【课堂新坐标】高中数学苏教版选修1-1练习：3.3.3最大值与最小值
2019年苏教版高一数学选修1-1同步课堂精练：3.3.3 最大值与最小值 Word版含答案
1．给出下列四个命题：①若函数f (x )在上有最大值，则这个最大值一定是上的极大值；②若函数f (x )在上有最小值，则这个最小值一定是上的极小值；③若函数f (x )在上有最值，则最值一定在x ＝a 或x ＝b 处取得；④若函数f (x )在(a ，b )内连续，则f (x )在(a ，b )内必有极大值与最小值．其中真命题的个数是__________．2．函数f (x )＝x －sin x 在上的最大值为__________．3．函数f (x )＝x 3＋在(0，＋∞)上的最小值为__________．3x4．函数在上的最小值为__________．ln ()xf x x=5．设f (x )，g (x )是定义在上的可导函数，且f ′(x )＞g ′(x )．令F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )的最小值为______．6．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )．若f ′(－1)＝0，则函数f (x )在上的最大值为__________，最小值为__________．7．在区间上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋在同一点取得相同的最小1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦21x 值，则p ＝________，q ＝________.8．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为__________．9．(2012重庆高考，文17)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在上的最小值．10．设函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝a 2x 2，是否存在正实数a ，使f (x )≤g (x )对一切正实数x 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案1.答案：0 解析：由函数极值最值的概念与关系得都是假命题.2.答案：π 解析：∵f ′(x )＝1－cos x ，∴当x ∈时，f ′(x )≥0.∴f (x )在上递增.∴f (x )ma x ＝f (π)＝π.3.答案：4 解析：f ′(x )＝3x 2－＝.23x 2213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭令x 2－＝0，解得x ＝±1.21x ∵x ＞0，∴x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0，∴当x ＝1时，f (x )取得极小值，也为最小值，故f (x )min ＝f (1)＝4.4.答案：0 解析：f ′(x )＝，令f ′(x )＝0，得x ＝e ，21ln xx-列表：x 1(1，e)e (e ，e 2)e 2f ′(x )＋0－f (x )A极大值1eA22e ∴f (x )的最小值为0.5.答案：f (a )－g (a ) 解析：∵f ′(x )＞g ′(x )，∴f ′(x )－g ′(x )＞0.∴在x ∈上，F ′(x )＞0.∴F (x )在上递增.∴F (x )min ＝F (a )＝f (a )－g (a ).6.答案： 解析：由原式可得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2－2ax －4.925027-由f ′(－1)＝0得，此时12a =f (x )＝x 3－x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.12令f ′(x )＝0，得x ＝－1或.43x =又f (－1)＝，，92450327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f (－2)＝f (2)＝0，所以函数f (x )在上的最大值为，最小值为.925027-7.答案：－2 4 解析：依题意，得g ′(x )＝2－.32x 令g ′(x )＝0，得x ＝1.∵g (1)＝2＋1＝3，，，152g ⎛⎫=⎪⎝⎭17(2)4g =∴当x ＝1时，g (x )取得最小值3.∵1∈且1不是区间的端点，1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴x ＝1是f (x )＝x 2＋px ＋q 的对称轴，∴，，解得p ＝－2，q ＝4.12p-=2434q p -=8. 解析：当x ＝t 时，|MN |＝|f (t )－g (t )|＝|t 2－ln t |，令φ(t )＝t 2－lnt ，∴φ′(t )＝2t －＝.1t221t t -可知t ∈时，φ(t )单调递减；⎛ ⎝t ∈时，φ(t )单调递增，⎫+∞⎪⎪⎭∴φ(t )最小，其最小值为，这时|MN |取最小值.t =111ln 20222-=+>9.答案：解：(1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ，由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有(2)0,(2)16,f f c '=⎧⎨=-⎩即化简得120,8216,a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩120,48,a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ；f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2).令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数.由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得极小值f (2)＝c －16.由题设条件知16＋c ＝28得c ＝12.此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在上的最小值为f (2)＝－4.10.答案：解：假设存在正实数a 使f (x )≤g (x )对一切正实数x 都成立.令F (x )＝f (x )－g (x )＝ax ＋ln x －a 2x 2(x ＞0)，则ma x ≤0.因为F ′(x )＝a ＋－2a 2x ＝，1x2212ax a x x +-令F ′(x )＝0，即2a 2x 2－ax －1＝0，解得或(舍).1x a =12x a=-当时，F ′(x )＜0，F (x )为减函数；1x a>当0＜x ＜时，F ′(x )＞0，F (x )为增函数.1a所以ma x ＝≤0，11ln F a a ⎛⎫=⎪⎝⎭解得a ≥1，故a 的取值范围为[1，＋∞).。
2019-2020学年高中数学苏教版选修1-1作业：第3章3.3.3 最大值与最小值 Word版含解析
[基础达标]1．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在[－3,0]上的最大值，最小值分别为________．解析：f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝1，f (－3)＝－17，f (－1)＝3，f (1)＝－1，f (0)＝1.比较可得f (x )max ＝f (－1)＝3，f (x )min ＝f (－3)＝－17.答案：3，－172．函数f (x )＝x ln x 在(0，＋∞)上的最小值为________．解析：f ′(x )＝(x ln x )′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1.由f ′(x )>0，得x >1e；由f ′(x )<0，得x <1e .∴f (x )＝x ln x 在x ＝1e 处取得极小值f (1e )＝－1e ，∴－1e就是f (x )在(0，＋∞)上的最小值．答案：－1e3．函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0，π2]上的最大值是________．解析：令y ′＝1－2sin x ＝0，得x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝π6＋ 3.答案：π6＋ 34．若函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝2ax ＋4，由f (x )在[0,2]上有最大值f (2)，则要求f (x )在[0,2]上单调递增，则2ax ＋4≥0在[0,2]上恒成立．当a ≥0时，2ax ＋4≥0恒成立；当a <0时，要求4a ＋4≥0恒成立，即a ≥－1.∴a 的取值范围是a ≥－1.答案：a ≥－15．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3， 经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，因为不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.答案：m ≥326．函数f (x )＝ax 4－4ax 2＋b (a >0,1≤x ≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a ＝________，b ＝________.解析：令f ′(x )＝4ax 3－8ax ＝4ax (x 2－2)＝0， 得x 1＝0，x 2＝2，x 3＝－ 2. 又∵1≤x ≤2，∴x ＝ 2. 又f (1)＝a －4a ＋b ＝b －3a ，f (2)＝16a －16a ＋b ＝b ， f (2)＝b －4a ，∵a >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＝－5，b ＝3，∴a ＝2，b ＝3.答案：2 37．已知函数f (x )＝x 3－3x .(1)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－3，32上的最大值和最小值； (2)过点P (2，－6)作曲线y ＝f (x )的切线，求此切线的方程．解：(1)f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈[－3，－1)或x ∈⎝⎛⎦⎤1，32时，f ′(x )>0， ∴[－3，－1)，⎝⎛⎦⎤1，32为函数f (x )的单调增区间； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，∴[－1,1]为函数f (x )的单调减区间． 又因为f (－3)＝－18，f (－1)＝2，f (1)＝－2，f ⎝⎛⎭⎫32＝－98， 所以当x ＝－3时，f (x )min ＝－18； 当x ＝－1时，f (x )max ＝2.(2)设切点为Q (x 0，x 30－3x 0)，则所求切线方程为y －(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(x －x 0)，由于切线过点P (2，－6)，∴－6－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(2－x 0)，解得x 0＝0或x 0＝3；所以切线方程为y ＝－3x 或y ＋6＝24(x －2)，即为3x ＋y ＝0或24x －y －54＝0.8．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1＋∞)上是减函数，又f ′(12)＝32.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[0，m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由已知f ′(0)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝－32a .∴f ′(x )＝3ax 2－3ax ， ∴f ′(12)＝3a 4－3a 2＝32，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2x 3＋3x 2. (2)令f (x )≤x ， 即－2x 3＋3x 2－x ≤0， ∴x (2x －1)(x －1)≥0，∴0≤x ≤12或x ≥1.又f (x )≤x 在区间[0，m ]上恒成立，∴0<m ≤12.故m 的取值范围是(0，12]．[能力提升]1．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间[1，＋∞)上一定有________(填最大或最小值)．解析：由函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，可得a 的取值范围为a <1.g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x －2a ，则g ′(x )＝1－a x 2.易知在x ∈[1，＋∞)上g ′(x )>0，∴g (x )为增函数，故g (x )在区间[1，＋∞)上一定有最小值．答案：最小值2．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4.所以，g (x )在区间(0，12]上单调递增，在区间[12，1]上单调递减．因此，g (x )max ＝g (12)＝4，从而a ≥4；当x <0，即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g (x )在区间[－1,0)上单调递增， 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4. 所以a ＝4. 答案：43．设函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b,0<a <1.(1)求函数f (x )的单调区间、极值；(2)若x ∈[0,3a ]，试求函数f (x )的最值．解：(1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝3a ，列表：由表可知：当x ∈(－∞，a )时，函数f (x )为减函数；当x ∈(3a ，＋∞)时，函数f (x )也为减函数；当x ∈(a,3a )时，函数f (x )为增函数．∴函数f (x )的单调减区间为(－∞，a )，(3a ，＋∞)，单调增区间为(a,3a )．当x ＝a 时，f (x )的极小值为－43a 3＋b ；当x ＝3a 时，f (x )的极大值为b .(2)x ∈[0,3a ]，列表如下：由表知：当x ∈(0，a )时，函数f (x )为减函数；当x ∈(a,3a )时，函数f (x )为增函数．∴当x ＝a 时，f (x )的最小值为－43a 3＋b ；当x ＝0或x ＝3a 时，f (x )的最大值为b .4．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.解：(1)由f (x )＝ln x ＋ke x，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x >0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)证明：因为g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，所以g (x )＝x ＋1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．因此对任意x >0，g (x )<1＋e －2等价于1－x －x ln x <e xx ＋1(1＋e －2)．由(2)知h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2)，x ∈(0，＋∞)， 因此当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增； 当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减． 所以h (x )的最大值为h (e －2)＝1＋e －2， 故1－x －x ln x ≤1＋e －2. 设φ(x )＝e x －(x ＋1)． 因为φ′(x )＝e x －1＝e x －e 0，所以当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增， φ(x )>φ(0)＝0，故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝e x－(x＋1)>0，即e xx＋1>1.所以1－x－x ln x≤1＋e－2<e xx＋1(1＋e－2)．因此对任意x>0，g(x)<1＋e－2.。
数学苏教版选修1-1课件：第3章3.3.3 最大值与最小值
“××”)
• (1)定义在闭区间[a，b]上的函数f(x)一定有
最大值和最小值．√
×
•( )
×
• (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(x) 8
• 2．函数f(x)＝x3－12x＋16，x∈[－2,3]的32 最大值是_______.
• 解析：f′(x)＝3x2－12＝0，∴x＝±2，
• 题． • f′f(′xx()x＝) 3x(2－－∞＋1，21x)＋9，10 令f(′1－,3()x)＝030 得x(＝3，＋3＋∞) • 或 当xxf＝ 变(x)1化. 时，f↗′(x)、极值f(大0x)随x↘变化值情极－小况4 如下↗
表：
28
• 又当x→＋∞时，f(x)→＋∞. • x→－∞时，f(x)→－∞. • 故f(x)的图象大致如图所示．
• 由f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3. 13
• 列表：
x 0 (0,1) 1 (1,3) 3 (3,4) 4
f′(x)
－ 0 ＋0－
f(x) 0
↘ －43 ↗
0
↘ －43
由上表可知,函数在区间[0,4]上的最大值是 0，最小值是－43.
14
• 若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区 间(a，b)上可导，则f(x)在[a，b]上必有最 大值和最小值，其最值一定在极值点处或 区间端点处取得，因此在求闭区间[a，b]上 连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值 时，可将过程简化，即不用判断导数为零
求函数的最值
求下列函数的最值： (1)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π]； (2)f(x)＝－13x3＋2x2－3x，x∈[0,4]． (链接教材 P79 例 1、例 2) [解] (1)f′(x)＝12＋cos x. 令 f′(x)＝0，解得 x＝23π 或 x＝43π. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
苏教版高中数学选修1-1第3章§3.33.3.3.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作3.3.3 最大值与最小值课时目标 1.理解函数最值的概念.2.了解函数最值与极值的区别和联系.3.会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．1．最大值：如果在函数定义域I 内存在x 0，使得对任意的x ∈I ，总有______________，则称f (x 0)为函数在______________的最大值．2．一般地，如果在区间[a ，b ]上的函数的图象是一条连续不断的曲线，那么f (x )必有最大值和最小值．此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是闭区间；(2)函数图象在区间上的每一点必须连续不间断．函数的最值是比较整个定义域的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得到的．3．一般地，求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求f (x )在(a ，b )上的________；(2)将(1)中求得的极值与f (a )，f (b )比较，得到f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值．一、填空题1．给出下列四个命题：①若函数f (x )在[a ，b ]上有最大值，则这个最大值一定是[a ，b ]上的极大值； ②若函数f (x )在[a ，b ]上有最小值，则这个最小值一定是[a ，b ]上的极小值； ③若函数f (x )在[a ，b ]上有最值，则最值一定在x ＝a 或x ＝b 处取得； ④若函数f (x )在(a ，b )内连续，则f (x )在(a ，b )内必有最大值与最小值． 其中真命题共有________个．2．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为______．3．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c ＝________. 4．若函数f (x )、g (x )在区间[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，f (a )＝g (a )，则在区间[a ，b ]上有f (x )与g (x )的大小关系为____________．5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a ＝________.6．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为________．7．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 8．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M －N 的值为________． 二、解答题9．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]；(2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]．10．已知f (x )＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈[－1,2]，f (x )－m <0恒成立，求实数m 的取值范围．能力提升11．设函数f (x )＝12x 2e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．12．若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a、b的值．1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．3．可以利用导数的实际意义，建立函数模型，解决实际生活中的最大值最小值问题．3．3.3最大值与最小值知识梳理1．f (x )≤f (x 0) 定义域上 3．(1)极值 作业设计 1．0解析 因为函数的最值可以在区间[a ，b ]的两端取得，也可以在内部取得，当最值在端点处取得时，其最值就一定不是极值，故命题①与②不真．由于最值可以在区间内部取得，故命题③也不真．对于命题④，我们只要考虑在(a ，b )内的单调函数，它在(a ，b )内必定无最值(也无极值)，因此命题④也不真．综上所述，四个命题均不真． 2.239解析 ∵f (x )＝x －x 3，∴f ′(x )＝1－3x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝±33，∵f (0)＝0，f (1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫33＝239，f ⎝⎛⎭⎫－33＝－239.∴f (x )max ＝239.3．4解析 ∵f ′(x )＝3ax 2，∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2>0，即f (x )在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20，∴c ＝4.4．f (x )≥g (x )解析 ∵f ′(x )>g ′(x )，∴f (x )－g (x )单调递增． ∵x ≥a ，∴f (x )－g (x )≥f (a )－g (a )， 即f (x )－g (x )≥0.5．－12解析 y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a＝－12或a ＝－32(舍去)．6．－1解析 f ′(x )＝1x －1＝1－x x，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x <0或x >1，∴f (x )在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数． ∴当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝－1.7. 211,22e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴f ′(x )＝e x cos x ≥0， ∴f (0)≤f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π2.即12≤f (x )≤122e π.8．20解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0， 得x ＝1，(x ＝－1舍去)．∵f (0)＝－a ，f (1)＝－2－a ，f (3)＝18－a . ∴M ＝18－a ，N ＝－2－a .∴M －N ＝20.9．解 (1)f ′(x )＝12＋cos x .令f ′(x )＝0，又∵0≤x ≤2π，∴x ＝2π3或x ＝4π3.∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝π3＋32，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2π3－32， 又∵f (0)＝0，f (2π)＝π.∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0， 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π. (2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2) ＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2. 10．解 由f (x )－m <0，即m >f (x )恒成立， 知m >f (x )max ，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13或x ＝1.因为f (－13)＝8627，f (1)＝2，f (－1)＝2，f (2)＝5. 所以f (x )的最大值为5，故m 的取值范围为(5，＋∞)．11．解 (1)f ′(x )＝x e x ＋12x 2e x＝e x 2x (x ＋2)．由ex 2x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2， ∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f (x )的增区间， 由e x2x (x ＋2)<0，得－2<x <0， ∴(－2,0)为f (x )的减区间．∴f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)； 单调减区间为(－2,0)．(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2，∵f (－2)＝2e 2，f (2)＝2e 2，f (0)＝0，∴f (x )∈[0,2e 2]，又∵f (x )>m 恒成立，∴m <0. 故m 的取值范围为(－∞，0)． 12．解 ∵f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ， ∴f ′(x )＝3ax 2－12ax .令f ′(x )＝0，解得x ＝0或4. ∵4D ∈/[－1,2]，故舍去，∴f (x )取最大值，最小值的点在x ＝－1、0、2上取得，f (－1)＝－7a ＋b ，f (0)＝b ， f (2)＝－16a ＋b .当a >0时，最大值为b ＝3， 最小值为－16a ＋b ＝－29，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，当a <0时，最大值为－16a ＋b ＝3，b ＝－29，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－29，综上所述：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－29.§3.4 导数在实际生活中的应用课时目标 通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的最值问题．1．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值． 2．解决优化问题的基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模的过程．一、填空题1．随着人们生活水平的提高，汽车的拥有量越来越多，据有关统计数据显示，从上午6 点到9点，车辆通过某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似表示为y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是________． 2．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为________． 3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________ cm.4．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________件． 5.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x 与h 的比为________．6．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系式为R ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)，80 000 (x >400).则总利润最大时，每年生产的产品件数是________．7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．8．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．二、解答题9．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？10.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？能力提升11．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)12．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤．(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)写出答案．§3.4 导数在实际生活中的应用作业设计1．8解析 由题意知，所求的量为当y 为最大值时的自变量t 的取值，y ′＝－38t 2－32t ＋36，令y ′＝0，得3t 2＋12t －36×8＝0， ∴t 1＝8，t 2＝－12(舍)．当t ∈(6,8)时．y ′>0，t ∈(8,9)时，y ′<0， 所以t ＝8时，y 有最大值．2.34V解析 设底面边长为a ，直三棱柱高为h .体积V ＝34a 2h ，所以h ＝4V3a 2，表面积S ＝2·34a 2＋3a ·4V 3a 2＝32a 2＋43Va ，S ′＝3a －43V a 2，由S ′＝0，得a ＝34V .当a ＝34V 时，表面积最小． 3.2033解析 设高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ，体积V ＝π3x ·(202－x 2) (0<x <20)，V ′＝π3(400－3x 2)，由V ′＝0，得x ＝2033或x ＝－2033(舍去)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2033时，V ′>0，当x ∈⎝⎛⎭⎫2033，20时，V ′<0，所以当x ＝2033时，V 取最大值． 4．25解析 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250 000，则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x.总利润y ＝500x －275x 3－1 200 (x >0)，y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值． 5．1∶1解析 设窗户面积为S ，周长为L ，则S ＝π2x 2＋2hx ，h ＝S 2x －π4x ，所以窗户周长L ＝πx＋2x ＋2h ＝π2x ＋2x ＋S x ，L ′＝π2＋2－Sx2.由L ′＝0，得x ＝2S π＋4，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， 2S π＋4时，L ′<0，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2S π＋4，＋∞时，L ′>0， 所以当x ＝ 2Sπ＋4时，L 取最小值，此时h x ＝2S －πx 24x 2＝2S 4x 2－π4＝π＋44－π4＝1.6．300解析 设总成本为C ，则C ＝20 000＋100x ， 所以总利润P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 (0≤x ≤400)，60 000－100x (x >400).P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x (0≤x ≤400)，－100 (x >400).令P ′＝0，得x ＝300，易知当x ＝300时，总利润最大． 7．5解析 依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离．于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝－20x 2＋45＝0得x ＝5(x ＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 8．3解析 设半径为r ，则高h ＝27ππr 2＝27r 2.∴水桶的全面积S (r )＝πr 2＋2πr ·27r 2＝πr 2＋54πr.S ′(r )＝2πr －54πr2，令S ′(r )＝0，得r ＝3.∴当r ＝3时，S (r )最小．9．解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1 (0<x <m )，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m x＋m x ＋2m －256 (0<x <m )．(2)由 (1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12m12x- ＝m2x2(32x－512)． 令f ′(x )＝0，得32x＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．10．解 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则依题意有 f (x )＝(30－x －9)·(432＋kx 2) ＝(21－x )·(432＋kx 2)， 又由已知条件24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]． (2)根据(1)，有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：马鸣风萧萧故x ＝12时，f (x )达到极大值．因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．11．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N *)， f ′(x )＝48－10 800x 2，令f ′(x )＝0得x ＝15. 当x >15时，f ′(x )>0；当0<x <15时，f ′(x )<0.因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．12．解 收入R ＝q ·p ＝q ⎝⎛⎭⎫25－18q ＝25q －18q 2. 利润L ＝R －C ＝⎝⎛⎭⎫25q －18q 2－(100＋4q ) ＝－18q 2＋21q －100 (0<q <200)， L ′＝－14q ＋21， 令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，解得q ＝84. 因为当0<q <84时，L ′>0；当84<q <200时，L ′<0，所以当q ＝84时，L 取得最大值．所以产量q 为84时，利润L 最大．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 3.3.3 最大值与最小值》1
导数在研究函数零点中的应用
朱翠教学目标：〔1〕掌握用导数研究函数零点的通性通法；〔2〕渗透转化与化归思想、分类讨论思想和数形结合思想；〔3〕激发学生学习数学的兴趣，培养学生敢于挑战的精神
教学重点与难点：用导数讨论函数的单调性
教学过程：
典型例题：〔2021全国Ⅱ卷理科21题〕
函数〔2〕假设在只有一个零点，求
小结：
练习：关于的函数
〔2〕假设函数没有零点，求实数a的取值范围
小结
变式：〔2021江苏高考第19题〕函数
〔2〕假设，函数有且只有一个零点，求的值
小结：
课堂小结：
课后赏析：
1〔2021全国Ⅰ卷理科第21题〕函数有两个零点〔1〕求的取值范围；〔2〕设是的两个零点，证明：
2〔2021江苏高考第2021函数有极值，且导数的极值点是的零点〔极值点是指函数取极值时对应的自变量的值〕〔1〕求关于的函数关系式
3〔2021全国Ⅰ卷理科第21题〕函数〔2〕假设有两个零点，求的取值范围
4〔2021全国Ⅲ卷理科第21题〕函数〔2〕假设是的极大值，求。
高级中学高中数学(苏教版)选修1-1导学案：3.3.3最大值与最小值
学科：数学 年级：高二 课题：1-1文科 3.3.3极大值与极小值主备人： 学生姓名： 得分：一、教学内容：导数（第九课时）3.3.3最大值与最小值二、教学目标：1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f(x)在闭区间[a ，b]上所有点（包括端点a ，b ）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．三、课前预习1．问题情境．函数极值的定义是什么？2．求函数f(x)的极值的步骤．3. 求函数43()f x x x =-的极值．四、新课教学1．函数的最大值和最小值定义：观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象． 图中)(1x f ,35(),()f x f x 是极小值，24(),()f x f x 是极大值． 函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． 如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的；(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．2．利用导数求函数的最值步骤：由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(xf在[]b a,上连续，在(,)a b内可导，则求)(xf在[]b a,上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(xf在(,)a b内的极值；（2）将)(xf的各极值与)(af、)(bf比较得出函数)(xf在[]b a,上的最值．3、有关例题例1求函数f(x)＝x2－4x＋3在区间[－1，4]内的最大值和最小值．例2求函数f(x)＝12x＋sinx在区间[0，2π]上的最值．例3．已知函数f(x)＝2x＋ln x.(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图像在g(x)＝23x3＋12x2的下方．五、课堂练习2.求下列函数的最大值与最小值：（1）];3,1[,23)(-∈+=x x x f （2）];3,31[,1)(∈+=x x x x f3.求函数,(0,1]x y e x x =-∈的值域. 六、课堂小结七、课后作业1.求下列函数在所给区间上的最大值与最小值：（1）]2,0[,21∈+-=x x x y ； （2）]2,2[,cos 21ππ-∈-=x x x y2.求下列函数的值域：（1）]3,1[,11∈++=x x x y ； ；（3）22ln y x x =-3．已知函数f(x)＝ax2＋bln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f(x)的单调性并求出单调区间．。
【精品】高中数学苏教版选修1-1课件：3.3.3最大值与最小值课件(11张)1
极大值与极小值统称为极值.
回顾练习
求函数
f(x) = x3
3∙x2 + 5
的极值
画出上述函数的图象（简图）
3 3 2 2 求函数 f ( x ) x 3 x 5 , x 2 , 1 的值 求函数 f ( x ) x 3 x 5 的值域
如何求函数的最值?
(1)利用函数的单调性;
如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值.
(2)利用函数的图象; 如:求y=x2-4x+3在区间[-1,4]上的最值.
(3)利用函数的导数
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下， 怎样才能求出最小值，最大值呢？
利用导数求函数f(x)在区间[a,b] 上最值的步骤: (1)求f(x)在区间[a,b]内极值 (极大值或极小值) (2) 将 y=f(x) 的各极值与 f (a) 、 f(b) 比较，其中最大的一个为最大 值，最小的一个为最小值
(1)求f(x)在区间[a,b]内极值
(极大值或极小值) (2) 将 y=f(x) 的各极值与 f (a) 、
f(b) 比较，其中最大的一个为最大
值，最小的一个为最小值
当x变化时, y, y 的变化情况如下表: 0
f ( x)
0
2 (0, ) 3
2 3
(
2 4 , ) 3 3
4 3
(
4 , 2 ) 3
2
+
0
3 3 2
-
0
2 3 3 2
ห้องสมุดไป่ตู้
+
从上表可知,最大值是π,最小值是0.
课堂练习
课本 P91 练习 No.4、5.
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 3.3.3 最大值与最小值》9
探究二：求函数 的极值．
任务三：掌握运用导数求函数的最值的方法
利用导数求函数的最值步骤：
设函数 在 上连续，在 内可导，则求 在 上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求 在 内的极值；
（2）将 的各极值与 、 比较得出函数 在 上的最值．
探究三：设 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a＞b，求a，b的值．
【课堂小结】通过本节课的学习，你学到了哪些知识？能解决哪些问题？本节课我们还用到了哪些数学思想方法？
【总体记悟】能熟练运用导数研究函数的性质。
【评价】
【作业练习】
1．确定下列函数的单调区间：
（1）＝3－92＋24；（2）＝－3．
2求下列函数的极值：
（1）＝3－27； ．
3．已知方程 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围．
主题：导数在研究函数中的应用
课时数
1课时
授课者
学习目标
1．掌握运用导数方法判断函数的单调性；
2．掌握求可导函数的极值的步骤；
3．掌握利用导数求函数的最值的方法．
评价任务
1．能够理解并掌握运用导数方法判断函数的单调性；
2．能够理解并掌握求可导函数的极值的步骤；
3．能够运用导数求函数的最值．来自自学过程复习回顾
（1）如何运用导数方法判断函数的单调性；
（2）求可导函数的极值的一般步骤有哪些；
（3）如何利用导数求函数的最值．
自主解答
1.确定函数 的单调区间。
2.求函数 的极值．
3.
课中过程
第一课时
教学过程
任务一：理解并掌握运用导数方法判断函数的单调性
导数与函数的单调性的关系：
一般地，对于函数＝f（），
2016-2017学年高中数学苏教版选修1-1学业分层测评3.3.3 最大值与最小值 含解析
学业分层测评(十九）最大值与最小值（建议用时:45分钟）［学业达标］一、填空题1。
已知函数f(x）＝x3－3x，|x|≤1,f(x）的最小值为________。
【解析】f′(x)＝3x2－3＝3（x＋1）(x－1)，当x∈［－1,1]时,f′(x)≤0,所以f（x）在[－1，1]上是单调递减函数,f(x）的最小值为f（1）＝－2.【答案】－22。
(2016·徐州高二检测）函数y＝错误!在［0，2］上的最大值是________。
【解析】由f（x）＝错误!得f′（x）＝错误!,当x∈［0,1］时,f′(x）＞0，f(x)单调递增，当x∈（1,2］时，f′(x）＜0，f（x)单调递减，∴当x＝1时，函数取得最大值f(1）＝错误!。
【答案】错误!3。
函数y＝x－sin x，x∈错误!的最大值是________.【解析】因为y′＝1－cos x，当x∈错误!时，y′＞0，则函数y在区间错误!上为增函数,所以y的最大值为y max＝π－sin π＝π。
【答案】π4.（2016·无锡高二检测）函数f(x)＝错误!＋x(x∈［1，3］）的值域为________。
【解析】f′（x)＝－错误!＋1＝错误!，所以在［1，3］上f′（x)＞0恒成立,即f（x）在[1，3]上单调递增，所以f（x）的最大值是f(3）＝错误!，最小值是f（1)＝错误!.故函数f（x)的值域为错误!。
【答案】错误!5。
已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为错误!，则a 等于________。
【解析】当a≤－1时，最大值为4，不合题意，当－1＜a＜2时，f（x）在[a,2]上是减函数，f(a)最大,－a2－2a＋3＝错误!，解得a＝－错误!或a＝－错误!（舍去）。
【答案】－错误!6。
函数f（x)＝错误!x2－ln x的最小值为________。
【解析】f′（x)＝x－错误!＝错误!，且x>0.令f′（x）>0，得x>1; 令f′（x）〈0，得0<x<1.∴f（x)在x＝1处取得极小值也是最小值，且f（1）＝错误!－ln 1＝错误!。
高中数学苏教版选修1-1学案：第三章 3.3.3 最大值与最小值 Word版含答案
3.3.3最大值与最小值[学习目标]1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点一函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．知识点二求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．知识点三最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．题型一求函数在闭区间上的最值例1求下列各函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．解(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表当x ＝－2时，f (x )取最小值－37. 即f (x )的最大值为35，最小值为－37. (2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2) ＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f ′(x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.反思与感悟(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一步．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值． (2)若函数在闭区间[a ，b ]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得． 跟踪训练1求下列函数的最值： (1)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]；(2)f (x )＝e －x －e x ，x ∈[0，a ]，a 为正实数．解(1)f ′(x )＝12＋cos x ，x ∈[0,2π]．令f ′(x )＝0，得x ＝2π3或x ＝4π3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π. 即f (x )的最小值为0，最大值为π.(2)f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1e x ′－(e x )′＝－1e x －e x ＝－1＋e 2xe x .当x ∈[0，a ]时，f ′(x )＜0恒成立， 即f (x )在[0，a ]上是减函数．故当x ＝a 时，f (x )有最小值f (a )＝e －a －e a ；当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0.即f (x )的最小值为e －a －e a ，最大值为0.题型二含参数的函数的最值问题 例2已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )＜0，得x ＜－1或x ＞3，故函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)因为f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ， f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， 所以f (2)＞f (－2)， 因为在(－1,3)上f ′(x )＞0， 所以f (x )在[－1,2]上单调递增，所以f (－1)是f (x )的极小值，且f (－1)＝a －5，所以f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值， 于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2. 所以f (－1)＝－2－5＝－7，即函数f (x )在区间[－2,2]上的最小值为－7.反思与感悟函数的最值与极值及单调性密切相关，因而在求解函数的最值的问题时，一般都要判断函数的单调性与极值点．导数是研究函数与极值的有力工具．跟踪训练2已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b 在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a ，b 的值． 解由题意，知a ≠0.因为f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，x ∈[－1,2]， 所以令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4(舍去)．若a ＞0，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减由上表，知当x ＝所以f (0)＝b ＝3，又因为f (2)＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3， 故f (－1)＞f (2)，所以当x ＝2时，f (x )取得最小值， 即－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.若a ＜0，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递减单调递增所以当x ＝0时，f 又因为f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29， 故f (2)＞f (－1)．所以当x ＝2时，f (x )取得最大值， 即－16a －29＝3，解得a ＝－2.综上所述，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－29.题型三函数最值的应用例3设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． 解(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t ＞0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1， 即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)． 当t 变化时g ′(t )、g (t )的变化情况如下表：∴对t ∈(0,2)，当t ＝maxh (t )<－2t －m 对t ∈(0,2)恒成立， 也就是g (t )<0对t ∈(0,2)恒成立， 只需g (t )max ＝1－m <0，∴m >1. 故实数m 的取值范围是(1，＋∞)．反思与感悟(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ；λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min .对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．跟踪训练3已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x ＞0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数，若对任意x ＞0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求c 的取值范围． 解由题意，知f (1)＝－3－c . 因此b －c ＝－3－c ，从而b ＝－3. 所以对f (x )求导，得 f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x －12x 3＝x 3(4a ln x ＋a －12)．由题意，知f ′(1)＝0，即a －12＝0，得a ＝12. 所以f ′(x )＝48x 3ln x (x ＞0)， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，此时f (x )为减函数； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3－c ， 并且此极小值也是最小值． 所以要使f (x )≥－2c 2(x ＞0)恒成立， 只需－3－c ≥－2c 2即可．整理，得2c 2－c －3≥0，解得c ≥32或c ≤－1.所以c 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.分类讨论思想的应用例4设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)求a 的取值范围，使g (a )－g (x )＜1a对任意x ＞0成立．分析(1)求出g (x )的表达式是解题的关键；(2)构造辅助函数，结合单调性求解；(3)显然g (x )的最值决定了参数a 的取值范围． 解(1)由题设，知g (x )＝ln x ＋1x，所以g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故g (x )的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以g (x )的最小值为g (1)＝1. (2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x ， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ；当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h ′(1)＝0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减．当0＜x ＜1时，h (x )＞h (1)＝0，即g (x )＞g ⎝⎛⎭⎫1x ； 当x ＞1时，h (x )＜h (1)＝0，即g (x )＜g ⎝⎛⎭⎫1x . (3)由(1)，知g (x )的最小值为1. 因为g (a )－g (x )＜1a 对任意x ＞0成立，所以g (a )－1＜1a ，即ln a ＜1，解得0＜a ＜e.解后反思分类讨论思想是解决数学综合问题的重要思想方法．在本题的求解过程中，两次用到分类讨论：在(1)中分x ∈(0,1)和x ∈(1，＋∞)两种情况讨论了f (x )的单调性，在(2)中分x ＝1,0＜x ＜1和x ＞1三种情况比较了g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小．1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是__________． 答案10,2解析∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0， 故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是10,2. 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)________．①有最大值，但无最小值②有最大值，也有最小值 ③无最大值，但有最小值④既无最大值，也无最小值 答案④解析f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故④正确．3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是________． 答案π解析因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数， 所以y 的最大值为y max ＝π－sinπ＝π.4．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________． 答案－71解析f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71.5．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，若f ′(－1)＝0，函数f (x )在[－2,2]上的最大值为________，最小值为________． 答案95 －5027解析由原式，得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2－2ax －4. 由f ′(－1)＝0，得a ＝12，此时f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝43.因为f (－1)＝92，f ⎝⎛⎭⎫43＝－5027，f (－2)＝f (2)＝0，所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.1.求函数的最值时，应注意以下几点(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(2)闭区间[a ，b ]上的连续函数一定有最值．开区间(a ，b )内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)． 2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.3.3 最大值与最小值课后知能检测 苏教版选修1-1
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.3.3 最大值与最小值课后知能检测苏教版选修1-1一、填空题1．函数f(x)＝4x－x4在[－1，2]上的最大值是________．【解析】f′(x)＝4－4x3，令f′(x)＝0得x＝1，又当x>1时，f′(x)<0，x<1时，f′(x)>0.∴f(x)在x＝1取得最大值f(1)＝3.【答案】 32．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值的和是________．【解析】f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝2.但x∈[0，3]，∴x＝－1舍去，∴x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：max min max min【答案】－103．函数y＝2x3－6x2－18x－7在[1，4]上的最小值为________．【解析】y′＝6x2－12x－18＝6(x＋1)(x－3)，令y′＝0得x1＝－1(舍)，x2＝3.列表∴y极小＝y|x＝3∴y最小＝－61.【答案】－614．(2013·青岛高二检测)已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，则m 的值为________．【解析】 f ′(x )＝6x 2－12x ，由6x 2－12x ＝0 x ＝0或x ＝2. 当x >2或x <0时，f ′(x )>0； 当0<x <2时，f ′(x )<0，∴当x ＝0时，f (x )取得极大值；当x ＝2时，f (x )取得极小值．又f (0)＝m ，f (2)＝m －8，f (－2)＝m －40，∴f (x )的最大值为f (0)＝3，∴m ＝3. 【答案】 35．函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a (a 为常数)在[－2，2]上的最大值为5，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________．【解析】 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2.列表∴f (x 极大max ∴f (－2)＝a －40＝－35，f (2)＝a －8＝－3. ∴f (x )min ＝－35. 【答案】 －356．(2013·南京高二检测)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为________．【解析】 |MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，显然x ＝22是函数h (x )在其定义域内惟一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22. 【答案】227．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1x 2在同一点取得相同的最小值，则f (x )在区间[12，2]上的最大值是________．【解析】 依题意，得g ′(x )＝2－2x3.令g ′(x )＝0，得x ＝1.∵g (1)＝2＋1＝3，g (12)＝5，g (2)＝174，∴当x ＝1时，g (x )取得最小值3. ∵1∈[12，2]且1不是区间的端点，∴x ＝1是f (x )＝x 2＋px ＋q 的对称轴， ∴－p2＝1，4q －p24＝3，解得p ＝－2，q ＝4.∴f (x )＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3. ∴x ＝2时，f (x )max ＝4. 【答案】 48．(2013·潍坊高二检测)设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1，2]都有f (x )＞m ，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1，又f (－1)＝－1－12＋2＋5＝112，f (1)＝1－12－2＋5＝72，∴f (x )min ＝72，∴m ＜72.【答案】 (－∞，72)二、解答题9．已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．(1)当f ′(1)＝3时，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )在区间[0，2]上的最大值．【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax .因为f ′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0. 当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为3x －y －2＝0. (2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0，2]上是增加的，从而[f (x )]max ＝f (2)＝8－4a .当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0，2]上是减少的，从而[f (x )]max ＝f (0)＝0. 当0＜2a 3＜2，即0＜a ＜3时，f (x )在[0，2a 3]上是减少的，在[2a3，2]上是增加的，从而[f (x )]max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ， 0＜a ≤2，0， 2＜a ＜3.综上所述，[f (x )]max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ， a ≤2，0， a ＞2.10．(2012·北京高考)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，求k 的取值范围．【解】 (1)∵f (x )＝ax 2＋1， ∴f ′(x )＝2ax ，∴f ′(1)＝2a .又f (1)＝c ＝a ＋1，∴f (x )在点(1，c )处的切线方程为y －c ＝2a (x －1)，即y －2ax ＋a －1＝0.∵g (x )＝x 3＋bx ，∴g ′(x )＝3x 2＋b ，∴g ′(1)＝3＋b . 又g (1)＝1＋b ＝c ，∴g (x )在点(1，c )处的切线方程为y －(1＋b )＝(3＋b )(x －1)，即y －(3＋b )x ＋2＝0.依题意知3＋b ＝2a ，且a －1＝2，即a ＝3，b ＝3. (2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时，h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1.h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的变化情况如下：当k ≤－3时，函数h (x )在区间[k ，2]上的最大值为h (－3)＝28； 当－3<k <2时，函数h (x )在区间[k ，2]上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(－∞，－3]． 11．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的最小值；(2)若对所有x ≥1都有f (x )≥ax －1，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )的导数f ′(x )＝1＋ln x .令f ′(x )>0，解得x >1e ；令f ′(x )<0，解得0<x <1e.从而f (x )在(0，1e )上单调递减，在(1e ，＋∞)上单调递增．所以，当x ＝1e 时，f (x )取得最小值－1e.(2)依题意，得f (x )≥ax －1在[1，＋∞)上恒成立， 即不等式a ≤ln x ＋1x对于x ∈[1，＋∞)恒成立，令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝1x (1－1x)．当x >1时，因为g ′(x )＝1x (1－1x)>0，故g (x )是(1，＋∞)上的增函数，所以g (x )的最小值是g (1)＝1， 所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．。
2018版高中数学苏教版选修1-1学案：3.3.3最大值与最小值
3. 3.3 最大值与最小值【学习目标】1•理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系2会求某闭区间上函数的最值.IT问题导学-------------------------- 知识点函数的最大值与最小值如图为y= f(x), x€ ［a, b］的图象.思考1观察［a, b］上函数y= f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.思考2结合图象判断，函数y= f(x)在区间［a, b］上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少?思考3函数y= f(x)在［a, b］上的最大(小)值一定是某极值吗?思考4怎样确定函数f(x)在［a, b］上的最小值和最大值?梳理(1)函数的最大(小)值的存在性般地，如果在区间［a, b］上函数y= f(x)的图象是一条_________________ 的曲线，那么它必有最大值与最小值.⑵求函数y = f(x)在闭区间［a, b］上的最值的步骤①求函数y= f(x)在(a, b)内的_________ ;②将函数y = f(x)的 ____________ 与________ 处的函数值f(a), f(b)比较，其中最大的一个是____________ ，最小的一个是_______________ .题型探究类型一求函数的最值命题角度i不含参数的函数求最值例i求下列函数的最值：(1) f(x)= 2x3- 12x, x€ ［—2,3］;1(2) f(x)= qx+ sin x, x€ ［0,2 n反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：(1) 对函数进行准确求导，并检验f (x) = 0的根是否在给定区间内;(2) 研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3) 比较极值与端点函数值大小，确定最值.跟踪训练1求函数f(x) = e x(3 —x2), x€ ［2,5］的最值.命题角度2 含参数的函数求最值例2已知a是实数，函数f(x)= /(x—a),求f(x)在区间［0,2］上的最大值.反思与感悟由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化•所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.跟踪训练2在例2中，将区间［0,2］改为［—1,0］，结果如何？类型二由函数的最值求参数例3 已知函数f(x) = ax3—6ax2+ b, x € ［—1,2］的最大值为3，最小值为一29,求a, b的值.反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题•其中注意分类讨论思想的应用.1 3 12 16跟踪训练3 设f(x) = —~x +來+ 2ax.当0<a<2时，f(x)在［1,4］上的最小值为—§，求f(x)在该区间上的最大值.类型三函数最值的综合应用例 4 设函数f(x)= tx2+ 2t2x+ t—1(x€ R, t> 0).(1)求f(x)的最小值h(t);⑵若h(t)v—2t + m对t € (0,2)恒成立，求实数m的取值范围.登晟91淘课网:www.91 taDke.corn:听窑师郸i饼煉4±——导数的应用一解块不等式恒成立的问题反思与感悟(1) “恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.入》f(X)恒成立？入》［f(X)］max；入三f(X)恒成立？疋［f(X)］min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“=”.跟踪训练4 已知2xln x>- x1 2+ ax—3对一切x€ (0,+^ )恒成立，求a的取值范围.1. ________________________________________________ 函数f(x)= x3—3x(|x|<1)，则下列说当堂训练法正确的是_____________________________________________ .(填序号)①有最大值，但无最小值；②有最大值，也有最小值；③无最大值，但有最小值；④既无最大值，也无最小值.n2. ___________________________________________ 函数y= x—sin x, x€ 2，n的最大值是__________________________________________________ .3 .函数f(x)= x3—x2—x+ t在区间［0,2］上的最小值为3,则函数在［0,2］上的最大值为______154 .已知函数y= —x2—2x+ 3在区间［a,2］上的最大值为〒，贝V a= ______ .5.函数f(x) = x3—*x2—2x + 5,若对于任意x€ ［—1,2］，都有f(x)<m,则实数m的取值范围是规律与方法------------------------------- )1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值.2 .已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.提醒：完成作业第 3 章§3.3 3.3.3 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．答案精析问题导学知识点思考1极大值为f(X) f(X3),极小值为f(X2), f(X4).思考 2 存在，f(X)min = f(a),f(x) max =f(X3).思考3不一定，也可能是区间端点的函数值.思考4比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值. 梳理(1)连续不断(2)①极值②各极值端点最大值最小值题型探究例 1 解(1)f(x)= 2x3—12X,所以f (x)= 6x2—12 = 6(x+ ,2)(x—2),令f' (x)= 0，解得x=—〔2或x= 2.因为f(—2) = 8, f(3) = 18,f( .2) =—8 2,f( —2)= 82 ；所以当x=、2时，f(x)取得最小值一8,2;当x= 3时，f(x)取得最大值18.1(2)f' (x)= + cos x,令f' (x) = 0,又x€ [0,2 n,2 4解得x= 3 n或x= §n.计算得f(0) = 0, f(2 n) = n2 n 3f( n =，+ *,'3，3 24 2 _3f(列=3n—2.所以当x= 0时,f(x)有最小值f(0) = 0;当x= 2n时，f(x)有最大值f(2n) = n.跟踪训练 1 解T f(x) = 3e x一e x x2,••• f (x)= 3e x- (e x x2+ 2e x x)=—e x(x2+ 2x- 3)=—e x(x+ 3)(x—1).•••在区间［2,5］上，xf' (x) = —e(x+ 3)(x—1)<0,•函数f(x)在区间［2,5］上单调递减,•••当x= 2时，函数f(x)取得最大值f(2) =—e2；当x= 5时，函数f(x)取得最小值f(5) = —22e5.例2解令f' (x) = 0,2a解得x i = 0,即a w 0时, f(x)在［0,2］上单调递增,从而f(x)max= f(2)= 8一4a.当竽》2，即a>3时,f(x)在［0,2］上单调递减, 从而f(x) max =f(0) = 0.当0<2a<2，即0<a<3 时，f(x)在0,2a上单调递减，在号，2上单调递增,8 —4a, 0<a<2,从而f(x) max= I〔0, 2<a<3,8 —4a, a< 2,综上所述，f(x)max =〔0, a>2.跟踪训练2解令f' (x)= 0,2解得x i = 0, X2= 3a.2①当3a> 0,即a> 0时，f(X )在［—1,0］上单调递增，从而f(x)max= f(0) = 0 ；2 3②当—1,即a< —2时，f(x)在［—1,0］上单调递减，从而f(x)max= f( —1) = — 1 —a；2 3③当—1<3a<0，即—2<a<0 时，f(x)在—1, |a上单调递增；在刍，0上单调递减，则f(x)max= f ja =—27a3.综上所述，■p - 1 —a，a w —3,f(x)max=—27a3,—2<a<0,0, a > 0.例3解由题设知a工0,否则f(x)= b为常函数，与题设矛盾.求导得f' (x) = 3ax2—12ax= 3ax(x —4),令f' (x) = 0，得X1 = 0 , X2= 4(舍去).①当a>0时，f' (x), f(x)的变化情况如下表：•- f(0) = b = 3. 由表可知，当x= 0时，f(x)取得极大值b,也是函数f(x)在［—1,2］上的最大值,又f(—1) = —7a+ 3,f(2) = —16a+ 3<f( —1),••• f(2) = —16a + 3=—29 ,解得a= 2.②当a<0时，同理可得，当x= 0时，f(x)取得极小值b,也是函数在［—1,2］上的最小值，• f(0) = b = —29.又 f(— 1) = - 7a — 29,f(2) = — 16a — 29>f(— 1),••• f(2) = — 16a — 29= 3，解得 a = — 2.综上可得，a = 2, b = 3或a =— 2, b =— 29. 跟踪训练 3 解 f ' (x) = — x 2 + x + 2a ,令 f ' (x)= 0，得两根 X 11 +1 + 8aX 2= 3 =—t 3+ 3t — 1 — m ,由 g ' (t)=— 3t 2 + 3 = 0,得 t = 1,t =— 1(不合题意，舍去)•当 x € (— O ,禺),(X 2,+ m )时,f '(x)<0 ； 当 x € (X 1, X 2)时,f ' (x)>0, 所以 f(x)在 (—OO ,X 1), (x 2,+^ )上单调递减，在(X 1, X 2)上单调递增. 当0<a<2所以f(x)在 ［1,4］上的最大值为f(X 2).又 f(4) — f(1)=— 272 +6a<0, 即 f(4)<f(1),所以f(x)在［1,4］上的最小值为f(4)= 8a — 40 = 16故 a = 1, X 2= 2,10从而f(x)在［1,4］上的最大值为f(2) = §.例 4 解 (1) •/ f(x) = t(x + t)2 — t 3+ t — 1(x € R , t > 0), •当x =— t即 h(t)=— t 3 +1 — 1.⑵令 g(t)= h(t)— (— 2t + m)当t变化时g' (t)、g(t)的变化情况如下表:••对t € (0,2)，当t= 1时，g(t)max= 1—m, h(t)< —2t —m 对t € (0,2)恒成立，也就是g(t)<0对t € (0,2)恒成立，只需g(t)max = 1 —m<0 , • m>1.故实数m的取值范围是(1 ,+s) •跟踪训练4解由2x1 n x> —x2+ ax —3,3则a< 2ln x+ x+ 一.x5 3设h(x)= 2ln x + 一+ x(x>0) •x(x+ 3(x—1 )则h' (x)= 一2—x令h' (x)= 0,得x= 1,当x€ (0,1)时，h' (x)<0 , h(x)单调递减；当x€ (1,+s)时，h' (x)>0, h(x)单调递增. •- h(X)min = h(1) = 4.…a W h(x)min = 4.• a的取值范围是(一s, 4].当堂训练11 .④ 2. n 3.6 4. —2 5.(7,+^ )。
3.3.3最大值与最小值作业12017-2018学年高中数学选修1-1苏教版
3.3.3最大值与最小值作业12017-2018学年高中数学选修1-1苏教版3.3.3 最大值与最小值5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.下列命题,其中正确命题的序号是（）①一个函数的极大值总比极小值大;②可导函数导数为0的点不一定是极值点;③一个函数的极大值可以比最大值大;④一个函数的极值点可能是它的不可导点.A.①④B.②④C.①②D.③④ 答案：B2.下列结论正确的是（）A.在区间［a,b ］上,函数的极大值就是最大值B.在区间［a,b ］上,函数的极小值就是最大值C.在区间［a,b ］上,函数的最大值、最小值在x=a 和x=b 处达到D.一般地,在［a,b ］上连续的函数f(x)在［a,b ］上必有最大值和最小值答案：D3.函数f(x)=x 2-4x+1在［1,5］上的最大值和最小值是（）A.f(1)、f(3)B.f(3)、f(5)C.f(1)、f(5)D.f(5)、f(2) 答案：D解析：利用导函数f′(x)的正负判断f(x)函数的单调性,列表比较得到函数的最值. ∵f′(x)=2x -4,∴令f′(x)=0,可得x=2.列表:所以y min =f(2),y max =f(5).4.函数f(x)=2100x -,当-6≤x≤8时，求f(x)最大值、最小值.解：∵f(x)=2100x -,∴f′(x)=21(100-x 221)--(-2x).令f′(x)=0,得x=0,当x ＜0时,f′(x)＞0,当x ＞0时, f′(x)＜0,∴f(x)的极大值是f(0)=10,f(-6)=8,f(8)=6. ∴f(x)max =10,f(x)min =6.10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.已知函数f(x)=x 3-3x,则函数f(x)在区间［-2，2］上的最大值是（） A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C应用导数性质研究在区间［-2，2］上函数的增减性，考虑极值、端点值，易得C 正确. 2.函数f(x)=2x-cosx 在（-∞,+∞)上（）A.是增函数B.是减函数C.有最大值D.有最小值答案：Af′(x)=2+sinx ＞0,函数f(x)在R 上为增函数. 3.函数f(x)=sin 2x 在［-4π,0］上的最大值是_____________,最小值是_____________.答案：21 0 解析：∵-4π≤x≤0,∴22-≤sinx≤0,22≥-sinx≥0. ∴21≥sin 2x≥0, ∴f(x)max =21,f(x)min =0.4.函数f(x)=x 3-3x+1在闭区间［-3,0］上的最大值是_____________,最小值是_____________. 答案：3 -17解析：f′(x)=3x 2-3=3(x-1)(x+1)，令f′(x)=0,得x=-1或x=1（舍去）.∴f(x)max =3,f(x)min =-17.5.设函数f(x)是定义在［-1，0)∪（0，1］上的偶函数，当x ∈［-1,0)时，f(x)=x 3-ax(a ∈R ). (1)当x ∈(0,1］时，求f(x)的解析式；(2）若a ＞3,试判断f(x)在（0，1］上的单调性，并证明你的结论；(3）是否存在a,使得当x ∈(0,1］时，f(x)有最大值1. 解：（1）∵x ∈(0,1］时，-x ∈［-1，0）,∴f(-x)=(-x)3-a(-x)=ax-x 3. 又f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x),即f(x)=ax-x 3，x ∈（0,1］. (2)f′(x)=-3x 2+a,∵x ∈(0,1］,∴x 2∈(0,1］. ∴-3x 2≥-3.∵a ＞3,∴-3x 2+a ＞0，故f(x)在(0,1］上为增函数.（3）假设存在a,使得当x ∈(0,1］时，f(x)有最大值1.∵f′（x ）=a-3x 2. 令f′(x)=0,∴-3x 2+a=0,即a ＞0时，x=±33a . 又∵x ∈(0,1］,∴x=33a 且33a ＜1. ∴f′(x)在(0,33a )上大于0，在（33a ,1）上小于0. ∴f(x)max =f(33a )=9329333aa a a a a =-=1.∴a=2233时，f(x)有最大值1.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.给出下面四个命题，其中正确的命题有（）①函数y=x 2-5x+4,x ∈［-1,1］的最大值为10，最小值为49-②函数y=2x 2-4x+1(2＜x ＜4)的最大值为17，最小值为1 ③函数y=x 3-12x(-3＜x ＜3)的最大值为16，最小值为-16 ④函数y=x 3-12x(-2＜x ＜2)无最大值，也无最小值A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C2.函数y=(x-1)2(x+1)在［1，2］上的最小值为…（）A.0B.1C.2D.3 答案：A解析：f′(x)=［(x-1)2(x+1)］′ =(x 3-x 2-x+1)′ =3x 2-2x-1,在（1，2）内，f′（x ）＞0.∴f(x)min =f(1)=0.3.若函数y=x 3+23x 2+m 在［-2，1］上的最大值为29，则m 等于（） A.0 B.1 C.2 D.25答案：C 解析：y′=(x 3+23x 2+m)′=3x 2+3x=3x(x+1). 由y′=0,得x=0或x=-1. ∴f(0)=m,f(-1)=m+21. 又∵f(1)=m+25,f(-2)=-8+6+m=m-2, ∴f(1)=m+25最大.∴m+25=29,m=2.4.函数f(x)=x 2+2ax+1在［0，1］上的最大值为f(1)，则a 的取值范围是___________. 答案：a≥-21 解析：由f′(x)=2x+2a=0,得x=-a.f(0)=1, f(1)=2+2a,f(-a)=a 2-2a 2+1=1-a 2.∵f(1)最大，∴+≤-≥+,221,1222a a a ∴a≥-21. 5.函数y=xe x 的最小值为___________. 答案：e1-解析：y′=e x +xe x =(1+x)e x =0,∴x=-1. 当x ＜-1时，y′＜0,当x ＞-1时，y′＞0, ∴x=-1时，函数取最小值f(-1)= e1-. 6.函数f(x)=sinx+cosx 在x ∈［-2π,2π］时，函数的最大、最小值分别是___________.答案：2，-1解析：f′(x)=cosx -sinx=0,即tanx=1,x=kπ+4π(k ∈Z ).而x ∈［-2π,2π］，当-2π＜x ＜4π时，f′(x)＞0, 当4π＜x ＜2π时,f′(x)＜0, ∴f(4π)是极大值.又f(4π)=2,f(-2π)=-1,f(2π)=1.∴函数的最大值为2,最小值为-1.7.求函数f(x)=ln(1+x)-41x 2在［0，2］上的最大值和最小值.解：f′（x ）=x +11-21x,令x +11-21x=0,化简为x 2+x-2=0,解得x 1=-2（舍去），x 2=1.当0≤x ＜1时，f′(x)＞0,f(x)单调递增；当1＜x≤2时，f′(x)＜0,f(x)单调递减. 所以f(1)=ln2-41为函数f(x)的极大值. 又因为f(0)=0,f(2)=ln3-1＞0,f(1)＞f(2),所以f(0)=0为函数f(x)在［0，2］上的最小值,f(1)=ln2-41为函数f(x)在［0，2］上的最大值. 8.设f(x)=x 3-21x 2-2x+5.(1)求函数f(x)的单调递增、递减区间；（2）当x ∈［-1,2］时，f(x)＜m 恒成立，求实数m 的取值范围. 解：（1）f′(x)=3x 2-x-2,令f′(x)=0, 即3x 2-x-2=0?x=1或x=-3 2. 所以当x ∈(-∞,-32)时，f′(x)＞0,f(x)为增函数；当x ∈(-32,1)时，f′(x)＜0,f(x)为减函数；当x ∈(1,+∞)时，f′(x)＞0,f(x)为增函数. 所以f(x)的递增区间为（-∞,-32）和（1，+∞）,f(x)的递减区间为(-32,1). (2)当x ∈［-1,2］时，f(x)＜m 恒成立，只需使f(x)在［-1，2］上的最大值小于m 即可.由（1）知f(x)极大=f(-32)=5+2722,f(x)极小=f(1)=27.又f(-1)=211,f(2)=7,所以f(x)在［-1，2］上的最大值为f(2)=7.所以m ＞7.9.已知函数f(x)=xax x ++22,x ∈［1,+∞）(1)当a=21时，求函数f(x)的最小值；（2）若对于任意x ∈［1,+∞）,f(x)＞0恒成立，试求实数a 的取值范围.解：（1）当a=21时，f(x)=x a x x ++22,x ∈［1,+∞).由f′(x)=1221x -=22212xx -, 当x ∈［1,+∞)时，f′(x)＞0,∴函数f(x)是增函数. ∴当x=1时，f(x)的最小值为27. (2)对任意x ∈［1,+∞）,f(x)＞0恒成立，即xax x ++22＞0对任意x ∈［1,+∞)恒成立.∴x 2+2x+a ＞0对任意x ∈［1，+∞)恒成立. 设g(x)=x 2+2x+a,则g′(x)=2x+2. 当x ∈［1,+∞］时，g′(x)＞0. ∴函数g(x)是增函数.∴当x=1时，g(x)取得最小值3+a. 由题意3+a ＞0.∴a ＞-3.10.已知a 为实数，f(x)=(x 2-4)(x-a). (1)求导数f′(x);(2)若f′(-1)=0,求f(x)在［-2，2］上的最大值和最小值；（3）若f(x)在（-∞,-2］和［2，+∞）上都是递增的，求a 的取值范围. 解：（1）由原式得f(x)=x 3-ax 2-4x+4a, ∴f′(x)=3x 2-2ax-4.(2)由f′(-1)=0得a=21,此时有f(x)=(x 2-4)(x-21),f′(x)=3x 2-x-4. 由f′(x)=0得x=34或x=-1. 又f(34)=2750-,f(-1)=29,f(-2)=0,f(2)=0,所以f(x)在［-2，2］上的最大值为29，最小值为2750-.(3)f′(x)=3x 2-2ax-4的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线，由条件得f′(-2)≥0,f′(2)≥0, 即4a+8≥0,8-4a≥0.所以-2≤a≤2.所以a 的取值范围为［-2，2］.。
高中数学(苏教版)选修1-1精品课件：第三章第3节第3课时最大值与最小值
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[例 1]
求函数 f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5 在区间[－2，2]上
的最大值与最小值．
[思路点拨] 先求 f′(x)，令 f′(x)＝0 求得极值及端点值，
最后比较大小得最值．
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[精解详析]
法一：∵f(x)′＝12x2＋6x－36
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1．求函数 f(x)＝x3－2x2＋1 在区间[－1，2]上的最值．
4 解：f′(x)＝3x －4x，令 f′(x)＝0，则 x1＝0，x2＝ . 3
2
当 x 变化时 f′(x)，f(x)的变化情况如下：
由上表可知 f(x)的最大值为 1，最小值为－2.
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第 3 课时
最大值与最小值
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假设函数 y＝f(x)、y＝g(x)、y＝h(x)在闭区间[a，b]内 的图象都是一条连续不断的曲线(如下图所示)．
问题 1：这三个函数在[a，b]上一定能取得最大值与最 小值吗？
提示：一定能．
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问题 2：若 y＝h(x)在开区间(a，b)上是一条连续 不断的曲线， 那么它在(a， b)上一定有最值和极值吗？
（a≤2）， 8－4a 综上所述，f(x)max＝ 0 （a>2）.
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[一点通]
求函数在闭区间上的最值时，如果含有
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 3.3.3 最大值与最小值》
导数章节复习课〔2〕授课人：杨静班级：高二〔〕班姓名：时间：月日一、学习目标1 运用导数研究函数的性质2 运用导数解决含参数的问题3 数形结合、分类讨论等思想在解题中的应用重点：导数在研究函数性质中的应用难点：导数在研究函数性质中的应用〔一〕自主训练1的单调减区间为2 在处有极大值，那么常数的值为3 函数在定义域内是单调递减函数，那么实数的取值范围是4 设直线与函数，的图象分别交于、两点，那么当取最小值时的值为〔二〕方法整理〔请你总结“导数在研究函数中的应用〞中的典型问题及方法，可以举例说明〕〔三〕解题心得〔分享你的解题心得，如易错点等，可以举例说明〕三、问题与探究例题函数，1 当时，求函数的单调区间；2 假设函数在1,e上不单调，求的取值范围；3 假设函数在[1,e]上的最小值是，求的值；4 假设在区间0,∞上，函数f的图像恒在的图像的上方没有公共点，求实数m 的取值范围；5 假设过原点O0,0可作曲线＝f的两条切线，求m的取值范围四、反应与小结1 反应1 函数假设当时，恒成立，那么的取值范围是2 函数f＝n－错误!m∈R在区间[1,e]上取得最小值4，那么m＝_______ 2 小结五、作业与诊断1 函数的定义域为1 求函数的单调区间；2 求函数在上的最小值2函数f＝a3b2 3a，b∈R在点1，f1处的切线方程为2 01 求函数f的解析式；2 假设过点M2，mm≠2可作曲线＝f的三条切线，求实数m的取值范围．3函数1 讨论函数的单调性；2 *设如果对任意，，求的取值范围备课研讨：对本节课我们数学备课组〔高二数学备课组〕共进行了三次研讨，上了两次考前课下面将三次研讨简要记录如下：一、第一次研讨时间：2021年11月02日下午第2节课地点：图书馆二楼参加人员：学校数学核心备课组成员、开课老师流程：开课教师说课→大家讨论，提修改意见研讨记录：1 最初的设想：导数这章节已经学完，但通过作业、周练的反应和与局部学生的交流，发现学生头脑中的知识还是比拟零散，没有系统性，对典型的题型掌握得不够熟悉分析原因，重要的一点是学生的学习缺少归纳、总结和反思另外，假设预习选择几道题目，问题与探究再来几道题目，讲完后学生的收获如何？因此，本节课的设想就是引导学生在复习提纲的指导下进行预习，独立思考后再通过课堂的交流讨论，形成经验的互补，从而到达比拟好的复习效果2 认为能力要求过高，且选的题目偏难，另外，这节课到底是导数的第几节复习课，要明确，不同的节次，设计上肯定是有差异的3 具体修改意见：①引导与自学局部分成了五个局部〔知识梳理、方法整理、习题归类、解题心得、疑难问题〕，要减少，建议刚开始找几道小题练习下，然后基于小题谈谈方法整理以及解题心得；②例题局部可以选择一个背景，将所要讲的知识串起来二、第二次研讨时间：2021年11月05日下午第2节课地点：托阳楼二楼参加人员：高二备课组流程：开课教师上课→大家研讨，提修改意见研讨记录：1简要流程：导学〔课前让学生预习，完成三个局部内容〔自主训练、方法整理、解题心得〕〕→展评→练·展·评2 刘跃武：前面展示学生的预习成果，花的时间较多，且投影效果不佳〔清晰度、光线的原因〕，建议正在这局部要修改，例题的设计给出了6个小问题，很好，但是一节课能解决几个？尤其是问题6，有中值定理的背景，直接求导现阶段不可用，可能有些专家就不这么认为3 吴琪：语言需要优化，还有就是切线条数那边的处理，强调切点是关键，围绕这个进行启发此外，对于课前自主训练的小题，不需要详细讲，可以在后面例题讲解的过程中再谈前面涉及的注意点4 赵久勇：总体的教学设计就根本这样，细节局部再优化①引导与自学局部处理的过细，花的时间较多，让学生谈解题心得即可；②从实践来看，时间较紧，可以将第6小题不放在导学案上，放在PPT上，作为备用题选讲；③是不是可以将例题中的前3小问，让学生一起做，这样推进的可能更加快些，省一些时间教后思考：为了上这次课，经历了两次研讨、一次超前课，也是对自己的一次锻炼，通过上课，也暴露了了自己很多的缺乏，“书到用时方恨少〞，就本节课，教后也有很多的思考导数，作为工具性知识，本身并不困难，但作为一个新的“工具〞，导数的应用意识有待加强，这样的加强需要渗透于每节课分类讨论，是个难点，如例题的〔3〕，这样的问题并不困难，但仍有不少学生分类混乱这一问题可能追到跟上就是二次函数的讨论也没有搞清楚，另外迁移的能力有待加强，在解题时无法将已经解决的问题迁移到未解决的问题上来如何转变学生的学习方式，调动学生学习的主动性，积极性，直接影响着数学的学习效果这几年，我们学校一直在进行预习指导下的课堂教学的研究，主要是基于导学案，对于章节复习课的研究还不够深入，本节课也是想在这方面做一些尝试教师怎样对学生的预习给予指导呢？进过本次上课及研讨，坚持以“问题〞为中心，围绕问题展开，否那么一切空对空，学生难以抓住重点，甚至不明白该做些什么另外，我觉得教师可以对学生的预习方向作出具体的指导，如本节课中我们要学生谈谈方法、解题心得等，如果是简单笼统地要求学生预习，学生可能不知道要做什么，怎么做预习要有检查，有反应，要有点评，教师可以通过个别交流给根底较为薄弱的同学更多的帮助这节课，其实就是对章节复习课教学的一次尝试学生的课前的认真准备，让我由衷地感到快乐但是，也还存在一些困惑比方，预习后的课堂，教师的教学需要做些什么调整？今天这节课少数同学展示，那么其他同学的参与度怎么表达，他们的收获有多少呢？今天的课堂主要是师生的对话，能否变成生生对话的方式，调动更多同学的积极性呢？例题局部，评多少，如何评，我还欠缺“火候〞……怎样更加有效地、高效地进行章节复习课的课堂教学，这条路还很长很长。
高中数学3.3最值教案苏教版选修1_1
3．3．3最大值与最小值班级______________姓名_______________教学目标1．可以利用函数的导数求函数的单调区间；2．会求函数的极大值与极小值3.利用函数的极大值与最小值求函数的最值任务1：在理解函数极值的基础上，掌握函数最值的概念 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x 是函数()y f x =的极大（小）值点，那么在点0x 附近找不到比()0f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果0x 是函数的最大（小）值，那么()0f x 不小（大）于函数()y f x =在相应区间上的所有函数值．观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中___________是极小值，_______是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是___________，最小值是___________． 结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴如果在某一区间上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()y f x =在这个区间上连续．⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，【典型例题】例1.求函数34)(2+-=x x x f 在区间[]4,1-上的最大值和最小值。
例2. 求函数x x x f sin 21)(+=在区间[]π2,0上的最大值和最小值例3.求函数[]3,2,5323-∈+-=x x x y 的值域注意：由上面的两个例题可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．小结：求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤是：（学生归纳）《最大值与最小值》反馈练习1.下列说法正确的是A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x )A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能 3.已知函数f (x )=2-x 2,g (x )=x ．若f (x )*g (x )=min{f (x ),g (x )}，那么f (x )*g (x )的最大值是 ．4..在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为______时，它的面积最大.5.求函数y =234213141x x x ++，在［－1，1］上的最值6.设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >b , 求b a ,7.已知x xb ax x f ln 2)(+-=在1=x 与21=x 处都取得极值 （1）求b a ,的值 （2）如对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 时，c x f <)(恒成立，求实数c 的取值范围8.已知函数xx x f ln )(=（1）求函数x x x f ln )(=的最大值 （2）设实数0>a ，求函数)()(x af x F =在[]a a 2,上的最小值精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
苏教版高中数学选修1-1高二课时训练3.3.2极大值和极小值.docx
一、填空题1．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值为________，极小值为________．2．三次函数，当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是________．3．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，则实数m 等于________．4．函数f (x )＝a ＋ln x x(a ∈R)的极大值等于________． 5．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋m 的图象不经过第四象限，则实数m 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数取得极小值；④当x ＝1时函数取得极大值．8．若函数f (x )＝x 2ln x (x >0)的极值点是α，函数g (x )＝x ln x 2(x >0)的极值点是β，则有α、β的大小关系为________．9．f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是________．①(a ，b ) ②(a ，c ) ③(b ，c ) ④(a ＋b ，c )二、解答题10．设函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴交点为P ，且曲线在P 点处的切线方程为12x －y －4＝0.若函数在x ＝2处取得极值0，试确定函数的解析式．11．设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R.(1)若f (x )在x ＝3处取得极值，求常数a 的值；(2)若f (x )在(－∞，0)上为增函数，求a 的取值范围．12．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1.(1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．答案1 解析：∵f (x )与x 轴切于(1,0)点，f ′(x )＝3x 2－2px －q ，∴f ′(1)＝3－2p －q ＝0.又f (1)＝1－p －q ＝0，∴p ＝2，q ＝－1.∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.由f ′(x )＝0得x 1＝13，x 2＝1. f (x )极大值＝f (13)＝427， f (x )极小值＝f (1)＝0.答案：4272 解析：三次函数过原点，可设f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，f ′(1)＝3＋2b ＋c ＝0，f ′(3)＝27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－6，c ＝9，∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，当x ＝1时，f (x )极大值＝4；当x ＝3时，f (x )极小值＝0，满足条件．答案：y ＝x 3－6x 2＋9x3 解析：y ′＝－3x 2＋12x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝4，容易得出当x ＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m ＝13，解得m ＝－19.答案：－194 解析：f ′(x )＝1－a ＋ln x x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝e 1－a ，当x <e 1－a 时，f ′(x )>0；当x >e 1－a 时，f ′(x )<0，所以函数的极大值等于f (e1－a )＝1e 1－a ＝e a －1. 答案：e a －15 解析：y ′＝3x 2－2a ，因为函数在(0,1)内有极小值，所以方程3x 2－2a ＝0较大的根在(0,1)内，所以2a ＝3x 2∈(0,3)，得a ∈(0，32)． 答案：(0，32) 6 解析：由于f ′(x )＝x 2＋x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1，当x <－2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当－2<x <1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，∴f (x )在x ＝－2时取得极大值，且f (－2)＝103＋m ； f (x )在x ＝1时取得极小值，且f (1)＝－76＋m ， 因此要使函数f (x )的图象不经过第四象限，应使其极小值不小于零，即－76＋m ≥0，m ≥76，故m 的取值范围是m ≥76. 答案：m ≥767解析：从图象上可以看到：当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①8解析：由于f ′(x )＝2x ln x ＋x ，令f ′(x )＝0，得x ＝e －12，容易验证x ＝e －12就是函数f (x )的极值点，故α＝e －12.又g ′(x )＝ln x 2＋2，令g ′(x )＝0，得x ＝e －1，容易验证x ＝e －1就是函数g (x )的极值点，故β＝e －1，因此有α>β.答案：α>β9 解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，1－1＝－2b 3a，b ＝0. 答案：①10 解：∵P 点坐标为P (0，d )，又曲线在点P 处切线为12x －y －4＝0，∴当x ＝0时，y ＝d ，即d ＝－4，∵y ′|x ＝0＝c ，又切线斜率k ＝12，∴c ＝12.又函数在x ＝2处取得极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ′|x ＝2＝0，f 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋4b ＋12＝0，8a ＋4b ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－9. ∴函数解析式为y ＝2x 3－9x 2＋12x －4.11 解：(1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －a )(x －1)．因f (x )在x ＝3处取得极值，所以f ′(3)＝6(3－a )(3－1)＝0，解得a ＝3.经检验知当a ＝3时，x ＝3为f (x )的极值点．(2)令f ′(x )＝6(x －a )(x －1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝1.当a <1时，若x ∈(－∞，a )∪(1，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，a )和(1，＋∞)上为增函数，故当0≤a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．当a ≥1时，若x ∈(－∞，1)∪(a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)和(a ，＋∞)上为增函数，从而f (x )在(－∞，0)上也为增函数．综上所述，当a ∈[0，＋∞)时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．12 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3(x －2＋3)(x －2－3)．当x ∈(－∞，2－3)时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，2－3)上单调增加；当x ∈(2－3，2＋3)时，f ′(x )<0，f (x )在(2－3，2＋3)上单调减少；当x ∈(2＋3，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(2＋3，＋∞)单调增加．综上，f (x )的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(2－3，2＋3)，(2)f ′(x )＝3[(x －a )2＋1－a 2]． 当1－a 2≥0时，f ′(x )≥0，所以f (x )为增函数，故f (x )无极值点； 当1－a 2<0时，f ′(x )＝0有两个根x 1＝a －a 2－1，x 2＝a ＋a 2－1由题意知，2<a －a 2－1<3，①或2<a ＋a 2－1<3.②式无解，②式的解为54<a <53 因此，a 的取值范围是(54，53)．。
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学业分层测评(十九) 最大值与最小值
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1.已知函数f (x )＝x 3－3x ，|x |≤1，f (x )的最小值为________.
【解析】 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈－1,1]时，f ′(x )≤0，所以f (x )在－1,1]上是单调递减函数，f (x )的最小值为f (1)＝－2.
【答案】 －2
2.(2016·徐州高二检测)函数y ＝x
e
x 在0,2]上的最大值是________.
【解析】 由f (x )＝x
e x 得
f ′(x )＝1－x e x ，当x ∈0,1]时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，
当x ∈(1,2]时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，∴当x ＝1时，函数取得最大值f (1)＝1
e .
【答案】 1
e
3.函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤
π2，π的最大值是________.
【解析】 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，y ′＞0，则函数y 在区间⎣⎡⎦⎤π
2，π上为增函数，
所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π. 【答案】 π
4.(2016·无锡高二检测)函数f (x )＝1
x ＋1
＋x (x ∈1,3])的值域为________.
【解析】 f ′(x )＝－1
x ＋1 2＋1＝x 2＋2x x ＋1 2，所以在1,3]上f ′(x )＞0恒成立，
即f (x )在1,3]上单调递增，所以f (x )的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝3
2.
故函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤
32，134. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤32，134
5.已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间a,2]上的最大值为15
4
，则a 等于________.
【解析】 当a ≤－1时，最大值为4，不合题意，当－1＜a ＜2时，f (x )在a,2]上是减函数，
f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－3
2
(舍去).
【答案】 －1
2
6.函数f (x )＝1
2
x 2－ln x 的最小值为________.
【解析】 f ′(x )＝x －1x ＝x 2
－1
x
，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1; 令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在
x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝1
2
.
【答案】 1
2
7.下列结论：
①在区间a ，b ]上，函数的极大值就是最大值； ②在区间a ，b ]上，函数的极小值就是最小值；
③在区间a ，b ]上，函数的最大值、最小值在x ＝a 和x ＝b 时达到； ④在区间a ，b ]上的连续函数f (x )在a ，b ]上必有最大值和最小值. 其中正确的是________(填序号).
【解析】 因为连续函数在闭区间上极大值不一定就是最大值，极小值也不一定就是最小值，最值不一定在区间端点取到，所以①②③都不正确，而连续函数f (x )在a ，b ]上必有最大值和最小值，所以④正确.
【答案】 ④
8.(2016·马鞍山高二检测)已知函数f (x )＝a x 2＋2ln x ，若当a ＞0时，f (x )≥2恒成立，则实
数a 的取值范围是________.
【解析】 由f (x )＝a
x 2＋2ln x 得f ′(x )＝2 x 2－a x 3
，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且
a ＞0，
令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0；当x ＞a 时，f ′(x )＞0.
故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1. 要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e. 【答案】 e ，＋∞) 二、解答题
9.求函数f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈－3，3]的最大值和最小值.
【解】 f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
max 当x ＝－1时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝f (－1)＝－2.
10.已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k ≤0，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤
1e ，e 上的最大值和最小值. 【解】 因f (x )＝1－x x ＋k ln x ，f ′(x )＝－x －1＋x x 2＋k x ＝kx －1x 2.
①若k ＝0，则f ′(x )＝－1
x 2在⎣⎡⎦
⎤1e ，e 上恒有f ′(x )<0， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减.∴f (x )min ＝f (e)＝1－e e
，f (x )max
＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －1. ②若k <0，f ′(x )＝
kx －1
x 2
＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2
，则在⎣⎡⎦⎤
1e ，e 上恒有k ⎝⎛⎭⎫x －1
k x 2
<0， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减，∴f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )max
＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1.
综上，当k ＝0时，f (x )min ＝1－e
e ，
f (x )max ＝e －1；
当k <0时，f (x )min ＝1
e
＋k －1，f (x )max ＝e －k －1.
能力提升]
1.(2016·淄博高二检测)已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a ).若f ′(－1)＝0，函数f (x )在－2,2]上的最大值为________，最小值为________.
【解析】 由原式可得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2－2ax －4.由f ′(－1)＝0得a ＝12，
此时f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝4
3
.
又f (－1)＝92，f ⎝⎛⎭⎫43 ＝－50
27，f (－2)＝f (2)＝0，
所以函数f (x )在－2,2]上的最大值为92，最小值为－50
27.
【答案】 92 －50
27
2.已知函数f (x )的定义域为－1,5]，部分对应值如下表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图3-3-9所示
图3-3-9
下列关于函数f (x )的命题： ①函数f (x )的值域为1,2]； ②函数f (x )在0,2]上是减函数；
③如果当x ∈－1，t ]时，函数f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1＜a ＜2时，函数y ＝f (x )－a 最多有4个零点. 其中正确命题的序号是________.
【解析】 由导函数的图象可知，当－1＜x ＜0或2＜x ＜4时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，
当0＜x ＜2和4＜x ＜5时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，当x ＝0和x ＝4时，函数f (x )取得极大值f (0)＝2，f (4)＝2，当x ＝2时，函数f (x )取得极小值f (2)＝1.5，又f (－1)＝f (5)＝1，
所以函数f (x )的最大值为2，最小值为1，值域为1,2]，①正确，②正确；要使x ∈－1，t ]时，函数f (x )的最大值是2，则0≤t ≤5，所以t 的最大值为5，所以③不正确；
因为函数f (x )的极小值为f (2)＝1.5，极大值为f (0)＝f (4)＝2. 所以当1＜a ＜2时，函数y ＝f (x )－a 最多有4个零点，所以④正确. 【答案】 ①②④
3.(2016·南京高二检测)设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R)，若对于任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为________.
【解析】 因为x ∈(0,1]，所以f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1
x 3，则g ′(x )＝
3 1－2x
x 4
. 令g ′(x )＝0，得x ＝12.当0＜x ＜12时，g ′(x )＞0；当1
2＜x ≤1时，g ′(x )＜0.
所以g (x )在(0,1]上有极大值g ⎝⎛⎭⎫
12＝4，它也是最大值，故a ≥4. 【答案】 4，＋∞)
4.已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－e 2x ，若x >0时，总有f (x )>－e 2x ，求实数a 的取值范围. 【解析】 由f (x )>－e 2
x 得：a >－e x x 2，设g (x )＝－e x
x 2，x >0，则g ′(x )＝e x
2－x x 3
，令g ′(x )
＝0，得x ＝2.
∴当x ∈(0,2)时，g ′(x )>0，g (x )在(0,2)上单调递增； 当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )在(2，＋∞)上单调递减. 当x ＝2时，y (x )取最大值为－e 2
4
，
∴g (x )≤g (2)＝－e 24
，因此，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－e 24，＋∞.。