20110228171955_圆周运动和动力学

a K = a K ′ + a0
当a0 = 0时,
伽利略加速度变换
aK = aK′
表明质点的加速度相对于作匀速运动的 各个参考系不变。
例1-6 某人以4 km/h的速度向东前进时，感觉风从 正北吹来.如果将速度增加一倍，则感觉风从东北方 向吹来.求相对于地面的风速和风向. y(北) 解：由题意，以地面 v 'K'K 为基本参考系K，人为 45° θv 运动参考系K’，取风 k'k vAK ' v AK 为研究对象，作图 v 'AK' x(东) 根据速度变换公式得到： O
2
（1）求该点在时刻 t 的加速度；（2）t 为何值时， 该点的切向加速度与法向加速度的大小相等？已知 飞轮的半径为R. 解：由题意，可得该点的速率为：
ds d 1 v = = (v0t − bt 2 ) = v0 − b t dt dt 2
上式表明，速率随时间t 而变化，该点做匀变 速圆周运动
（1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:
二、圆周运动的加速度
d v d ( v τ ) dv dτ a= τ +v = = dt dt dt dt
ds = rd θ
dθ
d v d ( v τ ) dv dτ a= τ +v = = dt dt dt dt
切向加速度 a t 法向加速度 a n
dω dv = Rα at = = R dt dt
v
α an a
o
R
（2）令a t= a n，即
( v0 − bt ) =b R
2
bR = v 0 − bt
得
t = ( v 0 − bR ) / b
例. 一质点从静止出发作圆周运动，半径R=3.0m,切向加 速度 a τ = 3 ⋅ 0 m ⋅ s − 2 问：（1）速度与时间的关系 ？ （2）经过多长时间，其加速度与由圆心至质点的矢径 方向成 135 0 角？ （3）在上述时间内，质点所经历的路 ds 程和角位移各为多少？ aτ 0 （3） v = τ 135 dv dt =3 解（1） a τ = 0 dt a a 45 Δs s 1 v t ∫ s ds = ∫ 0 vdt n ∫ dv = ∫ 3 dt
y = 6 (m ) 轨迹方程。圆心在 π 处，半径为 6 π ( m ) 的 x y
平面上的圆
例. 用气枪瞄准挂在高处的靶，当子弹以 v oP离开 枪口 时，靶由解扣机械释放而自由下落，不论子弹的初速率多 大，总会击中下落的靶。求击中的时刻 t roT T vop , roT 求：t 已知： 解：子弹与靶的加速度都是常矢量
⎧ a τ = d v = d s = −b ⎪ dt dt2 ⎨ 2 v ( v 0 − bt ) 2 ⎪ a = = ⎩ n R R
2
a=
a +a
2 τ
2 n
(v0 − bt)4 + (bR)2 = R
aτ
加速度方向由它和速度的夹角确定为：
⎡ ( v0 − bt ) 2 ⎤ α = arctan ⎢ ⎥ ⎣ − Rb ⎦
v AK ' θ = arctan = arctan1 = 45 v K'K
1 = v 'AK ' 2
= vAK sin θ
v 'AK' = 2vK'K = 5.66(km/h)
y(北)
θv
k'k
v 'K'K
45°
1 vAK' = v 'AK' = 4(km/h) 2 以及
v AK
vAK '
v 'AK'
O
x(东)
v AK =
2 2 v K 'K + v AK ' = 5.66(K m /h )
0
t
讨论：
1. at = 0 , an = 0 2. at = c , an = 0
3. at = 0 , an = c
匀速直线运动 匀变速直线运动
匀速率圆周运动
4. at ≠0 , an ≠0
变速曲线运动
例题1-3 一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的 关系为 s = v0t − bt / 2 ，v0、b都是正的常量。
靶的坐标
x≤v
2 op
sin 2 θ g
§1-3 相对运动 常见力和基本力 一、相对运动
1.伽利略坐标变换
' yy
v
P
r
o'
x' x
r′
z' z
K'系原点相对K系原点的位 矢： r = r ′ + R
成立的条件:绝对时空观！ 空间绝对性:空间两点距离 的测量与坐标系无关。 时间绝对性:时间的测量 o 与坐标系无关。
§1-6 圆周运动
一、圆周运动的角量表示
1、角位置
v2
θ = θ (t )
2、角位移
B v1 Δs A R
Δθ O
θ
X
Δθ
3、角速度
dθ ω = dt
单位：rad/s
ds = rdθ
dθ
4、角加速度
dω d θ = 2 α= dt dt
2
单位：rad/s2
ω
v = Rω v =ω × R
ds v= dt (rdθ ) = dt dθ =r = rω dt
y
y'
v
P
r
o'
r′
x
R
z'
x'
t = t′
z
因此，满足经典时空观的条件时
r ′ = r − R = r − vt t′ = t
P点在K系和K'系的空间坐 标、时间坐标的对应关系 为：
y
y'
v
P
x′ = x − vt y′ = y z′ = z t′ = t
r
o o'
r′
x
R
z z'
x'
伽利略坐标变换式
20
0
a
的表达式不是 t 的函数时，如何求解？
3
0
不是求 v ( t ), r 时，如何求解？
(t)
而是求v
( r ), r ( v )
4 如何用矢量的分量式求解？
0
关于质点运动有以下几种说法: (1)在圆周运动中,加速度的方向一定指向圆心; (2)质点作匀速率圆周运动时,切向加速度不变,法向 加速度改变; (3)物体作曲线运动时,速度方向一定在运动轨道的切 线方向，法向分速度恒等于零,因此其法向加速度 也一定等于零. (4)物体作曲线运动时,必定有加速度，加速度的法向 分量一定不等于零. 上述说法中,( (D) )是正确的. (A) 只有(2); (C) (1),((2); (B) (2) (3); (D) (2),(4).
匀速圆周运动
ω 是恒量
dθ = ωdt
∫θ
θ
0
dθ =
∫ ω dt
0
t
θ = θ 0 + ωt
匀角加速圆周运动
α 是恒量
ω = ω0 + α t
θ = θ
0
1 + ω 0t + α t 2
2
一般圆周运动
ω 2 − ω 02 = 2α (θ − θ 0 )
∫θ
θ
0
dθ =
∫ ω dt
0
t
θ = θ 0 + ∫ ω dt
1 2 r = r0 + v 0 t + a t 2 1 对子弹：
a=g
若击中，则
rp = 0 + v0 p t + g t 2 1 2 对靶：rT = r0T + 0 + g t 2
2
vop
θ
v 0 p t = r0T v 0 p t = r0T
rp = rT r 0T
t=
O
v0 P
注意：10 矢量除法无意义 X 20 此命题成立的条件是
2
a = at + a
2
2 n
注意：
1
0
a =
a ≠ dt
d v dt
！
dv
dv 2 v 2 2 a = ( ) +( ) dt ρ
20 a 的方向永远指向 曲线凹的一方。
圆周运动中角量和线量的关系
v = Rω
dv dω at = = R = Rα dt dt
v 2 an = = Rω R
2
讨论：
⎧v0 x = v0 cos θ ⎪ ⎨ ⎪v0 y = v0 sin θ ⎩
⎧a x = 0 而⎨ ⎩a y = − g
o
v0
ymax
θ
xmax
x
故任意时刻的速度为：
dx ⎧ = v0 cos θ vx = ⎪ ⎪ dt ⎨ ⎪v = dy = v sin θ − gt y 0 ⎪ dt ⎩
将上式积分，得运动方程为:
0
v = v + ∫ adt
t ∫t
0
v = dr
dt
⇒
r ∫r dr
0
=
t ∫t
v dt r = r0 + vdt
0
*已知加速度和运动的初始条件，用积分的方法可求速 度、运动方程和轨迹方程。
v = v0 + adt
0
t ∫t
r = r0 + ∫ vdt
0
t t
注意：
1 a ( t ) 的具体表达式不知时，如何求解？