点的极限存在4.无穷小量10sin 10sin x x xx x x→→ 如：时是无穷小量时，无穷小，而有界极限为零的量叫无穷小量无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量无穷小量的倒数是无穷大量1. 运算法则加、减、乘、除、乘方、开方以后求极限等于先求极限再进行加、减、乘、除、乘方、开方()00lim lim x x x x x C C x x →→→∞==2.求极限的方法：①无穷小量性质()()0→∞→∞有界即无穷大量趋近于0有界即无穷小量趋近于00x x x ②当时，将代入后计算2.求极限的方法：因式分解或分子(分母)有理化，约去零因子后，代入计算0x 0若将代入后为“”型2.求极限的方法：x x ∞→∞∞③当时，将代入后为“”型分子分母同除以的最高次结果有三种：分子次数高：∞分母次数高：0分子分母次数同：最高次的系数比x2.求极限的方法：④两个重要极限()010sin lim 11lim 1lim 1xz x zx z x e x xe →→∞→=⎛⎫→+=+= ⎪⎝⎭3.注意区分0sin lim 1sin lim 01sin x x x xx xx x x →→∞==⎛⎫→∞ ⎪⎝⎭时，是无穷小，有界1.连续：简单讲就是函数在某点的极限等于该点的函数值()()0lim x x f x f x →=()()()()()()()0000000 lim lim lim li m x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x f x -+-+→→→→====连续左连续右连续2.间断点：不连续的点就是间断点存在三种情况：()()()()0000lim lim x x x x f x f x f x f x →→≠①不存在②不存在③x 02.4 导数与微分的概念1.引入导数的概念的实例2.导数的概念3.导数的几何意义4.可导与连续的关系5.函数的相对变化率(弹性)6.微分的定义①平均速率()()()()1010100000,0lim t s v t t t t t tts t s t s t t s t v t tst tv t ∆→∆=∆=-=+∆∆-+∆-==∆∆∆∆→∆,令当时，如果极限存在，即为时刻的瞬时速率②切线问题()()()()1010100000tan ,tan 0lim tan x yxx x x x x x f x f x f x x f x xxyx xx ααα∆→∆=∆∆=-=+∆-+∆-==∆∆∆∆→∆割线的斜率令当时，如果极限存在，即为处切线的斜率①函数在某一点的导数()()()0000000000lim lim x x x x x x x x f x x f x yx xx x dfdy f x y dxdx∆→∆→===+∆-∆=∆∆''极限存在,称函数在点处可导，极限值为处的导数，记作或或或注：若是左极限，则为左导数若是右极限，则为右导数②导函数()()()()()()(),,y f x a b x f x f x x y f x a b df dyf x y dx dx=''=''如果函数在区间内每一点都可导，则每取一个，都有一个导数与之对应，也就是说也是的一个函数，称其为函数在区间内的导函数，记为或或或，也简称为导数3. 导数的几何意义函数在某一点的导数，就是函数在这点切线的斜率4. 可导与连续的关系可导一定连续连续不一定可导5. 函数的相对变化率函数的相对变化率─ ─弹性()E ()()()()0000000000lim lim x x x xy y x x y Ef x x x y f x x x xEf x y f x y∆→∆→∆∆'==⋅=∆∆''==⋅()1%%xx f x E含义：当产生的改变时， 近似地改变6. 微分的定义dydy y dx y dx''=→=()()()()000000,,x x x x x x y f x x f x x x dydyf x xdx x x x dyf x dx===='∆'=∆''=∆=∆∴= 若函数在点处可导，则称为函数在点处的微分，记作即2.5 导数计算1.导数(微分)的四则运算法则2.复合函数求导法则3.隐函数求导4.基本初等函数求导公式。
《经济数学基础》第一篇第一章--函数
例如： y x, y x3,
y
1 x2
x2
1
y x x2
2
y 3 x2 x3
归纳幂函数的性质：
1 xn xm xnm 如：x3 x5 x8
2
1 xn
xn
如： x13＝x3
3
xn
xm
xn xm
xnm
如： x2＝ 1
x3
x5 x3
n
3
4 m xn x m 如：y 5 x3 x 5
x 3
x
2
x 3
x 3 接下来将： x 2 写成区间的形式
x 3
x
－3 －2
3
得到定义域： D (3,2) (2,3]
三. 计算函数的值
就是将自变量的值代入函数的表达式中， 计算出因变量(函数)的值来。
关键是对函数记号f x的理解: (1) f x0 表示函数f x在x x0处的值;
x 1
解：1gx x2 x, f x gx.
2gx x 2 xx 0; f x xx R
即D f Dg, f x gx.
3 gx x2 1 x 1 x 1
x 1
f x x 1 x R 即D f Dg, f x gx.
例 4.2 判断下列函数是否相同：
1 f x ln x2, gx 2 ln x; 2 f x ln x3, gx 3ln x;
要注意：所有函数可以分为 奇函数、偶函数和非奇非偶函数。
通过图像可以看出： •奇函数的图像是关于原点对称的， •偶函数的图像是关于y轴对称的。
通过定义，我们可以证明得到下面的结论：
•奇＋奇＝奇， •偶＋偶＝偶， •奇×奇＝偶， •偶×偶＝偶， •奇×偶＝奇， •奇＋偶＝非奇非偶函数， • f(x) + f(-x) 为偶函数， f(x) - f(-x) 为奇函数。
经济数学基础积分学之第1章不定积分
第一单元 原函数的概念一、学习目标通过本节课的学习，理解原函数的概念．二、内容讲解这节课我们讲原函数的概念，先来看什么是原函数． 已知 求 总成本函数 边际成本 C (x ) C '(x )‖（ ） MC( )' = MC求 已知已知总成本C (x )，求边际成本C '(x )，就是求导数．反之如果已知边际成本，用MC 表示，要求总成本，这就是我们要讨论的问题，也就是要知道哪一个函数的导数等于MC ．我们引进一个概念：定义1.1——原函数若对任何x ∈D ，F '(x )=f (x )，则称F (x )为f (x )的原函数． 我们来看具体的问题：例如(x 3)' =3x 2 [F (x ) f (x )]；∴x 3是3x 2的原函数．大家用自己的方法把它搞清楚，不要和导数的概念搞混了． 先考虑这样一个问题：x 2的原函数是哪个？由原函数的概念我们就要看哪个函数的导数是x 2，即它使得x 2)(='成立，我们在下列函数中进行选择：12,ln ,4,1,222+-+xx x x 经验证知21x +和42-x 是2x 的原函数．通过这个过程应该弄清，求已知函数的原函数，就是看哪个函数的导函数是已知函数，这个函数就是所求的原函数．另外，2x 的原函数不唯一．它告诉我们原函数不止一个． 再从另一方面提出问题：x sin 为哪个函数的原函数？x x cos )(sin ='，说明x sin 是x cos 的原函数．同样x x cos )3(sin ='+，说明3sin +x 是x cos 的原函数．事实上，c x +sin 都是x cos 的原函数，说明原函数有无穷多个．那怎样求出一个函数的所有原函数呢？这是下面要讨论的．若)(,)(x G x F 都是)(x f 的原函数，则c x F x G +=)()( 证：设)()()(x G x F x H -=0)()()()()(=-='-'='x f x f x G x F x H可知c x H -=)(，即c x F x G +=)()(这个结论非常重要，我们已经知道，若)(x F 是)(x f 的原函数，则c x F +)(都是)(x f 的原函数．而这个结论告诉我们任意两个原函数之间差一个常数．所以只要求出一个原函数，就能得到所有原函数．问题思考1：如果一个函数)(x f 有原函数，它可能有多少个原函数？ 答案有无穷多个原函数．问题思考2：)(x F 是)(x f 的原函数，c x F +)(是否包含了)(x f 的所有原函数？ 答案是，因为)(x f 的任一原函数)(x G 都可表示为c x F +)(的形式．三、例题讲解例1求x 1的全体原函数．分析：先求一个原函数，再将这个原函数加任意常数就得到全体原函数．求原函数就是看哪个函数的导数是x 1．解：因为x x 1)(ln ='，所以x ln 是x 1的一个原函数．故x1的全体原函数为x ln +c 。
经济数学基础微分学之第1章 函数
第一单元函数的概念第一节函数的概念一、学习目标通过本节课的学习，理解函数的概念，了解函数的表示法，会计算函数值．二、内容讲解同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的特点是：所讨论的量在研究问题的过程中保持不变．只是从未知到已知．例如解方程或方程组，求得的解都是固定不变的．又如讨论三角形，它的边长也是固定不变的量．这些量叫做常量．常量——只取固定值的量这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的．如圆的面积与半径的关系：S=πr2考虑半径r可以变化的过程．面积和半径叫做变量．变量——可取不同值的量变域——变量的取值范围我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，可能有几个变量．比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质．函数就是变量之间确定的对应关系．比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系．又如银行中的利率表它反映的是存款存期与存款利率之间的对应关系．这几个例子反映的都是两个变量之间的确定的对应关系．函数的定义是：定义1.1——函数设x, y是两个变量，x的变域为D，如果存在一个对应规则f，使得对D内的每一个值x 都有唯一的y值与x对应，则这个对应规则f称为定义在集合D上的一个函数，并将由对应规则f 所确定的x 与y 之间的对应关系，记为：)(x f y =称x 为自变量，y 为因变量或函数值，D 为定义域．集合},)({D x x f y y ∈=称为函数的值域．我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系．三、例题讲解例1 求函数)1ln(1-=x y 的定义域． 解：)1ln(1-=x y ，求函数的定义域就是使表达式有意义的x 。
由对数函数的性质得到01>-x ，即1>x ；由分式的性质得到0)1ln(≠-x ，即11≠-x ，即2≠x 。
综合起来得出所求函数的定义域为),2()2,1(∞+= D ．例2 设国际航空信件的邮资F 与重量m 的关系是的关系是⎩⎨⎧≤<-+≤<=20010,)10(3.04100,4)(m m m m F ,求)20(,)8(,)3(F F F 。
经济数学-第1章
第1章函数的概念函数是对现实世界中各种变量之间相互依存关系的一种抽象，是刻画运动变化中变量相依关系的数学模型。
其思想是：通过某一事实的信息去推知另一事实。
在经济学、管理学及其他社会科学的研究中经常会遇到函数。
本章将在中学数学已有的函数知识的基础上，进一步理解函数概念、并介绍反函数、复合函数及初等函数的性质，为微积分的学习打下基础。
一、变量（一）变量与常量在我们观察自然现象或社会现象的过程中经常会遇到两种不同的量，其中一些量在观察过程中始终保持固定的数值，这种量称为常量，一般用字母a ，b，c 等表示；另一些量在观察过程中可取不同的数值，这种量称为变量，一般用 x，y，z 等表示。
例如物体的重力加速度，某段时间内某种商品的不变价格等均是常量；一天的气温、湿度、生产过程的产量是在不断变化的，它们是变量。
（二）区间变量有时可取任意实数值，有时又要受到某种限制，这要根据问题的具体性质来决定。
例如产量不能为负数，圆的内接正多形的边数只能是不小于3的自然数……通常用“区间”来表示变量x的变化范围。
设 a ，b是两个给定的实数，满足 a ≤x≤b 的实数的全体叫做闭区间，用记号[ a ，b] 表示；满足 a < x < b 的实数的全体叫做开区间，用记号（ a，b）表示；满足 a < x≤b 或a ≤x < b 的实数的区间叫做半开闭区间，用记号（ a，b] 或[ a，b）表示。
以上这些区间叫做有限区间。
除了有限区间之外，还有无限区间。
（ a ，+ ∞）表示全体大于a 的实数； [ a ，+ ∞）表示全体不小于a的实数；（ - ∞，b）表示全体小于b 的实数；（-∞，b] 表示全体不大于b的实数；（ - ∞，+ ∞）表示全体实数。
其中，-∞，+ ∞分别读成负无穷大，正无穷大。
（三）邻域邻域是今后常用的一个概念，在数轴上，一个以 x 点为中心，半径为δ的对称开区间称为x的δ邻域，记为 N（ x ，δ）。
经济数学第一章
经济数学 第一章 . 第一节
第 24 页
关
四
系
、
式
建
立
函
数
例7 某工厂生产某产品，每日最多生产500件．它的
日固定成本为2 000元，生产一件产品的可变成本为5 元．求该厂的日成本函数及平均单位成本函数．
1 函数
经济数学 第一章 . 第一节
解 设日总成本为 C 件．由于日总
1 函数
经济数学 第一章. 第一节
及
一 、 函 数
其 表 示 法
的
概
念
函数的四种性质：
单调性
奇偶性
周期性
有界性
第7 页
函数的三种 表示方法
解析法 列表法 图像法 在实际应用中，这三种表示
1 法可以结合起来使用 函数
经济数学 第一章. 第一节
第8 页
等
函
二
数
、
与
复
分
合
段
函
函
数
数
、
初
1.初等基本函数
的
概
念
例1 设长方形的长为 x，宽
为 y，则它的面积为 z f (x, y) ，
这是一个二元函数，其定义域
为 D (x，y) x 0，y 0 .
例2 二元函数 z 1 x2 y2
的定义域为 1 x2 y2 0 ，即 x2 y2 1 .
我们把二元和二元以上的函数统称为多元函数．文 中若不特别指出，所述函数均指一元函数.
称为收益函数．
第 21 页
1 函数
QP
经济数学 第一章 . 第一节
中
的
三
几
、
个
经
经济数学基础--微积分第一章
解 u , v 分别是中间变量,故 y u2 tan 2v tan 2x2 .
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节 第 12 页
极 限 的 概 念
极限的概念
• 1.2.1 数列的极限 • 1.2.2 函数的极限
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节
极
限
1 数列的极限
的 概
念
先给出数列的定义:在某一对应规则下,当 n(n N ) 依次取 1, 2, 3, , n, 时,对应的实
函数的自变量 x 是指 x 的绝对值无限增大,它包含以下两种情况: (1) x 取正值,无限增大,记作 x ; (2) x 取负值,它的绝对值无限增大(即 x 无限减小),记作 x .
定义1.2.3 : 如果当 x 无限增大(即 x )时,函数 f (x) 无限趋近于一个确定
的常数 A ,那么就称 f (x) 当 x 时存在极限 A ,称数 A为当 x 时函数 f (x) 的极限,
径.在上述领域中除去领域的中心点 a
称为点 a
的去心
领域,记为
0
U（a,
）,
0
即 U（a,） x 0 x a ， 如右图所示.
第 19 页
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节 极 限 的 概 念
注意:
在定义中,“设函数 f (x) 在点 x0 的某个去心领域内有定义”反映我们关心的 是函数 f (x) 在点 x0 附近的变化趋势,而不是 f (x) 在 x0 这一孤立点的情况.在定义 极限lim f (x) 时, f (x) 有没有极限,与f (x) 在点 x0 是否有定义并无关系.
例1.1.3 求函数 y 4x 1 的反函数. 解 由v 4x 1 ,可解得 x y 14 . 交换 x 和 y 的次序,得 y 14(x 1) ,
经济数学ppt课件
x
, 都成立；而函数
y
1 x
在
1,1
上无界，因为不存在正
数M
，使得
1 x
M
对于 0,1上的一切
x 都成立.
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7
第一节 函数
一、函数的概念与性质
2.函数的性质
2）单调性
若 对 任 意 的 x1, x2 I , 当 x1 x2 时 , 恒 有 f x1 f x2 ( 或 f x1 f x2 ),则称函数 y f x在区间 I 上单调增加(或单调减少).
为
L(q) R(q) C(q) 6q (500 2q) 4q 500，
故生产 200 件该产品时的利润为 L(200) 4 200 500 300（元）.
(2)由 L(q) 0，即 4q 500 0, 解得 q 125，故盈亏平衡点为 125
件.
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25
第二节 极限
一、极限的概念
经济数学
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1
经济数学基础 教学内容
一元函数微分学 （1.2.3章）
一元函数积分学 （4章）
线性代数 （5章） 概率论（6章）
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2
第一章 函数、极限与连续
第一节 函数 第二节 极限 第三节 函数的连续性
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3
第一节 函数
一、函数的概念与性质
1.函数的概念
设 x ，y 是两个变量, D 是给定的非空数集,如果变量 x 在 D
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17
第一节 函数
三、初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合 步骤所构成并用一个式子表示的函数，称为初等函数.
例如，y x cos x , y ln x x2 1 , y e5x1 cosx
《经济数学》 第1章
故复合函数的定义域是 例10 设 解
1.基本初等函数
(1)幂函数 幂函数
(
是常数)
的定义域随 的不同而不同.
当
为无理数时,规定
的定义域为
(2)指数函数 指数函数 的定义域为
是常数） .当a>1时，它严
格单调增加；当0<a<1时，它严格单调减少.对于任何
的a , 的值域都是 ，函数的图形都过(0,1)点.
，则y 通过u 的联系也是x的函 复合而成的复合
数，称此函数是由y =f(u) 及 函数，记作 并称 x 为自变量，称 u 为中间变量. 例8 分析函数
是由哪 几个函数复合而成.
解
复合而成,并易知其定义域为
例9 求由函数 定义域. 解 由于 的定义域为
组成的复合函数并求其 与u=3x–1的值域
有公共部分， 所以由它们可以组成复合函数 由于 必须 ，从而 . ，
反余弦函数 反正切函数 余切函数
2 初等函数
定义 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或经
过有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数， 称 为初等函数. 初等函数都可以用一个公式表式
是非初等函数 大部分分段函数不是初等函数
1.1.5 反函数与隐函数
1 反函数
定义3 设函数y=f(x)是定义在Df上的一个函数，其值域为 Zf ,对任意y∈ Zf ,如果有唯一确定的满足y=f(x)的x ∈Df 与之对应，则得到一个定义在Zf上以y为自变量的函数， 我们称它为函数y =f (x)的反函数，记作 习惯上，常用x来表示自变量，y 表示因变量，所 以我们可以将反函数改写成
偶函数. 此外还有正割函数y=secx,余割函数y=cscx,其
经济数学基础图文 (1)
反余弦y=arccosx是闭区间[－1，1]上的单调递减有界函数，
为非奇非偶函数，且有arccos(－x)=π－arccosx.
定义1.9
把正切函数y=tanx在开区间
2
,
2
内的反函数称
为反正切函数，记作y=arctanx，其定义域为(－∞，+∞)，值域
为
2
, 2
.
反正切y=arctanx是开区间(－∞，+∞)内的单调递增有界函数，
第1章 函 数 与 极 限
第1章 函 数 与 极 限
1.1 函数 1.2 常见的经济函数 1.3 极限的概念 1.4 极限的运算 1.5 函数的连续性
第1章 函 数 与 极 限
1.1 函
1.1.1 1. 在日常生活中，经常会遇到不同的量，如收入、 成本、
产量、身高、路程、 某一班级的学生人数等， 这些量可以分 为两类: 一类是在考察的过程中不发生任何变化，只取一个 固定的值，我们把这类量称为常量，如圆周率π是个永远不变 的量，某一阶段某个班级的学生人数也是一个常量；另一类 是在考察的过程中不断地发生变化，取不同的数值，我们把 这类量称为变量，如汽车行驶过程中的路程、 一天中的气 温等都是不断变化的，这些都是变量.
第1章 函 数 与 极 限
2. 引例1 设圆的半径为r，面积为S，于是面积S与半径r之 间的关系为
S=πr2，r>0 引例2 某企业生产某一产品的固定成本为5000元，每生 产一件产品成本增加20元，于是生产该产品的总成本C与产 量q间的关系可以表示为
C=20q+5000 以上两例都给出了两个变量在某一变化过程中的对应关 系，当一个变量取一定值时，另一个变量有唯一确定的值与 之对应. 在数学上，我们将这种变量间的对应关系称为函数 关系.
经济数学基础--微积分复习提纲
《经济数学基础--微积分》复习提纲(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《经济数学基础--微积分》复习提纲一、第一章：函数1、函数概念，表达式，初等函数，定义域等。
例如：（1）函数21)(x x x f -+=的定义域是x=[0，1]；（2） f(x)＝522-+x x ,得f(x －1)＝5)1(2)1(2--+-x x ＝…；（3）22)1(2+-=+x x x f ，即)(x f ＝2212)1(2+---+x x x ＝…＝542+-x x ；（4）设==))((,1)(x f f x x f 则)1(x f ＝…= 21x； （5）在下列函数中与||)(x x f =表示相同函数的是（ B ） A ．2)(x B.2x C ．33x D ．xx 2(6) 设⎩⎨⎧>+≤+=05402)(2x x x x x f ，则9)1(=f ，2)0(=f ，17)3(=f ，3)1(=-f ； 二、第二章：极限与连续1、概念理解，无穷大＋∞，无穷小－∞，极限运算等。
能代即代……只看最高次……因式分解、分子分母有理化、公式化简等；2个重要极限中的=→xx x sin lim 01。
例如：（1）443222lim ++∞→x x x ＝（只看最高次）＝1/2； （2）3923lim --→x x x ＝（因式分解）＝…＝3； （3）1027776664999888222lim 2323++-+-+∞→x x x x x x x ＝只看最高次＝ 1/4 （4）4586224+-+-→x x x x im l x ＝（因式分解）＝…＝32 （5）xx im l x 110-+→＝（分子有理化）＝…＝21 （6）但是=∞→xx x sin lim0，=→x x x sin lim 01。
（7）已知122=+y x ，即y '＝yx -（课本61页例题） （8）课本35－37页有关例题。
经济学基础第1章
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一马当先，全员举绩，梅开二度，业 绩保底 。20.11.2420.11.2400:2500:25:4400:25:44Nov-20
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牢记安全之责，善谋安全之策，力务 安全之 实。2020年11月24日 星期二12时25分44秒 Tuesday, November 24, 2020
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创新突破稳定品质，落实管理提高效 率。20.11.242020年11月24日 星期二 12时25分44秒 20.11.24
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安全在于心细，事故出在麻痹。20.11.2420.11.2400:25:4400:25:44November 24, 2020
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踏实肯干，努力奋斗。2020年11月24 日上午1 2时25 分20.11. 2420.1 1.24
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追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2020年11月24日星期 二上午12时25分44秒00:25:4420.11.24
▪ （2）把可能获得的最大收益视为机会成本。机 会成本并不是指任意的一种用途的收益，而是指 所有放弃的用途中能带来的最大收益。机会成本 并不是实际上的支出，而是一种观念上的支出。
▪ 1.1.2 经济学的定义
▪ 迄今为止，对于经济学的定义，经济学界 不存在一个被所有经济学家都接受的说法。 一般认为，经济学是研究社会如何进行选 择，以利用具有多种用途的、稀缺的资源 来生产有价值的商品和劳务，并将其分配 给不同的人的学科。即经济学是研究如何 实现稀缺资源的最佳配置，以使人类的需 要得到最大限度满足的学科。
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人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。00:25:4400:25:4400:2511/24/2020 12:25:44 AM
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安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20.11.2400:25:4400:25Nov-2024-Nov-20
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y = f ( x), x ∈ D
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平面点集 C = {( x, y ) y = f ( x ), x ∈ D} 称为函数 y = f ( x )的图形 .
y
Z
y
( x, y)
⋅
o
x
x
D
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函数的表示法 （1）图示法 ） 例1 某地用自动记录仪记录的该地某天气温变化曲线如 下图所示 C 温度 T(。 )
新生人数M(人 新生人数 人) 1530
新生人数M是年份 的函数 新生人数 是年份t的函数 是年份 的函数.
(3)公式法 公式法
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三、分段函数
在定义域的不相交的子集上用不同的分析表达式表示的函数 称为分段函数. 称为分段函数 2x − 1, x > 0 例如, f ( x ) = x 2 − 1, x ≤ 0
处有定义， 当x 0 ∈ D时, 称函数f在点x 0处有定义， 此时, 变量y的对应值 y 0 称为点x 0所对应的函数值 , 记作 y 0 = f ( x 0 ). 当x 0 ∉ D时, 称函数f在 点x 0处没有定义 .
全体函数值组成的集合 Z = { y y = f ( x ), x ∈ D} 称为函数的值域 .
T0
t0 温度T是时间 的函数. 是时间t的函数 温度 是时间 的函数
0
24
时间t(小时 时间 小时) 小时
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(2)表格法 表格法 某高校1998-2003招生人数如下表所示 例2 某高校 招生人数如下表所示
年份t(年 年份 年) 1998 1999 2200 2000 2800 2001 3150 2002 3490 2003 3980
解 4 − x 2 ≥ 0 x+1≥ 0 x+1≠ 1
1 定义域 . ln( x + 1)
得定义域为 D = ( −1,0) U (0,2]
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1− x 设f ( x ) = 1 − x 2
例4
0≤x≤1 1 , 求(1)f ( x )的定义域; ( 2)f ( −1), f (0), f ( ). 2 x<0
常量在数轴上表示一个定点， 常量在数轴上表示一个定点，而变量在数轴上表示一个动 点.
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二、函数的概念及其表示法
定义 设x和y是两个变量,D是一个非空实数集，如果存在 是两个变量,D是一个非空实数集， ,D是一个非空实数集 一个对应规则f,对于每个x D,都能由 确定唯一一个实数y f,对于每个 都能由f 一个对应规则f,对于每个x∈D,都能由f确定唯一一个实数y与之 对应,则称f是一个定义在D上的函数 函数， 为函数f的定义域,x ,x位 对应,则称f是一个定义在D上的函数，称D为函数f的定义域,x位 自变量,y为因变量. ,y为因变量 自变量,y为因变量.
y = x2 − 1
y = 2x − 1
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y 绝对值函数
x 当x ≥ 0 y =| x |= − x 当x < 0
y =| x |
o -1 y y = sgn x
1
x
符号函数
1 当x > 0 y = sgn x = 0 当x = 0 − 1 当x < 0
x = sgn x ⋅ x
o -1
x
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y=[x],[x]表示不超过 的最大整数. 表示不超过x 取整函数 y=[x],[x]表示不超过x的最大整数. y
4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5
x
-2 -3 -4
阶梯曲线
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四、函数定义域的求法
例3 求函数 y = 4 − x 2 +
解
(1)函数的定义域为 D = ( −∞ ,1]
( 2) f ( −1) = 1 − ( −1) 2 = 0 f ( 0) = 1 − 0 = 1 1 1 1 f( ) = 1− = 2 2 2
1
y
y = f (x)
-1
o
1
x
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§1.2
函数的概念
一、常量与变量 二、函数概念及其表示法 三、分段函数 四、函数定义域的求法
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一、常量与变量: 常量与变量:
在某过程中数值保持不变的量称为常量, 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 通常用字母 常量 a, b, c等表示。而 数 值 变 化 的 量 称 为 变 量 . c等表示。 等表示 用字母x 等表示. 用字母x, y, t等表示. 等表示 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量是相对“过程”而言的.
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函数的两要素: 定义域与对应法则. 函数的两要素: 定义域与对应法则.
( (
x
D 对应法则f
自变量x 自变量x
Z
f (x0 )
)
因变量y 因变量y
习惯上称变量y是变量x的函数，常说“函数y 或 习惯上称变量y是变量x的函数，常说“函数y”或“函数 f(x)”, f(x) , 并将函数表示为