等差数列复习教案

@_@ 等差数列

重点导读

一、高考考点

1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明

或判断有关数列为等差（或等比）数列.

2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：

求；求；解决关于或的问题.

3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求；

求；解决有关或的问题.

4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.

5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解

决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程.

二、知识要点

1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的

前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数

列，这个常数叫做等差数列的公差.

认知：｛｝为等差数列

－ =d(n∈N

※且d为常数)

－ =d (n 2, n∈N※且d

为常数)

此为判断或证明数列｛｝为等差数列的主要依据.

2.公式（1）通项公式： = +（n－1）d：

引申： = +（n－m）d （注意：n=m+(n－m) ）

认知：｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b (n)

（2）前n项和公式： =或 =n

+

认知：｛｝为等差数列为n的二次函数

且常数项为0或 =n= +bn(n)

3.重要性质

(1)｛｝为递增数列 d＞0; ｛｝为递减数列 d＜0; ｛｝为常数列 d=0

(2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q+

= + ;

(3)2m=p+q 2 = +.即等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等差数列.

(4)设 , ,分别表示等差数列｛｝的前n

项和,次n项和,再次n项和,…则 , ,…依次成等差数列.

典例精析

【例1】等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，

则它的前3m 项和为( )

A.130

B.170

C.210

D.260

【解法一】将S m ＝30，S 2m ＝100代入等差数列前n 项和公式

S n ＝na 1＋n (n －1)2

d ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋m (m －1)2d ＝30，2ma 1＋

2m (2m －1)2d ＝100. 解得d ＝40m 2，a 1＝10m ＋20m 2.所以S 3m ＝3ma 1＋3m (3m －1)2

d ＝3m ·10(m ＋2)m 2＋3m (3m －1)2·40m 2＝210. 联想1：等差数列的前n 项和公式S n 是关于n 的二次函数，

能否运用函数的思想求解？

【解法二】由等差数列的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二

次函数，即S n ＝An 2＋Bn (A 、B 是常数).将S m ＝30，S 2m ＝100代入

得⎩⎨⎧Am 2＋Bm ＝30，A (2m )2＋B ·

2m ＝100. 解得A ＝20m 2，B ＝10m

.所以S 3m ＝A ·(3m )2＋B ·3m ＝210. 联想2：由等差数列的性质知，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 构成

等差数列，利用此性质，此题还可以怎样解呢？

【解法三】根据等差数列性质知，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也

成等差数列，从而有2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，所以S 3m ＝3(S 2m

－S m )＝210.

联想3：本题是一道选择题，联想解决选择题常用的一种方

法——特殊值法，你将会怎样解？

【解法四】令m ＝1得S 1＝30，S 2＝100，从而a 1＝30，a 1＋

a 2＝100，得到a 1＝30，a 2＝70，所以a 3＝70＋(70－30)＝110，所

以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝210. 评析

此题虽是一道小题，但我们从不同的角度去审视，得到四种

不同的方法，开阔了视野，锻炼了思维.

此四种方法体现了解决数列问题常用的四种思想方法：①方

程思想；②函数与方程思想；③整体思想；④特殊值思想.

【例2】(1)数列{1n (n ＋1)

}的前n 项和 S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋…＋1n ×(n ＋1)

，

研究一下，能否找到求S n 的一个公式.你能对这个问题作一些

推广吗？并解决下面的问题 (2)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n

满足2S n ＝a n ＋1.

①求数列{a n }的通项公式；

②设b n ＝1a n ·a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和B n . 【解】(1)a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1

∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－ 1n ＋1＝n n ＋1

评析

这是数列求和的裂项相消法，它的基本思想是设法将数列的

每一项拆成两项(裂项)，并使它们相加时除了首尾各有一项或少

数几项外，其余各项都能前后相消，进而可求出数列的前n 项和.

常见的裂项公式： ①1n (n ＋k )＝1k (1n －1n ＋k ) ②1n ＋k ＋n ＝1k (n ＋k －n ) (2)①∵对任意的正整数n,2S n ＝a n ＋1①恒成立， 当n ＝1时，2a 1＝a 1＋1，即(a 1－1)2＝0， ∴a 1＝1. 当n ≥2时，有2S n －1＝a n －1＋1.② ①2－②2得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n ＞0， ∴a n ＋a n －1＞0， ∴a n －a n －1＝2， ∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ②∵a n ＋1＝2n ＋1， ∴b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴B n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1) ＝12－14n ＋2. 评析 有的数列本身不是等差数列，求其前n 项和时，可对其通项进行恰当变形，转化为已知数列或等差数列的和的问题. 上述求和法是“裂项相消法”，它是“变换通项法”的一种.对于变换通项法，再如：a n ＝n (n ＋1)，求S n 由a n ＝n (n ＋1)＝n 2＋n ∴S n ＝(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋…＋n ) 转化为两个常见数列的前n 项和 【例3】(1)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d . (2)若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和A n 和B n 满足关系式A n B n ＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，求a n b n . (3){a n }是等差数列，a 15＋a 12＋a 9＋a 6＝20，求S 20 【解】(1)(方法一)(方程思想) 设此数列首项为a 1，公差为d ， 则⎩

⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×12×11d ＝354，6(a 1＋d )＋12×6×5×2d 6a 1＋12×6×5×2d ＝3227， 解得d ＝5. (方法二)(整体思想) ⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶S 奇＝3227⇒⎩⎨⎧S 偶＝192，S 奇＝162. ∵S 偶－S 奇＝6d ，∴d ＝5. (2)由等差数列性质a n ＝a 1＋a 2n －12，