正切函数的性质与图像教学设计
正切函数的性质与图象教案
正切函数的性质与图象教案一、教学目标：1. 理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质。
2. 能够绘制正切函数的图象，理解正切函数图象的特点。
3. 能够运用正切函数的性质与图象解决实际问题。
二、教学重点：1. 正切函数的定义。
2. 正切函数的性质。
3. 正切函数图象的特点。
三、教学难点：1. 正切函数的性质的理解与运用。
2. 正切函数图象的绘制与分析。
四、教学准备：1. 教学课件。
2. 练习题。
五、教学过程：1. 导入：利用正切函数的实际应用情境，引导学生思考正切函数的定义，激发学生的学习兴趣。
2. 新课：讲解正切函数的定义，通过示例让学生理解正切函数的概念。
讲解正切函数的性质，让学生通过观察、实验、探究等方式，理解正切函数的性质。
讲解正切函数图象的特点，让学生通过观察、实验、探究等方式，掌握正切函数图象的特点。
3. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
5. 作业布置：布置相关作业，让学生进一步巩固正切函数的性质与图象。
六、教学反思：本节课通过引导学生思考正切函数的定义，讲解正切函数的性质与图象，让学生掌握了正切函数的基本知识。
在教学过程中，注意调动学生的积极性，引导学生通过观察、实验、探究等方式，理解正切函数的性质与图象。
但在教学中也存在一些问题，如部分学生对正切函数的理解不够深入，需要在今后的教学中加强引导和讲解。
六、教学拓展：1. 讲解正切函数的周期性，引导学生理解正切函数周期性的含义。
2. 讲解正切函数的奇偶性，引导学生理解正切函数奇偶性的含义。
3. 讲解正切函数的单调性，引导学生理解正切函数单调性的含义。
七、课堂小结：2. 强调正切函数在实际应用中的重要性。
八、课后作业：1. 巩固正切函数的性质与图象，完成课后练习题。
2. 搜集正切函数在实际应用中的例子，加深对正切函数的理解。
1. 课后对学生进行提问，了解学生对正切函数性质与图象的掌握情况。
2. 分析学生的练习作业，评估学生对正切函数性质与图象的掌握程度。
正切函数的性质与图像教学设计
《正切函数的性质与图像》的教学设计一.教材分析1.地位与作用《正切函数的性质与图像》是高中《数学》必修4第一章第四节内容。
在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升。
2.教材处理教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以提问的方式，让学生回忆如何由正弦线得到正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。
设计问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。
我把空间留给学生，采用让学生自己设计一个得到正切曲线的方法。
这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力。
二．学情分析通过对正弦函数图像与性质的研究，学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。
但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，比如定义域，函数区间等问题。
这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。
三．教学目标确定正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。
本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.知识目标：1）、能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像。
2）、熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质。
3）、掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2. 能力目标：1）、通过类比，联系正弦函数图像的作法2）、能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。
3、德育目标：使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
正切函数的性质与图象教案
第4课时正切函数的性质与图象【教学目标】1．知识目标（1）理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质。
（2）会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。
2．能力目标培养学生作图能力，运用函数图象分析、探究问题的能力。
3．情感目标经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程，进一步体会函数线的作用。
【重点难点】重点正切函数的性质与图象。
难点利用正切线研究正切函数的单调性及值域。
案例（一）教学过程板书设计案例（二） 教学过程1． 正切函数的性质探讨。
教师――前面对正弦函数、余弦函数性质进行研究时，同时运用了函数的图象和诱导公式，也就是采用的数行结合方法。
对正切函数性质的研究咱们换一新视角来研究，不先研究图象，而先研究性质，根据性质再做图象。
下面请你借助研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，根据诱导公式、正切线依次对正切函数的周期性、奇偶性、单调性、最值做出研究。
学生――探究正切函数的周期性，根据诱导公式x x tan )tan(=+π来研究。
师生――教师重点解析，指出正切函数的周期是，不予证明，后面结合图象会看到。
进一步指明，正切函数的基本周期区间常取为（－)2,2ππ学生――自主探究正切函数的奇偶性，教师引导学生注意正切函数的定义域。
师生――共同说明正切函数的奇偶性。
学生――自主探究正切函数的单调性，遇到障碍。
教师――单调性无法根据诱导公式来说明，引导学生利用正切线，数行结合探究正切函数在一个基本区间（－)2,2ππ内的单调性，再根据其周期性研究正切函数的所有单调区间。
学生――画出正切线，观察思考正切线在基本区间内的变化规律，说明正切函数的单调性。
师生――教师结合图１.４－８进一步解释正切函数的单调性，规范给出正切函数的单调区间。
学生――结合图１.４－８中的正切线，利用极限思想求正切函数在一个周期的区间（－)2,2ππ上y 的取值范围，即得正切函数的值域。
师生――共同归纳正切函数的值域是实数集R ２．正切函数的图象教师――正切函数的性质通过诱导公式和正切线进行了研究，下面转向函数图象研究。
正切函数的性质与图像教案
正切函数的性质与图像教案第一篇：正切函数的性质与图像教案1．4．3 正切函数的性质和图像一、教学目标1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；二、课时 1课时三、教学重点正切函数的性质与图象的简单应用.四、教学难点正切函数性质的深刻理解及其简单应用.五、教具多媒体、实物投影仪六、教学过程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课新知探究提出问题①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.(1)周期性由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠π+kπ,k∈Z2可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.(2)奇偶性由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠π+kπ,k∈Z 2可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(kπ,0)k∈Z.2(3)单调性通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(-又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(-ππ22,)内是增函数,π2+kπ,π+kπ),k∈Z内都是增函数.2(4)定义域根据正切函数的定义tanα=y,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时x正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+数的定义域是{α|α≠kπ+π,k∈Z,所以正切函2ππ,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在22解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于-切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于向无限延伸.因此,tanx在(-π2且无限接近-π2时,正ππ且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方22ππ22,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R.问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1 问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-ππ,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整22ππ,)的图象为好.22π+kπ(k∈Z)2个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠的图象,我们称正切曲线,如图3.图2图3问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(-ππ22,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(-π4,-1),(0,0),（π,1),还有两4条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(-x=-π4,-1),(0,0),（π,1),再画两条平行线4π2,x=π,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.2讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法.提出问题①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=π+kπ,k∈Z所隔开的无2穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性π+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称22kπ的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.2质——单调性,单调增区间是(-+kπ,问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.讨论结果:①略.②略.应用示例略课堂小结1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？作业课本习题1.4 A组6、8、9.第二篇：正切函数的图像与性质教案高中数学正切函数的图像与性质昆明市教师资格审查教育教学能力测评试讲教案试讲科目：高中数学学校：云南师范大学姓名：何会芳2013年5月3日制高中数学正切函数的图像与性质一.教材分析1、教材的地位和作用本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。
教学设计6：7.3.4 正切函数的图像与性质
7.3.4 正切函数的性质与图像教学目标1.了解正切函数图像的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图像及性质解决有关问题． 教学知识梳理 知识点一 正切函数对于任意一个角x ，只要x ≠π2＋k π，k ∈Z .就有唯一确定的正切值tan x 与之对应，因此y ＝tan x是一个函数，称为正切函数． 知识点二 正切函数的图像与性质解析式y ＝tan x图像定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数单调性在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是单调递增的对称性 对称中心⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )零点k π，k ∈Z案例一 正切函数的定义域、值域问题例1.函数y ＝tan(cos x )的定义域为________，值域为________． 【答案】R [－tan 1，tan 1] 【解析】因为－1≤cos x ≤1， ∴tan(－1)≤tan(cos x )≤tan 1， ∴－tan 1≤tan(cos x )≤tan 1.所以定义域为R ，值域为[－tan 1，tan 1]． 反思感悟 求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”，令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .跟踪训练1.(1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z 【解析】由π6－x 4≠π2＋k π，，k ∈Z ，得x ≠－4π3－4k π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z . (2)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，7π24的值域是________． 【答案】(－∞，1)【解析】∵－π12<x <7π24，∴－π2<2x －π3<π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3<1，即函数的值域为(－∞，1)． 案例二 正切函数的单调性及其应用 例2.比较大小：(1)tan 32°________tan 215°； (2)tan18π5________tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 【答案】(1)< (2)<【解析】(1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， ∵当0°<x <90°时，y ＝tan x 单调递增，32°<35°， ∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°. (2)tan18π5＝tan ⎝⎛⎭⎫4π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－28π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－π9， ∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，且－2π5<－π9， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan ⎝⎛⎭⎫－π9，即tan 18π5<tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 反思感悟 (1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝tan(ωx ＋φ)的单调区间的方法y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 跟踪训练2.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调递增区间是________． 【答案】⎝⎛⎭⎫k π2－3π8，k π2＋π8，k ∈Z【解析】令k π－π2<2x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－3π8<x <k π2＋π8，k ∈Z .案例三 正切函数图像与性质的综合应用例3.关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x )的图像关于⎝⎛⎭⎫π2－φ，0对称；③f (x )的图像关于(π－φ，0)对称；④f (x )是以π为最小正周期的周期函数． 其中不正确的说法的序号是________． 【答案】①【解析】①若取φ＝k π(k ∈Z )，则f (x )＝tan x ，此时，f (x )为奇函数，所以①错；观察正切函数y ＝tan x 的图像，可知y ＝tan x 关于⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )对称，令x ＋φ＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2－φ(k ∈Z )，分别令k ＝1,2知②，③正确，④显然正确． 反思感悟 解答正切函数图像与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图像的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴．(2)单调性：正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是单调递增的，但不能说其在定义域上是递增的．跟踪训练3.画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．解：由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎨⎧tan x ， (k π≤x ＜k π＋π2 )k ∈Z ，－tan x ， (－π2＋k π＜x ＜k π)k ∈Z ，其图象如图：由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 函数y ＝|tan x |的周期T ＝π.函数y ＝|tan x |的单调递增区间[k π，k π＋π2)(k ∈Z )，递减区间为(k π－π2，k π](k ∈Z )．课堂小结 1．知识清单：(1)正切函数图像的画法． (2)正切函数的性质．2．方法归纳：三点两线法，整体代换法，换元法．3．常见误区：最小正周期T ＝π|ω|，在定义域内不单调，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )． 当堂检测1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期是( ) A ．π B ．2π C.π2 D.π6【答案】C【解析】最小正周期为T ＝π|ω|＝π2. 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠－π3 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ∈R ，且x ≠5π6 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π－5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ∈R ，且x ≠k π＋5π6，k ∈Z 【答案】D【解析】y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x －π3，∴令x －π3≠π2＋k π，k ∈Z .∴x ≠56π＋k π，k ∈Z ，故选D.3．直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω>0)的图像相交，则相邻两交点间的距离是( ) A ．π B.πω C.2πω D.π2ω【答案】B【解析】y ＝3与y ＝tan ωx (ω>0)相邻两交点间的距离是一个周期，因为T ＝πω，故选B.4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫4π5，0 D ．(π，0) 【答案】C【解析】令x ＋π5＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π2－π5，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2－π5，0，k ∈Z . 令k ＝2，可得函数的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫4π5，0.5．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________________． 【答案】(－∞，－1]∪[1，＋∞)【解析】函数y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫π4，π2上单调递增，在⎝⎛⎦⎤π2，3π4上也单调递增， 所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．。
正切函数的性质与图象 说课稿 教案 教学设计
正切函数的性质与图象学习目的：1、熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题；2、渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。
学习重点：正切函数的图象和性质的运用。
学习难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题．授课类型：新授课学习模式：讲练结合教 具：多媒体、实物投影仪学习过程：一、复习引入：1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。
2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
二、讲解新课：例1：求下列函数的周期：（1）3tan 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 答：T π=。
（2）tan 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 答：3T π=。
说明：函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+≠≠的周期T πω=． 例2：求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。
解：由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ， ∴所求定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且，值域为R ，周期3π=T ，是非奇非偶函数，在区间()z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数。
将tan y x =图象向右平移3π个单位，得到tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将 tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变），就得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的图象。
例3：用图象求函数y =的定义域。
解：由tan 0x ≥ 得tan x ≥ 利用图象知，所求定义域为(),32k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，。
正切函数的性质与图象教案
正切函数的性质与图象教案一、教学目标：1. 让学生理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质，能够运用正切函数的性质解决问题。
2. 让学生通过观察正切函数的图象，加深对正切函数性质的理解。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学重点：1. 正切函数的性质。
2. 正切函数的图象特征。
三、教学难点：1. 正切函数性质的推导。
2. 正切函数图象的绘制。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正切函数的性质。
2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解正切函数的图象特征。
3. 通过小组讨论，培养学生的合作能力。
五、教学准备：1. 教师准备正切函数的图象和性质的PPT。
2. 学生准备笔记本和文具。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 复习正切函数的定义：正切函数是指在直角三角形中，对边与邻边的比值。
2. 提问：正切函数有什么性质呢？它的图象又是怎样的呢？二、探究正切函数的性质（15分钟）1. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的周期性。
2. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的奇偶性。
3. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的单调性。
三、总结正切函数的性质（5分钟）1. 总结正切函数的周期性。
2. 总结正切函数的奇偶性。
3. 总结正切函数的单调性。
四、绘制正切函数的图象（15分钟）1. 引导学生利用函数图象绘制工具，绘制正切函数的图象。
2. 引导学生观察正切函数的图象，验证正切函数的性质。
五、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成正切函数性质的练习题。
2. 让学生绘制正切函数的图象，并分析图象的性质。
六、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课学习的内容，总结正切函数的性质。
2. 强调正切函数的性质在实际问题中的应用。
七、作业布置（5分钟）1. 完成正切函数性质的相关练习题。
2. 绘制正切函数的图象，并分析图象的性质。
八、课后反思（教师）1. 反思本节课的教学效果，调整教学方法。
5.4.3 正切函数的性质与图像(教案) 高中数学人教A版(2019)必修第一册
第五章 三角函数5.4.3 正切函数的性质与图像教学设计一、教学目标1.掌握利用单位圆中正切函数定义得到图像的方法.2.能够利用正切函数图像准确归纳其性质并能简单的应用.二、教学重难点教学重点能够利用正切函数图像准确归纳其性质并能简单的应用.教学难点掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图像.三、教学过程（一）情景引入教师：三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.我们已经学过正弦函数、余弦函数的图像与性质，那么根据正弦函数、余弦函数的图像与性质的由来，能否得到正切函数的图像与性质.学生：思考.（二）探究一：正切函数的图像教师提问：正切函数图像是怎样的？类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性质？学生：思考 正切函数tan , ?()2y x x R x k k z ππ=∈≠+∈且图象：观察正切曲线，回答正切函数的性质：定义域： ()2x k k z ππ≠+∈ 值域： (,)R ∞∞-+最值： 无最值 渐近线：()2x k k Z ππ=+∈周期性：最小正周期是π奇偶性: 奇函数 单调性：增区间,,22k k k z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭图像特征：无对称轴，对称中心：,0Z 2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 例1 求函数()tan 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域、周期和单调递增区间． 【答案】定义域：12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣；最小正周期为2；单调递增区间是512,2,33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z . 【解析】由232x k ππππ+≠+，得12()3x k k ≠+∈Z ．所以函数()f x 的定义域是12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣； 由于22ππ=，因此函数f (x )的最小正周期为2. 由,2232k x k k ππππππ-+<+<+∈Z ，解得5122,33k x k k -+<<+∈Z .因此，函数的单调递增区间是512,2,33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z . （三）课堂练习1.与函数πtan 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像不相交的一条直线是( ) A.π2x = B.π2y = C.π8x = D.π8y = .答案：C 解析：令ππ2π()42x k k +=+∈Z ，得ππ()28k x k =+∈Z ，令0k =，则π8x =. 2.函数1πtan 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期内的图像是( ) A. B.C. D. 答案：A解析：当2π3x =时，0y =，排除C,D ；当0x =时，πtan 3y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，排除B.故选A.3.已知函数ππ2tan 63y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则( ) A.增区间为(65,61)k k -+,k ∈ZB.增区间为(61,65)k k -+,k ∈ZC.减区间为(65,61)k k -+,k ∈ZD.减区间为(61,65)k k -+,k ∈Z答案：C 解析：令ππππππ()2632k x k k -+<+<+∈Z ，解得6561()k x k k -<<+∈Z ， 故函数ππ2tan 63y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为(65,61)()k k k -+∈Z .故选C. 4.函数πtan 4y x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭的定义域是( ) A.π,4x x x ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭R ∣ B.π,4x x x ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭R ∣ C.ππ,,4x x k k x ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭Z R ∣ D.3ππ,,4x x k k x ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭Z R ∣ 答案：D解析：函数的解析式即πtan 4y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,要使函数有意义,则πππ()42k x k ≠+∈-Z ,解得3ππ()4x k k ≠+∈Z ,据此可得函数πtan 4=x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域是3ππ,,4x x k k x ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭Z R ∣.故选D.（三）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容？1.正切函数的图像2.正切函数的性质四、板书设计5.4.3 正切函数的性质与图像1.正切函数的图像2.正切函数的性质。
《正切函数的图象和性质》教学设计.doc
《正切函数的图象和性质》教学设计课型：新授课课时目标：能借助单位圆中的三角函数线画出正切函数的图象，了解正切函数的周期性，借助正切函数的图象理解正切函数在上的性质，体会数形结合的思想。
2 2经历通过研究函数的性质得到函数的图象，再通过函数图象研究函数性质的过程，通过几何法画函数的图象，了解类比思想。
通过对正切函数的图象与性质的学习，培养学生从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。
课时重点：正切函数的图象与性质及深化研究函数性质的思想方法。
课时难点：利用正切线画正切函数的图象；对渐近线的理解，函数性质的理解和应用。
教学方法：1 •计算机辅助教学借助多媒体教学手段引导学生理解利用单位圆中的正切线画正切函数的图象，使问题直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示优美的函数图象，给人美的享受。
2.探究式教学分组讨论、交流、总结，自主探究正切函数的主要性质；通过观察“正切函数的几何作图法”课件的演示，分组讨论图象特征，总结函数性质。
教学过程：创设情景兴趣导入询面我们主要研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，我们研究的方法是通过画出函数的图象得到函数的性质，那么我们能否换个角度，先研究函数的一些性质，再通过性质画出函数的图象，本节课我们将以正切函数为例來尝试新的研究方法。
（板书课题：正切函数的图象和性质）•问1：请大家结合正、余弦函数性质的研究，想一想我们主要研究正切函数的哪些性质呢？•引1：从正切函数的定义出发研究（代数定义、几何定义）分组讨论自主探究四人一组（前后两桌）根据各组的势力，确定自己组的研究目标•根据学生回答的结果，追问它们得到的依据是什么？•问：这些性质反应在图象上冇怎样的特征？（由数及形）£ 由正切函数的定义知，正切函数的定义域为{x\xe RKx^k7T + ^k eZ }—当X = k7T + -时，没冇对应的函数值。
（单位圆屮的正切线解释更直观）2丄由诱导公式：tan（x + 7i} - tan x,x e /?月.兀k7i + —k e Z,知正切函数是周期函数, 2 周期为龙——函数值每隔兀个单位是相等的。
正切函数的图像与性质教案
正切函数的图像与性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解正切函数的定义，掌握正切函数的图像与性质；（2）学会运用正切函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察正切函数的图像，探索正切函数的性质；（2）利用数形结合思想，研究正切函数的单调性、周期性等性质。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的数学审美观，感受数学的对称美；（2）激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的探究精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）正切函数的定义；（2）正切函数的图像与性质。
2. 教学难点：（1）正切函数的单调性；（2）正切函数的周期性。
三、教学准备1. 教师准备：（1）正切函数的图像与性质的相关知识；（2）教学课件或黑板。
2. 学生准备：（1）掌握锐角三角函数的基本概念；（2）了解正切函数的定义。
四、教学过程1. 导入新课（1）复习锐角三角函数的基本概念，引导学生回顾正切函数的定义；（2）提问：你们认为正切函数的图像会是什么样的呢？2. 探究正切函数的图像与性质（1）教师展示正切函数的图像，引导学生观察并描述正切函数的图像特点；（2）学生分组讨论，探索正切函数的单调性和周期性；3. 应用拓展（1）教师提出实际问题，引导学生运用正切函数解决问题；（2）学生独立解答，分享解题思路和方法。
五、课堂小结本节课我们学习了正切函数的定义、图像与性质，通过观察图像、探索性质，我们了解了正切函数的特点。
我们还学会了如何运用正切函数解决实际问题。
希望同学们在课后继续深入学习和思考，掌握更多的数学知识。
六、教学反馈与评价1. 课堂提问：在教学过程中，教师应根据学生的回答情况，及时给予评价和反馈，鼓励学生积极参与课堂讨论。
2. 课后作业：布置有关正切函数图像与性质的练习题，要求学生在课后巩固所学知识，提高解题能力。
3. 学习评价：通过课堂表现、课后作业和小组讨论，评价学生在正切函数图像与性质方面的掌握程度。
七、教学改进1. 针对学生的掌握情况，调整教学进度和难度，以便更好地满足学生的学习需求；2. 在教学中，注重引导学生运用数形结合思想，提高学生解决问题的能力；3. 加强与学生的互动，鼓励学生提问、发表见解，提高课堂氛围。
正切函数的性质与图象教案
一、教学目标：1. 让学生理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质和图象。
2. 培养学生运用正切函数解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索正切函数的性质和图象。
二、教学内容：1. 正切函数的定义：正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值，用符号tan 表示。
2. 正切函数的性质：（1）正切函数是周期函数，周期为π。
（2）正切函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)。
（3）正切函数在区间(-π/2, π/2)上单调递增。
（4）正切函数的图象是一条连续的曲线。
3. 正切函数的图象：正切函数的图象是一条从第二象限到第四象限的曲线，经过点(π/4, 1)和(-π/4, -1)。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：正切函数的定义、性质和图象。
2. 教学难点：正切函数的性质和图象的深入理解与应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索正切函数的性质和图象。
2. 利用多媒体课件，展示正切函数的图象，帮助学生直观地理解正切函数的性质。
3. 结合具体的例子，引导学生运用正切函数解决实际问题。
五、教学步骤：1. 引入：通过讲解正切函数的定义，引导学生理解正切函数的概念。
2. 探索正切函数的性质：让学生观察正切函数的图象，引导学生发现正切函数的周期性、奇偶性和单调性。
4. 应用正切函数解决实际问题：给出具体的例子，引导学生运用正切函数解决实际问题。
六、教学评估：1. 课堂练习：设计一些有关正切函数性质和图象的练习题，让学生在课堂上完成，以检验他们对知识的掌握程度。
2. 课后作业：布置一些有关正切函数的应用题，让学生课后思考和解答，以巩固所学知识。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，让他们分享自己在学习正切函数性质和图象过程中的心得体会，以培养他们的合作能力和交流能力。
七、教学反思：在课后，对本次教学进行反思，分析学生在学习正切函数性质和图象过程中遇到的问题，以及自己的教学方法和策略是否得当。
正切函数的性质和图像教案
观
察
图像
，丰富性质
【值域】
【单调性】
对每一个 ，在开间 内，函数单调递增.
【对称性】
对称中心： ，无对称轴。
对称性由几何画板先直观演示，然后给与严格的证明。
【渐近线】
正切函数的图像是被相互平行的直线 所隔开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的。
形与数
对比正切函数的性质和图像，分析各个性质在图像上的反映，得出：函数的性质有利于画函数的图像，函数的图像是其性质的直观反映。
正切函数的性质和图像教案
教学任务分析
科目
数学
课题
必修41.4.3正切函数的性质和图像
班级
教师
教学
目标
知识技能
1、探索并掌握正切函数的性质；
2、能根据正切线画出正切函数的图象。
过程方法
1、在对正切函数已有认知的基础上，分析正切函数的性质；
2、通过已知的性质，利用正切线画出正切函数在 上图
像，得到正切曲线；
例题解析
例1.比较 的大小。
例2.求函数 的定义域。
例3.求下列函数的周期：
说明：函数 的周期 .
例4.解关于x的不等式 .
3、根据正切曲线，完善正切函数的性质。
情感态度
在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯。
重点
掌握正切函数的基本性质。
难点
利用正切函数的性质画出其图像，特别是对正切函数图像的渐近线的认识。
教学过程设计
教学过程
设计说明
复习旧知
提问1：首先我们回忆角的正切是如何定义的？
提问2：角 是任意的吗？引出正切函数的定义域。
正切函数的性质与图象优秀教学设计
正切函数的性质与图象【教学目标】知识目标：熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题；能力目标：渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法；德育目标：培养认真学习的精神。
【教学重点】正切函数的图象和性质的运用。
【教学难点】灵活应用正切函数的性质解决相关问题。
【教学模式】讲练结合【教学过程】一、复习引入：1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。
2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
二、讲解新课：例1：求下列函数的周期：（1）答：。
3tan 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭T π=（2）答：。
tan 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3T π=说明：函数的周期。
()()tan 0,0y A x A ωϕω=+≠≠T πω=例2：求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。
解：由得，233πππ+≠-k x 1853ππ+≠k x ∴所求定义域为，值域为R ，周期，是非奇非偶函⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且3π=T 数，在区间上是增函数。
()z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1853,183ππππ将图象向右平移个单位，得到的图象；再将tan y x =3πtan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），就得到函数tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭13的图象。
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y例3：用图象求函数的定义域。
y 解：由 得 ，tan 0x tan x ≥利用图象知，所求定义域为，(),32k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭三、巩固与练习1．“”是“”的 既不充分也不必要 条件。
tan 0x >0x >2．与函数的图象不相交的一条直线是（ D ）tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2A x π=()2B x π=-()4C x π=()8D x π=3．函数 。
高中数学必修四《正切函数的性质和图象》优秀教学设计
1.4.3 正切函数的性质和图象一．学习目标1、掌握正切函数的性质及其应用2、理解并掌握作正切函数图象的方法；3二、复习引入 （1）画出下列各角的正切线：三.探究新知 探究一 ）1、利用正切函数的定义xy=αtan 2、正切函数的周期性：由诱导公式()=+πx tanx R ∈且,2x k k Z ππ≠+∈， 可知 ,函数tan y x =（,2x k k Z ππ≠+∈）是 函数，且它的周期是 ．3、正切函数的奇偶性：由诱导公式tan()x -= x R ∈且,2x k k Z ππ≠+∈，所以正切函数tan y x =（,2x k k Z ππ≠+∈）是 函数．4、正切函数的单调性由图（Ⅰ）、（Ⅱ）正切线的变化规律可以得出，正切函数在(,)22ππ-内是 函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间 内都是增函数． 5、 正切函数的值域由图（Ⅰ）可知，当x 大于2π-且无限接近于2π-时，正切线AT 向y 轴的负方向无限延伸；由图（Ⅱ）可知，当x 小于2π且无限接近于2π时，正切线AT 向y 轴的正方向无限延伸．因此，tan y x =在(,)22ππ-内可以取任意实数，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是 ．探究二 正切函数的图像1.复习如何用正弦线作正弦函数图象，类比可不可以用正切线作正切函数tan y x = 的图象？2．利用正切线画出tan y x =，x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的图象：3．根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数tan y x =，x R ∈且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”．4、如何快速作出正切函数的简图？（三点两线法）5、根据图像讨论验证正切函数的性质。
四、新知运用例1.求函数tan()23y x ππ=+的定义域、值域、周期和单调区间. 例2.比较下列每组数的大小（1）tan138与tan143 （2）tan （411π-）与tan （513π-） 例3.解不等式3tan ≥x五、课堂练习1、求函数y=tan3x 的定义域，值域，周期，单调区间。
正切函数的性质与图像教学优秀教案
1.4.3正切函数的性质与图象一、教材分析：本节课前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。
研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。
正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。
本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程和由图象获得性质的过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣。
二、学情分析：本节课是研究了正、余弦函数的图象与性质后学习的，所以学生对图象和性质的研究有了一定的基础，在作图和通过图象获得性质有一定的分析能力及解决能力。
三、教学目标：知识与技能（1）掌握正切线的画法；（2）能利用单位圆中的正切线作正切函数的图象；（3）熟练根据正切函数的图象推导出正切函数的性质；（4）能熟练掌握正切函数的图象与性质；过程与方法类比正弦函数图象的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图象；能学以致用，结合图象分析得到正切函数的性质。
情感态度与价值观会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
四、教学重、难点：重点: 正切函数的性质与图象。
难点: 熟练运用正切函数的性质与图象分析问题、解决问题。
五、教学思路：【创设情境，揭示课题】1、常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,本节课以同样的方法研究正切函数的性质与图象提问1：我们在前面是如何作出正弦函数的图象？有哪些步骤？提问2：如何作出正切线？设计意图：复习旧知，引入新课。
【探究新知】1、正切函数y ＝tanx 的图象（1）请同学们类比正弦函数图象的画法，分组利用正切线作出函数x y tan =在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ的图象。
正切函数的性质与图象 说课稿 教案 教学设计
正切函数的性质与图象●三维目标1．知识与技能(1)会用单位圆中的正切线作正切函数的图象，会用描点法作正切函数的简图．(2)会用正切函数的性质研究正切函数的图象．2．过程与方法(1)理解并掌握作正切函数图象的方法．(2)理解用函数图象解决有关性质问题的方法．3．情感，态度与价值观通过对正切函数从性质到图象，从图象到性质的探究学习，培养学生探索精神和创新思维．●重点、难点重点：正切函数的图象及其主要性质(包括周期性、奇偶性、单调性、值域、定义域)；深化研究函数性质的思想方法．难点：正切函数图象作法及其性质应用．●教学建议一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教科书采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．这样处理，主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．1．需要注意的几个问题在教学中除了要注意上一小节提到的类似问题外，还要注意：(1)对正切函数的周期性，教科书是分步骤完成的．先由诱导公式说明，正切函数是周期为π的周期函数．然后在研究了它的图象之后，再从图象上观察出这一结论．关于证明，可让学有余力的学生课外完成．(2)由于研究正切函数的性质时，学生还没有学习正切函数的图象，所以教科书采取了用单位圆上的正切线来研究单调性和值域．这可以让学生再次体会单位圆在研究三角函数时的作用．(3)由于学生已经有了利用单位圆中的正弦线作正弦函数图象的经验，所以教科书要求学生类比正弦函数图象的作法画出正切函数的图象．教学中，还可鼓励学生利用信息技术工具画出正切函数的图象(见本节的“信息技术应用”)．(4)学生在初次接触正切函数的图象时，对“它是由被互相平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无数多支曲线组成”，以及“直线x ＝π2＋k π，k ∈Z是图象的渐近线”等的认识可能有困难．教学时应当引导学生利用正切函数的性质(例如定义域必须去掉x ＝π2＋k π，k ∈Z 各点，值域无最大值、最小值，周期是π，单调性表现为在每一单调区间内只增不减等)对图象的特征作出解释．(5)教学中，应引导学生在认识正切函数图象特征的前提下，学会画正切函数简图．正切曲线按照开区间…，(－3π2，－π2)，(－π2，π2)，(π2，3π2)，…分段，这些开区间的长度都等于π个单位．在每一个开区间(例如(－π2，π2))上，都有一支曲线与x 轴交于一点(如(0,0))，且与渐近线(如x ＝±π2)无限接近但永不相交．与x 轴的交点以及渐近线在确定图象的形状时起着关键作用，只要将它们画出后，这个开区间中的图象形状就基本确定了．所以这是用纸笔作图的一种简便方法．●教学流程【问题导思】1．仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，能根据正切线作出正切函数的图象吗？ 【提示】 能．2．我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图，你能类似地画出函数y ＝tan x ，x ∈[－π2，π2]的简图吗？怎样画．【提示】 能．三个关键点：(π4，1)(0,0)，(－π4，－1)，两条平行线：x ＝π2，x ＝－π2.1．正切函数的图象：图1－4－22．正切函数的图象叫做正切曲线． 3．正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．知识点2正切函数的性质【问题导思】1．正切函数的定义域是什么？【提示】 {x |x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．2．诱导公式tan(π＋x )＝tan x 说明了正切函数的什么性质？ 【提示】 周期性．3．诱导公式tan(－x )＝－tan x 说明了正切函数的什么性质？ 【提示】 奇偶性．4．从正切线上看，在(0，π2)上正切函数值是增大的吗？【提示】 是．1．函数y ＝tan x (x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z )的图象与性质见下表：解析式y ＝tan x图象定义域 {x |x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域 R 周期 π 奇偶性奇2.函数y ＝tan ωx (ω≠0)的最小正周期是π|w |.例1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．【思路探究】 由函数定义，得关于“tan x ”的不等式组，结合正切函数的性质，求x 的取值范围．【自主解答】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥01－tan x >0，即－1≤tan x <1.在x ∈(－π2，π2)时，x 的范围为[－π4，π4)．又y ＝tan x 的周期为π，∴函数的定义域为[k π－π4，k π＋π4)，k ∈Z .规律方法1．求三角函数参与构成的函数的定义域，自变量必须满足以下几个方面：(1)若函数含有tan x ，则x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)分式形式的分母不等于零．(3)偶次根式的被开方数不小于零．(4)对数式中真数大于零．2．此类问题常常归结为解三角不等式(组)问题，这时可以利用基本三角函数的图象或单位圆中的三角函数线直观地求解集． 变式训练求函数y ＝3tan x －3的定义域． 【解】 由3tan x －3≥0得tan x ≥33. 在(－π2，π2)内满足上述不等式的x 的取值范围为[π6，π2)．又y ＝tan x 的周期为π.所以所求x 的范围是{x |k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z }例2 (1)求函数y ＝3tan(π4－2x )的单调区间；(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．【思路探究】 解(1)可先用诱导公式将x 的系数化为正数，再把2x －π4看作整体，代入相应的区间，解出x 的范围；解(2)可先把角化到一个单调区间中，再利用单调性比较大小．【自主解答】 (1)原函数＝y ＝－3tan(2x －π4)，由－π2＋k π＜2x －π4＜k π＋π2，k ∈Z ，解得－π8＋k π2＜x ＜3π8＋k π2，k ∈Z .∴函数的单调减区间是(－π8＋k π2，3π8＋k π2)，k ∈Z .(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)． 又∵π2＜2＜π，∴－π2＜2－π＜0.∵π2＜3＜π，∴－π2＜3－π＜0， 显然－π2＜2－π＜3－π＜1＜π2，且y ＝tan x 在(－π2，π2) 内是增函数，∴tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1， 因此tan 2＜tan 3＜tan 1. 规律方法1．对于求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x 的系数化为正值，再由k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．2．运用正切函数的单调性比较大小的步骤： (1)运用诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系． 变式训练(1)求函数y ＝－tan(x 4－π6)的单调减区间；(2)比较tan(－134π)与tan(－125π)的大小．【解】 (1)∵y ＝－tan(x 4－π6)的单调减区间满足k π－π2＜x 4－π6＜k π＋π2(k ∈Z )，∴k π－π3＜x 4＜k π＋23π(k ∈Z )，∴4k π－43π＜x ＜4k π＋83π(k ∈Z )，∴y ＝－tan(x 4－π6)的单调减区间是(4k π－43π，4k π＋83π)(k ∈Z )．(2)tan(－134π)＝tan(－134π＋4π)＝tan(－134π＋164π)＝tan 34π，tan(－125π)＝tan(－125π＋3π) ＝tan(－125π＋155π)＝tan 35π.∵y ＝tan x 在(π2，π)内单调递增，且π2<35π<34π<π，∴tan 34π＞tan 35π.即tan(－134π)＞tan(－125π)．类型3 正切函数图象的应用例3 画出函数y ＝|tan x |【思路探究】 画y ＝tan x 图象→ y ＝|tan x |图象→研究性质 【自主解答】 由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎨⎧tan x ， k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ， －π2＋k π＜x ＜k π(k ∈Z )，其图象如图：由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 函数y ＝|tan x |的周期T ＝π.函数y ＝|tan x |的单调递增区间[k π，k π＋π2)(k ∈Z )，递减区间为(k π－π2，k π](k ∈Z )．规律方法1．可用“三点两线法”作正切函数的简图：“三点”是指点(－π4，－1)，(0,0)，(π4，1)，“两线”是指直线x ＝－π2，x ＝π2.2．为了画出函数图象，有时需对给出的函数式进行变形、化简，在变形、化简过程中一定要注意等价变形． 互动探究若把例题中“函数y ＝|tan x |”改为“函数y ＝tan|x |”，请回答同样的问题． 【解】 f (x )＝tan|x |化为f (x )＝⎩⎨⎧tan x ， x ≠k π＋π2，x ≥0(k ∈Z )－tan x ， x ≠k π＋π2，x <0(k ∈Z )根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan|x |的图象，如图所示：由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为[0，π2)，(k π＋π2，k π＋32π)(k ∈N )；单调减区间为(－π2，0]，(k π－32π，k π－π2)(k ＝0，－1，－2，…)． 易错易误辨析误认为正切函数在定义域内是增函数致误典例 关于正切函数的单调性，有下列命题：①正切函数y ＝tan x 是增函数；②正切函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数；③正切函数y ＝tan x 在每一个开区间(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )内是增函数； ④正切函数y ＝tan x 在(0，π2)∪(π2，π)上是增函数． 其中正确的是________(填序号)．【错解】 正切函数在定义域上是递增的，是增函数．【答案】 ②③④【错因分析】 不能正确理解每个区间段内递增，与整个定义域内是否为增函数的联系．【防范措施】 正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数． 【正解】 (1)正切函数在定义域内不是增函数，如x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2；(2)正切函数在每一个开区间内图象从左向右是上升的，故③正确；(3)令x 1＝π4，x 2＝34π，虽有x 1<x 2，但tan x 1>tan x 2，故④错误．从而正确的命题只有③.【答案】 ③课堂小结1．正切函数的图象：正切曲线有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z . 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质：(1)函数y ＝tan x 的定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，值域为R .(2)函数y ＝tan x 的最小正周期为π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为π|ω|.(3)正切函数在整个定义域内不具有单调性，但在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上递增，正切函数无单调减区间．。
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《正切函数的性质与图像》的教学设计
一.教材分析
1.地位与作用
《正切函数的性质与图像》是高中《数学》必修4第一章第四节内容。
在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升。
2.教材处理
教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以提问的方式，让学生回忆如何由正弦线得到正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。
设计问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。
我把空间留给学生，采用让学生自己设计一个得到正切曲线的方法。
这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力。
二．学情分析
通过对正弦函数图像与性质的研究，学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。
但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，比如定义域，函数区间等问题。
这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。
三．教学目标确定
正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。
本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：
1.知识目标：
1）、能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像。
2）、熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质。
3）、掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2. 能力目标：
1）、通过类比，联系正弦函数图像的作法
2）、能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。
3、德育目标：
使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
4.重点与难点
重点：正切函数的图象及其主要性质。
难点：熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题
教学模式：启发、探究式发现教学.
四．流程设计
（一）.复习引入：
（1）问题：如何用正弦线作正弦函数图像呢？
（2）类比：利用正切线得到正切函数x y tan 的图像
（二）. 讲解新课：
1、探究用正切线作正切函数图像
探究1、正切函数的定义域
探究2、正切函数是不是周期函数？
探究3、正切函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈+≠∈=z k k x R x x y ,2,tan ππ且是否具有奇偶性 探究4、作一个周期内的图像，先作哪个区间上的图像呢？
设计意图：通过对问题的讨论，一步步先了解正切函数的性质，以及在画正切函数图像时要注意的细节问题。
2．作tan y x =，x ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2,2ππ的图象 课件展示作图过程。
目的是规范作图，理顺思路的作用，并画出在定义域上的图象。
3、根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
4、正切函数的性质 （学生小组讨论，看图像填表）
（1）、作图
一组总结后，其它各小组补充或改正。
培养学生之间的团结协作能力及勇于探索的精神。
（三）、课堂例题
例1、求下列函数的周期（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42tan 3πx y （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42
1tan 3πx y 设计意图：根据题目T x A y 的最小正周期由此总结函数)tan(ϕω+= ϖπ=
例2、求函数区间，对称中心的定义域、周期和单调⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx y 设计意图：把简单三角函数的性质应用于复合函数，灵活应用正切函数的性质，
进一步熟悉换元法，
例3、写出满足下列条件的x 的值的范围
1tan 1>x ）（ 3tan 2≤x ）
（ 设计意图：利用函数正切函数图像解题，活学活用。
（四）、巩固与练习
1、求函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的单调性、周期性； 2、变式：求函数的单调区间⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=42
1tan 3πx y （五）.课堂总结：
1.正切函数的图像。
2.正切函数tan y x =的性质。
设计意图：由学生自己小结，提高课堂45分钟的有效教学，让学生养成好的学习习惯，问自己今天学到什么内容。
（六）、课后作业：
1、P ．46 6、7、8、9
2、用列表的方式归纳总结正弦、余弦、正切函数的图像和性质
设计意图：今天用类比正弦函数的方法学习正切函数的性质与图像，三角函数的内容也就学完了。
通过比较是学生进一步熟悉正弦、余弦、正切函数的相同与不同。
（七）课后反思：
在本节课中我采用“类比——探究——讨论”教学法。
在学习了正弦函数图像与性质，平移正弦线得到正弦函数图像的方法类比作正切函数图像。
设计问
题让学生进一步探究正切函数的性质与图像，学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，获得对正切函数的感性认识和形成正切函数图像的了解。
通过创设问题情境，引发认知冲突，较好地调动了学生的积极性和主动性，符合新课程理念的精神．
通过多媒体显示得出函数图像。
引导学生在有限的时间内完成正切函数性质的归纳和总结，让学生思考、动手画图、课堂交流、亲身实践。
通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对正切函数图像与性质的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念。
这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研。
”的学习方法。
这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。
使学生真正成为教学的主体。
学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣。
在课堂教学中注重学生的学，让学生自己思考得到问题的答案，以至于后半段课堂时间仓促，课堂练习只能变成课后练习。
在以后的教学中会注意调节好学生的研究时间。