《3.1.1两角和与差的余弦》课件2-优质公开课-苏教必修4精品
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苏教版高中数学必修四两角和与差的余弦(2)课件
＝cos
π 4cos
6π－sin
π 4sin
6π＝
6－ 4
2 .
(2)原式＝cos(105°－15°)＝cos 90°＝0.
(3)原式＝cos[(α－45°)－(15°＋α)]＝cos(－60°)＝12.
题型二 已知三角函数值求值 【例 2】 已知π2＜β＜α＜34π，且 cos(α－β)＝1123，sin(α＋β)＝ －35，求 cos 2α 的值． [思路探索] 用已知角表示要求角，用公式求解．
【变式 2】 设 cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23且π2＜α＜π，0＜β
＜π2，求
α＋β cos 2 .
解 ∵π2＜α＜π，0＜β＜2π，
∴π4＜α－β2＜π，－4π＜α2－β＜2π，
sinα－β2＝
1－－192＝4 9 5，
cosα2－β＝
由已知 sin β－sin α＝sin γ＞0. ∵α、β、γ∈0，π2，∴β＞α，上述解答忽略了这一隐含条件 而解错．
[正解] 由已知，得 sin γ＝sin β－sin α， cos γ＝cos α－cos β. 平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1. ∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12，∴β－α＝±π3. ∵sin γ＝sin β－sin α＞0，∴β＞α，∴β－α＝3π.
提示 由题图知 P1(1,0)，P2(cos α，sin α)， P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))， P4(cos(－β)，sin(－β))． 由|P→1P3|＝|P→2P4|，得 [cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β) ＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2 展开并整理，得 2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
2013高中新课程数学(苏教版必修四)3.1.1 两角和与差的余弦 课件3
故cos(α－β) ＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
苏教版高中数学教材必修4 第3章 三角恒等变换
3.1.1两角和与差的余弦
数学理论
问题5：如何推导两角和的余弦cos(α＋β)的 公式？ cos(α＋β) ＝ cos(α － （－β） ） = cosαcos （－ β）+sinαsin（ － β） =cosαcosβ－sinαsinβ．
3.1.1两角和与差的余弦
苏教版高中数学教材必修4
第3章 三角恒等变换
3.1.1两角和与差的余弦
创设情境
y
P2
O
60º 45º
如图，向量a＝(cos45º ，sin45º ） b＝(cos60º ，sin60º )，试分别 计算a•b =|a| |b |cosθ及a•b =x1x2+y1y2，比较两次计算 的结果，你能发现什么？
苏教版高中数学教材必修4 第3章 三角恒等变换
3.1.1两角和与差的余弦
数学理论
y
P2 P1
O
问题3：如何证明
问题4：若借助于向量证明，要 构造怎样的两个向量?
x
令a＝(cosα， sinα)，b＝(cosβ，sinβ)． a•b＝|a|| b |cos(β－α)＝cos(β－α)， a •b＝cosαcosβ＋sinαsinβ，
Байду номын сангаас
两角差的余弦公式 cos(α － β)＝cosαcosβ+sinαsinβ 两角和的余弦公式 cos(α+β)＝cosαcosβ － sinαsinβ
苏教版高中数学教材必修4 第3章 三角恒等变换
3.1.1两角和与差的余弦
例题讲解
例1．利用两角和（差）的余弦公式证明下列 诱导公式： （1）cos(－α)＝sinα； （2）sin(－α)＝cosα．
苏教版必修4全套教学案--3.1.1两角和与差的余弦.doc
，求 cos(a + 0)的值.(l)C OS ［课 题］:3. 1.1两角和与差的余弦［知识摘记］1. 两角差的余弦公式2. 两角和的余弦公式［例题解析］例1 .利用两角和(差)的余弦公式证明下列诱导公式:例2.利用两角和(差)的余弦公式.求cos75°,cos 15°,sin 15°,tan 15°.例 3.已知 sin a =—,a e 思考：你能求出sin(a + 0)吗?例4.已知锐角a, ［3满 3 cosa= —5 cos (a+卩)=-看求 C0S P °71a 2 =sin a［练习与反思］课本练习1, 2, 3 反思：9、已知锐角a. 0满足cos0 =3V1010sin a =(1) cos(a —0)(2) G +［课外作业］1、cos255°的值是 __________________2、cos ------ A/3 sin —的值是 ___________________12 123、已知0,0均为锐角，COS(G+0)= —U, COSQ=丄,，则角0为 ____________'丿14 73 54、在AASC 中，sin A =-,cos5 =—,那么cos C 的值为_____________________5 135、cos 24° - cos 36° - sin 24° - cos54°的值等于_____________6、在AABC 中，若sinAsinB<cosAcosB,则AABC —定为___________ 三角形7、cos(&-35。
)cos(25。
+o) + sin(a-35o) sin(25。
+a) = __________________________Q古sin 10° - V3 cosl0°8>求值：-------------------cos40°10、已知cos。
高中数学第3章3.1.1两角和与差的余弦精品课件苏教必修4.ppt
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆 上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数． 2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ ____x_1x_2_＋__y_1_y2_____.
知新益能
1．两角和与差的余弦公式 (1)两角差的余弦公式： C(α－β)：cos(α－β)＝_c_o_s_α_c_o_sβ_＋__s_i_n_α_s_in_β_._ (2)两角和的余弦公式： C(α＋β)：cos(α＋β)＝_c_o_s_α_c_o_sβ_－__s_i_n_α_s_in_β_._
自我挑战 1 (1)已知 cos(α－β)＝13，求(sinα＋ sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2 的值； (2)化简 sin75°cos34°＋sin15°cos56°.
解： (1)(sinα＋ sinβ)2＋ (cosα＋ cosβ)2＝ sin2α＋ 2sinαsinβ＋sin2β＋cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝2 ＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝2＋2cos(α－β)＝2＋
例3 (本题满分 14 分)已知 sinθ＝－1123，θ 是 第三象限角，求 cos(π6＋θ)的值．
【思路点拨】 由sinθ求出cosθ
→ 两角和的余弦公式展开 → 代入求出
【规范解答】 ∵sinθ＝－1123，θ 是第三象限角，
∴cosθ＝－ 1－sin2θ＝－153，10 分
∴cos(π6＋θ)＝cosπ6cosθ－sinπ6sinθ＝ 23cosθ－12 sinθ
＝ 23×(－153)－12×(－1123)＝12－265
3 .14
分
【名师点评】 已知 α、β 角的某种三角函数值， 求 α±β 的余弦或正弦，先根据平方关系求出 α、 β 的另一种三角函数值，求解过程中要注意根据 角的范围判断所求三角函数值的符号，然后代 入公式求解．
《3.1.1两角和与差的余弦》课件4-优质公开课-苏教必修4精品
法
分
析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
SJ·数学 必修4
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
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易 错 易 误 辨 析
堂 双
案
基
设 计
(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)；
达 标
课
cos 7°－sin 15°sin 8°
前 自
(2)
cos 8°
.
课 时
主
作
导 学
【思路探究】 (1)将 α－35°，25°＋α 分别视为一个角， 业
课 逆用公式可得解．
教
堂
师
互 动
(2)由 7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决．
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
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数学：3.1《两角和与差的正弦、余弦、正切公式3》课件(苏教版必修4)
cos90 0
1 tan15 tan 45 tan15 （3） tan 45 15 1 tan15 1 tan 45 tan15 tan 60 3
练习：
tan12 tan33 1、 求 值。 0 0 1 tan12 tan33
S : sin sin cos cos sin
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
S : sin sin cos cos sin
sin sin cos() cos sin()
2
的两个根为 tan α, tan β , 求 tan α β 的值.
解：由a 0和一元二次方程根与系 数的关系，可知
b b b tan tan a tan c 1 tan tan a c c a 1 a
b t an t an , a t an t an c , a
3 tan tan 1 4 4 tan 7 4 1 tan tan 3 1 4 4
例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值
（1） sin 72 cos 42 cos72 sin 42
tan tan 1 tan tan
两角差的正切公式
Tα-β
tan tan tan( ) 1 tan tan
公式成立的条件是：
π π α β kπ ，α kπ , 2 2
π β kπ 2
例1、已知
3 sin , 5
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设A，B为锐角△ABC的两个内角，
向 量 a ＝ (2cos A,2sin A) ， b ＝ (3cos B,3sin B)．若a，b的夹角为60°，求A －B的值．
解：∵a＝(2cos A,2sin A)，b＝(3cos B,3sin B)， ∴|a|＝2，|b|＝3， 又 a，b 的夹角为 60° ， ∴a· b＝|a||b|cos 60° ＝2cos A· 3cos B＋2sin A· 3sin B，
，然后逆用公式求值．
探究点3
• 计算：(1)cos(－15°)；
给角求值
• (2)cos 80°cos 35°＋cos 10°cos 55°.
【解】 (1)法一：原式＝cos(30°－45°) ＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° 3 2 1 2 6＋ 2 ＝ × ＋× ＝ . 2 2 2 2 4
角函数值有一定关系，观察下表中的数据
，你有什么发现？ cos(60 cos60 cos30 sin60 sin3 °－ 0° ° ° ° 30°) 1 1 3 3 3 2 2 2 2 2 cos(12 cos120 cos60 sin120 sin60 0°－ ° ° ° ° 60°) 1 1 1 3 3 1 2 2 2 2 2
2
想一想 一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
•
探究点1
两角差的余弦公式
cos(α－β)＝
公式
cos αcos β ＋ sin αsin β __________________
_____ 简记 符号
C(α－β)
α，β为任意角
使用
条件
探究点2 由三角函数值求角
探究点3
法二：原式＝cos 15° ＝cos(45° －30° ) ＝cos 45° cos 30° ＋sin 45° sin 30° 2 3 2 1 6＋ 2 ＝ × ＋ ×＝ . 2 2 2 2 4
给角求值
(2)原式＝cos 80° cos 35° ＋sin 80° sin 35° ＝cos(80° －35° ) 2 ＝cos 45° ＝ . 2
y α＝2kπ＋β＋θ或β＝2kπ＋α＋θ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ O A θ α B β
x
课堂练习 若cosα＋cosβ＝a，sinα＋sinβ＝b，则cos(α
－β)等于什么？
a b 2 cos( ) 22 2课堂练习 y源自1 P1 Asin
P
cos
C
B
O
M 1
x
cos cos
+
sin sin
课堂小结
1．两角差的余弦公式中，α、β可以是单个角，也可以是两个角的和或差 ，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体． 2．在两角差的余弦公式的求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式
探究点2 由三角函数值求角
1 ∴2×3× ＝6cos(A－B)， 2 1 ∴cos(A－B)＝ . 2 ∵A、B 为锐角， π π ∴－ <A－B< ， 2 2 π ∴A－B＝± . 3
探究点2 由三角函数值求角
• 【点评】
解这类问题一般分三步：
第一步，求角的某一三角函数值； 第二步，确定角所在的范围；第三 步，根据角的范围写出所求角．
第三章 三角恒等变换
《3.1.1 两角和与差的余弦课件2》 课件
高中数学必修4· 同步课件
学习目标
1.通过实例理解两角差的余弦公式的推导过
程。
2掌握两角差公式的运用
引入课题
思考1：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么
？ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
引入课题 思考 2：我们设想cos(α－β)的值与α，β的三
探究点3
【点评】
给角求值
(1) 对于角度大的式子的化简问题，应先
根据诱导公式将角度化小 ( 一般是化成锐
角 )．
(2) 在应用差角的余弦公式求值时，逆用
公式是十分常见的，要注意培养这种能力
．
典型例题
uuu r uuu r OA × OB 等于什么？由此可得什么结论？ 义，
向量与的夹角θ与α、β有什么关系？根据数量积定
向 量 a ＝ (2cos A,2sin A) ， b ＝ (3cos B,3sin B)．若a，b的夹角为60°，求A －B的值．
解：∵a＝(2cos A,2sin A)，b＝(3cos B,3sin B)， ∴|a|＝2，|b|＝3， 又 a，b 的夹角为 60° ， ∴a· b＝|a||b|cos 60° ＝2cos A· 3cos B＋2sin A· 3sin B，
，然后逆用公式求值．
探究点3
• 计算：(1)cos(－15°)；
给角求值
• (2)cos 80°cos 35°＋cos 10°cos 55°.
【解】 (1)法一：原式＝cos(30°－45°) ＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° 3 2 1 2 6＋ 2 ＝ × ＋× ＝ . 2 2 2 2 4
角函数值有一定关系，观察下表中的数据
，你有什么发现？ cos(60 cos60 cos30 sin60 sin3 °－ 0° ° ° ° 30°) 1 1 3 3 3 2 2 2 2 2 cos(12 cos120 cos60 sin120 sin60 0°－ ° ° ° ° 60°) 1 1 1 3 3 1 2 2 2 2 2
2
想一想 一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
•
探究点1
两角差的余弦公式
cos(α－β)＝
公式
cos αcos β ＋ sin αsin β __________________
_____ 简记 符号
C(α－β)
α，β为任意角
使用
条件
探究点2 由三角函数值求角
探究点3
法二：原式＝cos 15° ＝cos(45° －30° ) ＝cos 45° cos 30° ＋sin 45° sin 30° 2 3 2 1 6＋ 2 ＝ × ＋ ×＝ . 2 2 2 2 4
给角求值
(2)原式＝cos 80° cos 35° ＋sin 80° sin 35° ＝cos(80° －35° ) 2 ＝cos 45° ＝ . 2
y α＝2kπ＋β＋θ或β＝2kπ＋α＋θ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ O A θ α B β
x
课堂练习 若cosα＋cosβ＝a，sinα＋sinβ＝b，则cos(α
－β)等于什么？
a b 2 cos( ) 22 2课堂练习 y源自1 P1 Asin
P
cos
C
B
O
M 1
x
cos cos
+
sin sin
课堂小结
1．两角差的余弦公式中，α、β可以是单个角，也可以是两个角的和或差 ，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体． 2．在两角差的余弦公式的求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式
探究点2 由三角函数值求角
1 ∴2×3× ＝6cos(A－B)， 2 1 ∴cos(A－B)＝ . 2 ∵A、B 为锐角， π π ∴－ <A－B< ， 2 2 π ∴A－B＝± . 3
探究点2 由三角函数值求角
• 【点评】
解这类问题一般分三步：
第一步，求角的某一三角函数值； 第二步，确定角所在的范围；第三 步，根据角的范围写出所求角．
第三章 三角恒等变换
《3.1.1 两角和与差的余弦课件2》 课件
高中数学必修4· 同步课件
学习目标
1.通过实例理解两角差的余弦公式的推导过
程。
2掌握两角差公式的运用
引入课题
思考1：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么
？ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
引入课题 思考 2：我们设想cos(α－β)的值与α，β的三
探究点3
【点评】
给角求值
(1) 对于角度大的式子的化简问题，应先
根据诱导公式将角度化小 ( 一般是化成锐
角 )．
(2) 在应用差角的余弦公式求值时，逆用
公式是十分常见的，要注意培养这种能力
．
典型例题
uuu r uuu r OA × OB 等于什么？由此可得什么结论？ 义，
向量与的夹角θ与α、β有什么关系？根据数量积定