3.1.3__二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计
最新3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式教案
马鞍山中加双语学校数学组学引用清教学设计学科： 数学 年级： 高一授课时间： 一课时主备人：朱坤坤 总课题 第三章 三角恒等变换课时 1课 题3．1．3二倍角的正弦、余弦和正切公式 课型新授课教学目标知识与技能：会以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式 理解推导过程，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换.过程与方法：引导学生积极参与到推导过程当中情感态度价值观：树立辩证思维的能力，培养学生创新能力。
教学重点 以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式 教学难点二倍角的理解及其灵活运用教 学 内 容操作细则一、引入新课及学习目标展示［3分钟］ 1. 引入新课：一、复习准备：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．2.学习目标展示［2分钟］1，会借助于两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式2，灵活运用二倍角公式进行简单的恒等变换. 二、自学指导［30分钟］我们已经知道两角和的正弦、余弦、正切公式 ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．导入部分：激发学生学习兴趣，使学生对本节课要学内容有大概了解使学生对本节课所学内容和要达到的目标有清晰的了解思考：当β=α这些公式会变成怎么样呢？新课教学：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否化为只含有sin α或cos α形式的式子吗？2cos212sin αα=-；2cos22cos 1αα=-．22tan tan 21tan ααα=- 例题展示：例1、 已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos4,tan 4ααα的值．解：运用二倍角的正弦、余弦、正切公式，注意2α、4α是哪个象限角例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值．解：22tan 1tan 21tan 3ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-= 解得tan 25α=-+或tan 25α=--例3.① 化简cos71cos36；②求sin10sin30sin50sin70的值三、学习小结本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.四、检查巩固与要点深化 当堂练习，完成清学稿［10分钟］ 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式清学稿一、选择题1．已知sin αcos α=83，且4π<α<2π,则cos α－sin α的值为 （ ）A ．21B ．21-C ．41-D ．21± 2．函数x y 2sin =是 A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数根据课本思考老师提出的问题， 并积极回答。
二倍角正弦、余弦、正切公式教案
3．1．3二倍角的正弦、余弦、正切公式(导学案)义马市第一高级中学 黄海鹏一、教学目标（1）知识目标：识记二倍角公式，能运用二倍角公式进行求值、化简和证明。
（2）能力目标：培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想。
（3）德育目标：培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。
二、教学重点、难点重点：掌握二倍角公式、二倍角余弦公式的两种变形和公式成立的条件；能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。
难点：在运用当中如何正确恰当运用二倍角公式以及培养学生的化归、转化等数学思想。
三、教学情景设计1、回顾)(βα±S 、)(βα±C 、)(βα±T 等公式。
（复习旧知识，提问学生、引出课题。
）2、3、由βα=，能推导α2S 、α2C 、α2T 等公式吗？（启发、引导，学生探索）4、由22cos 2cos sin ααα=-中的平方联想到22sin cos 1αα+=，2C α有无其它变式？ （引导学生应用联想，类比的数学思想）5、对于任意角α，二倍角公式恒成立吗？有无限制条件？（类比的数学思想。
）6、练习：（出示一组填空题）（深化对二倍角公式的理解，学生独立思考和解答。
）7、例题分析：例1、口答下列函数值：（1）'3067cos '3067sin o o （2）)8(cos )8(sin 22ππ-（3）o o5.22tan 15.22tan 22- （4）o o 15cos 15sin （5）625sin 212π- （6）6tan 165tan22-π例2、已知),2,4(,1352sin ππ∈α=α求ααα4tan ,4cos ,4sin 的值。
（练习P 1351、）例3、求证：θ=θ+θ+θ-θ+tan 2cos 2sin 12cos 2sin 1 练习：化简θ+θ-2cos 12cos 1 通过直接应用、间接应用、巩固二倍角公式；由浅入深，巩固公式。
3.示范教案(3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式)
⑦思考过公式的逆用吗？想一想 C2α 还有哪些变形？ ⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα 吗？cos2α=2cosα 吗？tan2α=2tanα？
活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公 式，提醒学生注意公式中的 α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙 想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到 α,β 会有相等这个特殊情况，教师就此进入 下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生 到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，
在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较 为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新 课改精神. 三维目标 1.通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内 在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力, 从而提高解决问题的能力. 2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会 化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握 联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题 的能力. 3.通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发 现和勇于探索的科学精神. 重点难点 教学重点：二倍角公式推导及其应用. 教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 课时安排 1 课时
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷0资配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中2体2资配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，.卷编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试5写交卷、重底保电要。护气设管装设备线置备4高敷动调、中设作试电资技，高气料术并中课3试中且资件、卷包拒料中管试含绝试调路验线动卷试敷方槽作技设案、，术技以管来术及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式(2)教学设计
五、课后作业:学案第1、2、3、4、7题
学生默写公式，黑板上学生的板书完成后，老师点评，学生参照老师给出的准确答案进行比对，加深记忆。
教师（例题引入）：为了加深对二倍角公式的进一步理解和认识，本节课我们先将着重来学习一下如何运用二倍角公式进行化简，求值。
二、典例分析
例1、化简
（1）
(2)
解：（1）原式＝
（2）原式＝
＝
＝
＝
变式训练1、化简与求值
（1）
（2）
解：（1）原式＝
＝
（2）原式＝
＝
＝ 、
＝
＝
＝
例2、已知 , ,求 的值。
解：∵
∴
去括2、已知
解：∵
∴
∴
例3、已知函数
，
（1）求 的最小正周期
（2）求 的最大值以及取得最大值时 的取值。
设计意图：
掌握做题方法与解题思想，进一步巩固二倍角公式的变形应用
设计意图：二倍角公式的变形应用
设计意图：二倍角公式与和差公式及三角函数图像性质的综合应用，及培养学生善于发现和勇于探索的精神。
设计意图：学生及时运用本节课的知识点解决问题，巩固所学内容，加深印象。
设计意图：加深对本节知识的理解，让学生懂得如何归纳本节课的收获。
二倍角公式
1、 ；
2、 ；
3、 。注意：
2、学生板书完成之后，进行点评，并强调二倍角正切公式中角度取值范围的限定以及二倍角的角度的形式是多样的，并不仅限于2α是α的二倍的形式。
注意：二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍, 是 的二倍, 是 - 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如
3.1.3_二倍角的正弦、余弦、正切公式
基础梳理
一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 在公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 中，令 β＝α， 得到 sin 2α＝________，这就是二倍角的正弦公式； 在公式 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 中，令 β＝α， 得到 cos 2α＝________，这就是二倍角的余弦公式， 其变形形式有：cos 2α＝________＝________；
利用二倍角公式化简与证明
2 2 已知tan2β ＝tan2α＋
cos 2α－2cos 2β＝1.
1 ： cos 2α－2c 已知 tan β＝tan α＋ 2 求证 .求证： cos α
分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降 幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它 们的关系．
1 解析：∵1＋tan β＝1＋tan α＋ 2 ， cos α 1 2 ∴ 2 ＝ 2 ，∴cos2α＝2cos2β， cos β cos α 1＋cos 2α ∴ ＝1＋cos 2β， 2 ∴1＋cos 2α＝2＋2cos 2β， 即得 cos 2α－2cos 2β＝1.
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课 标 点 击
预 习 导 学
典 例 精 析
课 堂 导 练
课 堂 小 结
1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公 式及其推导过程．
2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正 用、逆用公式，进一步树立化归思想方法．
二、二倍角公式中应注意的问题 (1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解． α α α 如 8α 是 4α 的二倍角，α 是 的二倍角， 是 的 2 3 6 α α α α 二倍角等等．又如 α＝2× ， ＝2× ，„， n 2 2 4 2 α ＝2× n＋1等等． 2 π (2)当 α＝kπ＋ ，(k∈Z)时，tan α 的值不存在， 2 这时求 tan 2α 的值可用诱导公式求得． π π (3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如 sin ≠2sin . 3 6
二倍角的正弦、余弦、正切公式第一课时教案-数学高一必修4第三章三角恒等变换3.1.3人教A版
页眉内容第三章三角恒等变换3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、学习目标1.知识与技能1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换.(重点、难点)2.过程与方法经历二倍角公式的探究过程，培养学生发现数学规律的思维方法，分析问题和解决问题的能力，体会化归与转化的思想方法.3.情感、态度与价值观通过对二倍角公式的探究学习，培养学生的探索精神和应用意识，体会数学的科学价值和应用价值，不断提高自身的文化修养.二、教学重点难点重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式.难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、专家建议通过对二倍角推理，变形应用的学习，要特别加强二倍角公式的正用、逆用和变用的学习，从而培养发现思维能力，变异思维能力，分析问题解决问题的能力，强化数学探究意识，掌握转化与化归的数学思想方法。
四、教学方法自学-训练-点拨-练习-总结五、教学过程●课堂探究探究点一二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导问题1二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？答sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan2α.问题2根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答∵cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；或cos 2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.探究点二余弦的二倍角公式的变形形式及应用二倍角的余弦公式cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α变形较多，应用灵活．其中sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2称作降幂公式，1－cos α2＝sin 2α2，1＋cos α2＝cos 2α2称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．练习1：函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12的最小正周期是 ．解析 ∵f (x )＝32sin 2x ＋12(2cos 2x －1)＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.练习2：函数f (x )＝cos 2x ＋4sin x 的值域是 ． 解析 f (x )＝cos 2x ＋4sin x ＝1－2sin 2x ＋4sin x ＝－2sin 2x ＋4sin x ＋1＝－2(sin x －1)2＋3. 当sin x ＝1时，f (x )max ＝3； 当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－5.●新知展示1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝ ，sin α2cos α2＝ ；(2)C 2α：cos 2α＝ ＝ ＝ ； (3)T 2α：tan 2α＝ . 2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝ ，sin 2α2cos α＝ ； (2)(sin α±cos α)2＝ ；(3)sin 2α＝ ，cos 2α＝ ； (4)1－cos α＝ ,1＋cos α＝ . ●典例剖析类型一 利用二倍角公式给角求值例1 .求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8；(3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)sin 10°sin 50°sin 70°. 【分析】 第(1)题可根据2π5是π5的2倍构造二倍角的公式求值；第(2)题需将所求式变形逆用二倍角公式化简求值；(3)逆用二倍角的正切公式求解；(4)利用互余关系把正弦变成余弦，逆用二倍角公式化简、求值.【解析】(1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14. (2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.(3)原式＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝ 2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝18·sin 160°sin 20°＝18. 【小结】对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式.【变式训练】求下列各式的值. (1)cos 72°cos 36°；(2)1sin 50°＋3cos 50° . 【解】 (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.类型二 利用二倍角公式给值求值例2.已知sin(π4－x )＝513，0<x <π4，求cos 2xcos (π4＋x )的值.【分析】【解析】∵0<x <π4，∴π4－x ∈(0，π4). 又∵sin(π4－x )＝513，∴cos(π4－x )＝1213. 又cos 2x ＝sin(π2－2x )＝2sin(π4－x )cos(π4－x ) ＝2×513×1213＝120169，cos(π4＋x )＝sin[π2－(π4＋x )] ＝sin(π4－x )＝513，∴原式＝120169513＝2413.【小结】1.条件求值问题常有两种解题途径：(1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；(2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.2.当遇到π4±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.【变式训练】 (2014·扬州高一检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，且α∈(π2，π)，求sin 4α的值.【解】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝13.∴cos 2α＝13.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2α∈(π，2π).∴sin 2α＝－1－cos 22α＝－223.∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－429. 类型三 二倍角公式的综合应用 (1)化简：1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ；(2)化简：1＋sin 10°－1－sin 10°； (3)化简：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.【分析】 (2)1±sin 10°＝(sin 5°±cos 5°)2. (3)处理好2α与π4－α与π4＋α的关系. 【解析】(1)法一 1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ＝2cos 2θ－2sin θcos θ2sin 2θ－2sin θcos θ＝2cos θ(cos θ－sin θ)2sin θ(sin θ－cos θ)＝－1tan θ， ∴原式＝－1tan θ.法二 1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ＝(1－sin 2θ)＋cos 2θ(1－sin 2θ)－cos 2θ＝(sin θ－cos θ)2＋(cos 2θ－sin 2θ)(sin θ－cos θ)2－(cos 2θ－sin 2θ) ＝(sin θ－cos θ)(sin θ－cos θ－cos θ－sin θ)(sin θ－cos θ)(sin θ－cos θ＋sin θ＋cos θ)＝－2cos θ2sin θ＝－1tan θ， ∴原式＝－1tan θ.(2)1＋sin 10°－1－sin 10°＝1＋2sin 5°cos 5°－1－2sin 5°cos 5° ＝(cos 5°＋sin 5°)2－(cos 5°－sin 5°)2＝(cos 5°＋sin 5°)－(cos 5°－sin 5°) ＝2sin 5°. ∴原式＝2sin 5°. (3)原式＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.【小结】1.对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值.(2)使三角函数种数尽量少.(3)使三角函数式中的项数尽量少.(4)尽量使分母不含有三角函数.(5)尽量使被开方数不含三角函数.2.化简的方法：(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角. (2)降幂或升幂.(3)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin2θ. 【变式训练】 化简下列各式.(1)π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝________； (2)化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.【解析】 (1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α＞cos α，∴1－sin 2α＝1－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α ＝(sin α－cos α)2＝sin α－cos α.【答案】 (1)sin α－cos α(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2－2sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2＋2sin 2α24sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2cos α＝cos αsinα2cos α2cos α＝tan α2 ●课堂小结1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2 ·α2n ＋1(n ∈N *).2.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2.六、板书设计3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式七．当堂检测1.12sin π12cos π12的值等于( ) A.14 B.18 C.116 D.12 【解析】 原式＝14sin π6＝18. 【答案】 B2.下列各式中，值为32的是( ) A.2sin 15°－cos 15° B.cos 215°－sin 215° C.2sin 215°－1 D.cos 215°＋sin 215° 【解析】 A ：2sin 15°－cos 15°≠32， B ：cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32， C ：2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32， D ：cos 215°＋sin 215°＝1.故选B. 【答案】 B3.(2014·广州高一模拟)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为________.【解析】 由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－13， 则1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α ＝tan 2α＋11＋2tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋11＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝103. 【答案】 1034.(2014·盐城高一检测)证明：1＋sin 2α2cos2α＋sin 2α＝12tan α＋12.【证明】左边＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α2cos2α＋2sin αcos α＝(sin α＋cos α)22cos α(sin α＋cos α)＝sin α＋cos α2cos α＝12tan α＋12＝右边.所以1＋sin 2α2cos2α＋sin 2α。
二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计说明
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式片段教学设计（人教A版本必修4 第三章第一节）教材的地位及作用:1.本节容是三角函数中最基础的知识之一。
它是在学生学过三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后的又一重要公式。
2.本节在本章中处于承上启下的地位。
3.三角函数是高考的热点问题，而二倍角的正弦、余弦、正切公式是三角函数求值、化简及证明必备的基础知识点之一。
它为研究三角函数图象及性质等问题提供了又一必备的要素。
本节教材的作用则主要是可以培养学生逻辑思维能力和化归的重要数学思想方法，使学生体验的数学知识发生发展（形成）的过程，增进学生对数学知识的理解，增强学生学数学的兴趣和信心。
教学目标：1、知识目标：以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，掌握二倍角公式，运用二倍角公式解决有关问题。
2、能力目标：培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想。
3、德育目标：培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。
教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.教学方法和手段（1）采用问题解决教学模式，培养学生不断地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；（2）注重类比、联想、构造、转化等数学方法在问题解决中的应用，（3）注重整体意识、换元思想、方程思想在解题中的灵活应用，特别注重对知识与方法的总结和提炼。
多媒体平台教学流程：复习引入，创设情境观察探究、推进新课引导探究、深化认识例题讲解、归纳步骤课堂练习、巩固提高课堂小结、构建体系深化拓展?D C BA100米50米教学 步骤教学过程设计意图 一、复习引入1.（复习性提问）：请同学回顾两角和的公式 （学生回答，教师板书）2.创设情境如图,为了得到塔的高度,某人在距塔的竖直山脚B 100米的A 处测得塔底的仰角为α、塔顶的仰角为2α,并测得山高为50米,求塔高?将实际问题转化为数学问题,并进行分析:温旧知新，让学生明确学习的容，通过复习公式，使学生熟练掌握公式，深刻理解公式的本质涵，为顺利的推导二倍角公式垫定基础。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1.知识与技能以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解推导过程,掌握其应用.2.过程与方法经历二倍角公式的探究过程,培养学生发现数学规律的思维方法,培养学生分析问题和解决问题的能力,并体会化归与转化的思想方法.3.情感、态度与价值观通过对二倍角公式的探究学习,培养学生的探索精神和应用意识,体会数学的科学价值和应用价值,不断提高自身的文化修养.重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式.难点:二倍角的理解及其灵活运用.1.+2的化简结果是()A.2cos 4-4sin 4B.2sin 4C.2sin 4-4cos 4D.-2sin 4解析:原式=+2+2=2|sin 4|+2|sin 4-cos 4|.∵sin 4<0,sin 4<cos 4,∴原式=-2sin 4+2(cos 4-sin 4)=2cos 4-4sin 4.答案:A2.函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是.解析:f(x)=sin-2sin2x=sin 2x-cos 2x-2=sin 2x+cos 2x-=sin,故该函数的最小周期为=π.答案:π3.如图,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于P,Q两点,已知点P的坐标为.(1)求的值;(2)若=0,求sin(α+β).解:(1)由三角函数定义得cos α=-,sin α=,∴原式===2cos2α=2×.(2)∵=0,∴α-β=.∴β=α-.∴sin β=sin=-cos α=,cos β=cos=sin α=.∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=.。
3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式教案
3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ 练习：（1）在△ABC 中，B A B A cos cos sin sin <，则△ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形（2） 的值为12sin 12cos 3ππ-（ ）A ． 0B ．2C ．2D ．2- 思考：已知432πβπ<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求α2sin 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），（二）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈（三）例题讲解例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<． 又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例2．在△ABC 中，54cos =A ，。
3.1.3二倍角的正弦,余弦,正切公式教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标1．知识与技能通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2．过程与方法通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.3．情感态度与价值观通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.二、重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式。
.三、课时安排1课时四、教学设想（一）复习式导入：同学们首先回顾一下两角和与差的正弦、余弦和正切公式(在草稿纸上写)cos(α＋β)＝______________________(C α＋β)；cos(α－β)＝______________________(C α－β)；sin(α＋β)＝______________________(S α＋β)；sin(α－β)＝_____________________(S α－β)；tan(α＋β)＝________________(T α＋β)；tan(α－β)＝________________(T α－β)．你能利用两角和的公式推导出sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式吗？（二）公式推导：请同学们看课本P 132—P 133并填写空白，说明为什么？（学生自己讨论，得出把上述公式中β看成α即可）()sin2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． （上述公式成立的条件：2,22k k ππαπαπ≠+≠+）注意：二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其它如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍, 3a 是6a 的二倍等。
高中数学3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式教案
20xx.2.26“抗疫保学〞网络教学教案3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式xx20中 谢 波一、教学目标1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能利用二倍角公式进行化简、求值．3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．二、教学重难点重点：能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式难点：能利用二倍角公式进行化简、求值四、教学过程(一)、问题探究问题1：两角和的正、余弦和正切公式：sin()sin cos cos sin ;cos()cos cos sin sin ;tan tan tan().1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=++=-++=- 假设βα=我们可以得到怎样的结论？222sin 22sin cos ;cos 2cos sin ;2tan tan 2.1tan ααααααααα==-=-注：〔1〕使学生体会倍角公式中所蕴含的换元思想，并且运用倍角公式解决实际问题； 〔2〕α的取值范围.问题2：在二倍角的余弦公式2C α中，怎样要求表示式仅含α的正弦〔余弦〕？22cos 22cos 112sin .ααα=-=-〔二〕二倍角公式的应用与变形：1．用二倍角公式表示以下式子：〔口答〕1sin 4_________;2cos _________;3tan3_________.ααα===（）（）（）24224αααααα注：“倍”是描述两个数量之间关系的，是的二倍，是的二倍，是的二倍，这里蕴含着换元思想.2．求以下各式的值： 22221sin15cos152cos sin ;88tan 22.53; 42cos 22.5 1.1tan 22.5ππ---（）; （）（）（）注：二倍角公式的正用、逆用.3．用二倍角公式填空： 22222221sin cos _______;2)(sin cos )=____+sin2;3cos sin ________;(4)12sin 52cos 1______;1cos 21cos 2(6)_________;(7)_____;(8)sin ___________;22(9)cos __________.αβααααααααααα=+-=--=+-====（）（（）=______;（）注：二倍角公式的变形〔升降幂公式〕22221cos 21cos 2(1)sin ,cos .221cos 21cos 2(2)=sin ,=cos .22αααααααα-+==-+降幂公式：升幂公式： 4.公式逆用的练习： 2222(1)sin15sin 75____(2)cos sin ____(3)12sin 22.5_____66tan15(4)_____(5)sin10cos 20cos 40____.1tan 15ππ==-===；—；；；— 〔二〕典型例题讲解： 例1. ,24,1352sin παπα<<=求ααα4tan ,4cos ,4sin 的值. 变式练习1. sin ,sin 2,cos 2,tan 2.2πααπααα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭5已知，，求13 变式练习2. 481285444ααααπαπ<<已知cos =-，，求sin ，cos ，tan 的值. 例2. 4225ABC A B A B ∆==+在中，cos ，tan ，求tan(2)的值. 注：例2用两种解法解析，让学生体会不同的建模思想.引申练习：tan 2.C 在题目条件不变的前提下，如何求〔五〕课堂练习：135P （书练习2,3,4） 3.sin()cos 25απα-=2已知,求的值.3.sin2sin tan 2παααπα=-∈已知,(,)求的值.1tan 2,tan 3αα=4.已知求的值. 〔六〕课堂小结：1、二倍角正弦、余弦、正切公式sin 22sin cos R αααα=∈（）22cos2cos sin ()R αααα=-∈22tan tan 2 (,1tan 242k k k Z απππαααπα=≠+≠+∈-且）2、注意正用 、逆用、变形用2222cos 2=12sin ,cos 2=2cos 1;1cos 21cos 2sin ,cos .22αααααααα---+==〔七〕课后作业138.P 书习题31A组14,15,16,17,18.。
3.示范教案(3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式)-推荐下载
tan tan tan(α+β)= 1 tan tan
tan 2
2 tan 1 tan 2
(T2 )
这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切 公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教 师适时提出问题③，点拨学生结合 sin2α+cos2α=1 思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为 以下右表中的公式.
推进新课 新知探究 提出问题 ①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写) ②你写的这三个公式中角 α、β 会有特殊关系 α=β 吗？此时公式变成什么形式？ ③在得到的 C2α 公式中，还有其他表示形式吗？ ④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？ ⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？ ⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍 后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos2( )-sin2( ).
⑦思考过公式的逆用吗？想一想 C2α 还有哪些变形？ ⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα 吗？cos2α=2cosα 吗？tan2α=2tanα？
活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公 式，提醒学生注意公式中的 α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙 想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到 α,β 会有相等这个特殊情况，教师就此进入 下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生 到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集≠ 2 kπ+ 4 和 α≠kπ+ 2 (k∈Z)时才成立，这一条件限制要引起学生的
浙江省青田中学高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计 新人教A版必修4
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式教学目标1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解他们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程；2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。
3、通过一题多杰、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。
教学重难点 重点：掌握二倍角正弦、余弦、正切公式，灵活运用倍角公式解决有关问题。
难点：倍角公式的活用以及培养学生的转化、化归等数学思想。
教学过程 一、复习两角和与差的余弦公式()C αβ±：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+-=cos()cos cos sin sin αβαβαβ-+=两角和与差的正弦公式()S αβ±：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-两角和与差的正切公式()T αβ±：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ=⋅++- tan tan tan()1tan tan αβαβαβ=⋅--+ 二、新课探究：你能利用()C αβ±，()S αβ±，()T αβ±推导出sin 2α，cos2α，tan 2α的公式吗？在公式)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 中，当βα=时，得到相应的一组公式：αααcos sin 22sin =； )(2αSααα22sin cos 2cos -=；)(2αCααα2tan 1tan 22tan -=； )(2αT 因为1cos sin 22=+αα，所以公式)(2αC 可以变形为 1cos 22cos 2-=αα或 αα2sin 212cos -=)(2αC ' 公式)(2αS ，)(2αC ，)(2αC '，)(2αT 都叫做倍角公式． (1) 二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．(2)二倍角公式为仅限于α2是α的二倍的形式，其它如α4是α2的两倍，2α是4α的两倍，α3是23α的两倍，3α是6α的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．因此，要理解“二倍角”的含义，即当2=βα时，α就是β的二倍角．凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式．尤其是“倍角”的意义是相对的 (3) 公式)(2αS ，)(2αC ，)(2αC '，)(2αT 成立的条件是: 公式)(2αT 成立的条件是Z k k k R ∈+≠+≠∈,4,2,ππαππαα．其他R ∈α (4) 熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）二倍角公式的变形：①21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= 降幂公式 ②21cos 2cos2αα+=, 21cos 2sin 2αα-= 升幂公式 三、典型例题【例1】已知5sin 213α=，42ππα<<，求sin 4α，cos4α，tan 4α的值；【例2】(1)在ABC ∆中，4cos 5A =，tan 2B =，求tan(22)A B +的值； (2) ABC ∆的三个内角为,,A B C ，求当A 为何值时，cos 2cos2B C A ++取得最大值，并求出这个最大值。
【新课标必修】《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学案例
课题 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式教学目标：知识目标：以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.能力目标：培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；情感态度与价值观：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.教学重点难点：1．重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；2．难点：二倍角的理解及其灵活运用。
教法与学法：1．教法选择：研究性学习方式——“设置问题情境，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”；2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展。
教学过程：一、设置情境，激发探索二、归纳总结，变式演练三、归纳小结，课堂延展教学设计说明1．教材地位分析：本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.2．学生现实分析：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律3.不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法。
课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂,独立学习,所以不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法。
本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一般思路,让学生逐步领悟这种科学的研究方法,有利于他们今后能够更好地开展研究性学习活动4．让计算机和多媒体真正走入数学课堂,发挥它们的辅助作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计王祥教学分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”.在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神.教学目标1.知识与技能：通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.过程与方法：通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.情感态度价值观：通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.课时安排1课时教学过程导入新课(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ). ⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα吗？cos2α=2cosα吗？tan2α=2tanα？活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin2α=2sinαcosα（S 2α）;cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos2α=cos 2α-sin 2α(C 2α); tan(α+β)=)(tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan 22ααααβαβαT -=⇒-+ 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin 2a =2sin 4a cos 4a ,cos 3a =cos 26a -sin 26a 等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4a cos 4a =2(2sin 4a cos 4a )=2sin 2a ,40tan 140tan 22-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan 2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.若sin2α=2sinα,则2sinαcosα=2sinα,即sinα=0或cosα=1,此时α=kπ(k ∈Z ).若cos2α=2cosα,则2cos 2α-2cosα-1=0,即cosα=231-(cosα=231+舍去). 若ta n2α=2tanα,则aa 2tan 1tan 2-=2tanα,∴tanα=0,即α=kπ(k ∈Z ). 解答：①—⑧（略）例题讲解：例1 已知sin2α=135,4π<α<2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.解:由4π<α<2π,得2π<2α<π. 又∵sin2α=135, ∴cos2α=a 2sin 12--=1312)135(12-=--. 于是sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2×135×(1312-)=169120-; cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin 22α=1-2×(135)2=129119; tan4α=a a 4cos 4sin =(-169120)×119169=119120-. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.课后作业课本习题3.1 A组15、16、17.课题小结1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.课后反思：1.新课改的核心理念是：以学生发展为本.本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式.本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生记忆中.本节课的教学设计流程还是比较流畅的.2.纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的.3.教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体.学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣.。