相量法
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相量法的运算公式
相量法的运算公式
相量的运算公式包括：
1.相量的加减法：
a+b = (a_x + b_x) + (a_y + b_y) j
a-b = (a_x - b_x) + (a_y - b_y) j
其中，a_x和a_y分别为向量a在x轴和y轴上的分量，b_x和b_y分别为向量b在x轴和y轴上的分量，j为虚数单位。
2.相量的乘法：
a*b = (a_magnitude * b_magnitude) * exp(j * (a_angle +
b_angle))
其中，a_magnitude和b_magnitude分别为向量a和b的模长，a_angle和b_angle分别为向量a和b与实部轴之间的夹角，exp为指数函数，j为虚数单位。
相量法拓展：
1.相量法不仅适用于平面向量，在空间向量中同样适用，只是需要增加z轴分量。
2.相量法不仅适用于电学领域中的交流电路分析，还适用于机械学、热力学的分析，以及计算机图形学中的向量运算等领域。
3.利用相量法，可以求解平面图形的面积、角度、垂直平分线、内心、外心等问题。
相量法
▪幅值、初相、角频率可确定一个正弦量，称为 正弦量的三要素。
二、同频率正弦量的比较 例：
u1(t)=U1mcos(t+1)
u2(t)=U2mcos(t+2)
(1) 相位差：相角或相位之差，也称相位角差。 用表示， = (t+1) - (t+2) = 1 - 2 相位差在任何瞬间都是一个常数，即等于它们的 初相之差，而与时间无关。 相位差与计时起点的选择无关。
如图5-2（a）、（b）、（c）、（d）分别表 示两个正弦量同相、超前、正交、反相。
三、正弦电流、电压的有效值 1、有效值
周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直 流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周 期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有 效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效 值用大写字母I、U表示。
部分别相加或相减。
复数的加减运算可以用平行四边形法则在复平 面上用作图法来进行。
(3)乘法运算 ：用极坐标形式或指数形式来进行。 A• B ab(a b ) abe j(a b )
即：复数相乘，其模相乘，其辐角相加。 (4)除法运算 ：用极坐标形式或指数形式来进行。
A/ B a / b(a b ) a / be j(a b ) 即：复数相除，其模相除，其辐角相减。 (5)旋转因子：复数ej称为旋转因子。
同理：
U
1 2
Um
0.707 U m
U m 2U
▪通常所说的正弦电压、电流的值均指有效值。
§8-3 相量法的基础
相量法就是用复数来表示正弦量，使描述正弦电 路的微分(积分)方程转化为代数形式的方程，而这 些方程在形式上与电阻电路的方程相类似，从而 使正弦激励下的电路的分析和计算大大简化。
相量法 (Phasor method)
Chapter 8 相量法 （Phasor method）
相量 — 用于表示正弦量的复数。 相量法 — 复数分析法
概述 正弦量 正弦量的相量表示和相量的主要性质 电路定律的相量形式
1、正弦量 Am
f (t) = Amcos(t + )
振幅（有效值）、角频率、
0
和初相角三个要素。
T
2、复数几种表示形式
i 2I cos(t i )
U Ue ju U u I Ie ji I i
相量 vs
正弦量
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
符号说明
瞬时值 --- 小写 有效值 --- 大写 最大值 --- 大写+下标 复数（相量） --- 大写+ “.”
u、i U、I Um
U
R 1/jC I
代入元件的VAR，得:
RI
1
jC
I
jLI U s
U
+
s
+ U R
+
U C
jL
+
U
L
I
Us
200
200
R j(L 1C)
1
j(3
1 2
1 3 2
)
1 j
200 2450
2 45 A
3
i 2 cos(3t 45 ) A
UR RI 2 45V
UC
1 jC
I
j1 2
电压、电流关系
瞬时值
有效值
设
u 2U cost
R则
U IR
i 2I cost
相量图
相量式
I U
u、 i 同相
相量 — 用于表示正弦量的复数。 相量法 — 复数分析法
概述 正弦量 正弦量的相量表示和相量的主要性质 电路定律的相量形式
1、正弦量 Am
f (t) = Amcos(t + )
振幅（有效值）、角频率、
0
和初相角三个要素。
T
2、复数几种表示形式
i 2I cos(t i )
U Ue ju U u I Ie ji I i
相量 vs
正弦量
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
符号说明
瞬时值 --- 小写 有效值 --- 大写 最大值 --- 大写+下标 复数（相量） --- 大写+ “.”
u、i U、I Um
U
R 1/jC I
代入元件的VAR，得:
RI
1
jC
I
jLI U s
U
+
s
+ U R
+
U C
jL
+
U
L
I
Us
200
200
R j(L 1C)
1
j(3
1 2
1 3 2
)
1 j
200 2450
2 45 A
3
i 2 cos(3t 45 ) A
UR RI 2 45V
UC
1 jC
I
j1 2
电压、电流关系
瞬时值
有效值
设
u 2U cost
R则
U IR
i 2I cost
相量图
相量式
I U
u、 i 同相
电路分析课件第八章相量法
KVL：任意时刻，任一回路，U=0
三、受控源的相量形式
i1
I1
R
正弦电流
i 1 电路时：
R
1I1
本章小结：
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示， RLC元件用阻抗、感抗、容抗表示，画出电路的相 量模型，利用KCL、KVL和欧姆定律的相量形式写 出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此， 应用相量法应熟练掌握:
∴ i =46.2 2cos(314t–27º)A j I1
+1 I
相量图
I2
注意：
在分析正弦交流电路时字母的写法：
i — 瞬时值 I — 有效值 Im — 最大值 I — 有效值相量 Im— 最大值相量
三、不同频率的正弦量不能用相量法运算。
相量只含有正弦量的有效值(最大值)和初相 位的信息，不包含频率的信息，即：在运用相量 法分析正弦量时，默认为同频率。
将 I (或 U)定义为电流i (或电压u) 的相量，它含有 正弦量的振幅和相位的信息。
注意：
有一个正弦量便可以得到一个相量； 有一个相量也可以写出对应的正弦
量。两者是一一对应的关系，决不
是相等的关系。
u=220 2 cos(314t+45º)V
U=220 45ºV u U
I=50 –30ºA 一一对应 i =50 2 cos(ωt–30º)A i I
U 相量形式电路图
相量关系既反映了u、i 的有效 值关系又反映了相位的关系。
I U 相量图
2、电感
iL
u
若：i = 2 Icos(ωt+ψi )
则：u=L
di dt
=–
2 IωLsin(ωt+ψi )
相量法
i , Im , I
例:i = 10 sin(314t+30°) A ° u= 5 cos(314t-150°) V ° 求电压和电流的相位差. 求电压和电流的相位差.
= 30° (150°) = 180°
i = 10 sin(314t+30°) ° = 10 cos(314t+30°-90°) ° ° = 10 cos(314t-60°) °
i 2,角频率ω ,角频率 Im 反映正弦量变化的快慢 2π 单位 rad/s O ωT=2π,ω=2πf π f=1/T ψi 频率f 的单位为赫兹 赫兹( ) 频率 的单位为赫兹(Hz) 周期T的单位为 的单位为秒 ) 周期 的单位为秒(s) f =50Hz,T = 0.02s ω =314 rad/s
二,正弦量的三要素: 正弦量的三要素
i + 瞬时值表达式: 瞬时值表达式: u
振幅I 角频率 初相位(角 角频率ω,初相位 振幅 m,角频率 初相位 角)ψi
-
i = I m cos( ω t + ψ i )
1,振幅Im ,振幅 正弦量在整个振荡过程中达到的最大值. 正弦量在整个振荡过程中达到的最大值.
i = 10 sin(314t+30°) °
= 60° (150°) = 90°
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率,同函数,同符 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率,同函数, 计算下列两正弦量的相位差. 计算下列两正弦量的相位差. 解 例 且在主值范围比较. 号,且在主值范围比较.
(1) i1(t ) = 10cos(100π t + 3π 4) i2 (t ) = 10cos(100π t π 2)
U=
def
电路分析相量法
量的相量乘以 jω ，即表示di/dt 的相量为
j I I( i 90o )
该相量的模为ωI ，辐角则超前原相量π/2 。
对 i 的高阶导数 dni/dtn ，其相量为 ( j )。n I
3)正弦量的积分
设 i 2I cos( t i )，则
idt Re[ 2Ie j t ] dt Re[ (
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | (1 2 )
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算
a)代数形式
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
(a1 (a2
jb1 )(a2 jb2 )(a2
jb2 ) jb2 )
(a1a2
b1b2 ) j(a2b1 a22 b22
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 ，则
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则：
+j F1 +F2 F1
F2 o
+1
+j F1
F2 o
F1－F2 +1
2)乘法运算 a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
di d Re[ 2Ie j t ] Re[ d ( 2Ie j t )] Re[ 2( j I)e j t ]
dt dt
dt
Re[ 2 Ie ] j( ti 90o ) 2 I cos( t i 90o )
上式表明：
复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部；
电路原理课件 第8章 相量法
三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A
第八章相量法
i i
i
i
i
如 i 26 2 cos(t 60) A 26e j 60 A 2660 A I 对应的有效值相量为：
Im 26 2e j 60 A 26 260 A 其最大值相量为：
U 同理若有： 220e j 30V 则有; u 220 2 cos(t 30)V 2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie j e jt 其中复常数 2Ie j 2I i 称为旋转相量的复振幅， e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
dt 2
③正弦量的积分
i 2I cos(t i ) 则 idt Re [ 2 Ie jt ]dt Re [ 2 Ie jt dt ] 如
jt I I Re [ 2 ( )e ] 2 cos(t i ) j 2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原 j 相量 I 除以 . I I 表示为： ( i ) idt
F F1 F2 F1 F2 [cos( 1 2 ) j sin(1 2 )]
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 a2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2 a2 b2
1
i1 I1m cos(t i 1 ) A 和 i2 I 2 m cos(t i 2 ) A 则 i1 与 i 2 如 的相位差 12 (t i1 ) (t i 2 ) i1 i 2 （初相之差）
i
i
i
如 i 26 2 cos(t 60) A 26e j 60 A 2660 A I 对应的有效值相量为：
Im 26 2e j 60 A 26 260 A 其最大值相量为：
U 同理若有： 220e j 30V 则有; u 220 2 cos(t 30)V 2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie j e jt 其中复常数 2Ie j 2I i 称为旋转相量的复振幅， e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
dt 2
③正弦量的积分
i 2I cos(t i ) 则 idt Re [ 2 Ie jt ]dt Re [ 2 Ie jt dt ] 如
jt I I Re [ 2 ( )e ] 2 cos(t i ) j 2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原 j 相量 I 除以 . I I 表示为： ( i ) idt
F F1 F2 F1 F2 [cos( 1 2 ) j sin(1 2 )]
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 a2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2 a2 b2
1
i1 I1m cos(t i 1 ) A 和 i2 I 2 m cos(t i 2 ) A 则 i1 与 i 2 如 的相位差 12 (t i1 ) (t i 2 ) i1 i 2 （初相之差）
相量法基础及其应用
相量法基础及其应用1. 相量法基础1.1相量定义1.1.1相量定义（国标中相量的定义）《GB/T 2009.1-2008 电工术语 基本术语》对相量作了如下定义：相量：表示正弦量的复数量，其辅角等于初相，其模值等于方均根值或振幅。
注1：)cos()cos(2)(00θωθω+=+=t A t A t a m 的相量为00m θθj j e A Ae 或注2：相量也可用相量图表示1.1.2 相量定义（旋转矢量）相量是按照角速度以逆时针方向旋转的旋转矢量，为区别于非旋转的矢量，将用大写字母上加“﹒”对相量进行标记。
如图所示，在将相量置于复数坐标系后，可以描述为（1）指数形式)(ϕω+•=t j Be B （2）极坐标形式ϕω+∠=•t B B（3）代数形式)sin()cos(ϕωϕω+++=•t jB t B B又称图1为相量•B 的相量图 图11.2相量的引入—正弦量的相量物理和工程领域中，常会使用到正弦信号（例如交流电路的分析），这时可以使用矢量来简化分析。
相量是振幅、相位和频率均为时不变的正弦波的一个复数，是更一般的概念解析表示法的一个特例。
如果将正弦量的三个要素分别与相量的模值，初始角度，旋转角度一一对应起来，即用相量的模值表示正弦量的有效值或幅值、用相角的初始角度表示正弦量的初相位、用相量的旋转角速度标志正弦量的角频率，就实现了正弦量从时间域到相量域的映射：时间域的正弦量 相量域的正弦量)( )cos(2ϕωϕω+∠=⇔+=•t I I t I i需要指出的是：在同一个正弦交流电路中，各变量的频率（或角频率）是相同的，这时候正弦量的相量通常简化为：)(sin cos ϕωϕϕϕ+∠=+=∠=•••t I I jI I I I I 而不是或习惯上，用正弦量的有效值而不是幅值与相量的模相对应，这时候的相量称为有效值相量，或简称相量；如果对正弦量的幅值与相量的模相对应，则称最大值相量，并加下标“m ”进行标记。
第八章相量法
...... 幅角
A 可在复平面中画出
佛山科学技§术学8院-1 复数
现代制造装备工程技术开发中心
（3）直角坐标和极坐标间转换
A = a + jb = a2 + b2 tan-1 a b
A = A φ = A cosφ + j A sinφ
例： A = 1 + j = 245 A = 230 = 2cos30 + j 2sin30
B b1 + jb2
b12
+
b2 2
b2 1
+
b2 2
佛山科学技§术学8院-1 复数
现代制造装备工程技术开发中心
三，复数的旋转因子
（1） 含义： A • e jΨ = A （φa + Ψ） 复数模不变，将此复数向量逆时针旋转
一个角度
A • e jΨ
A
φa
佛山科学技§术学8院-1 复数
现代制造装备工程技术开发中心
佛山科学§技术8学-院2 正弦量
现代制造装备工程技术开发中心
二、正弦 、 （以正弦 为例）
1、正弦 ：一种特殊的、周期的、交变的电流
2、正弦 表示方法：
（1）数学式： i = Imcos(ωt + φi )
说明： ——正弦电流的最大值，振幅 ——角频率（反映正弦量变化快慢） ——周期 ——频率
乘法：模相乘， 角相加。
A = A φa
说明：
AB = A B φa + φb
B=
B
Байду номын сангаасφb
A
=
A φa - φb
B B
AB = (a1 + ja2)(b1 + jb2) = (a1b1 - a2b除2)法+ ：j(模a1b相2 +除a，2b1)
A 可在复平面中画出
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（3）直角坐标和极坐标间转换
A = a + jb = a2 + b2 tan-1 a b
A = A φ = A cosφ + j A sinφ
例： A = 1 + j = 245 A = 230 = 2cos30 + j 2sin30
B b1 + jb2
b12
+
b2 2
b2 1
+
b2 2
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三，复数的旋转因子
（1） 含义： A • e jΨ = A （φa + Ψ） 复数模不变，将此复数向量逆时针旋转
一个角度
A • e jΨ
A
φa
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二、正弦 、 （以正弦 为例）
1、正弦 ：一种特殊的、周期的、交变的电流
2、正弦 表示方法：
（1）数学式： i = Imcos(ωt + φi )
说明： ——正弦电流的最大值，振幅 ——角频率（反映正弦量变化快慢） ——周期 ——频率
乘法：模相乘， 角相加。
A = A φa
说明：
AB = A B φa + φb
B=
B
Байду номын сангаасφb
A
=
A φa - φb
B B
AB = (a1 + ja2)(b1 + jb2) = (a1b1 - a2b除2)法+ ：j(模a1b相2 +除a，2b1)
第8章 相量法
设 i(t)=ImCos(ω t+Ψ )
1 T 2 I= I m Cos 2 ( ωt + Ψ )dt T ∫0
Q
∫
T
0
Cos ( ωt + Ψ )dt = ∫
2
T
0
1 + cos 2(ωt + Ψ ) 1 dt = T 2 2
Im 1 2 T Im ⋅ = = 0.707 I m ∴ I= T 2 2 Im = 2I
(j = − 1 为虚数单位 )
A a Re
Im b O
θ
A A=|A|ejθ =|A| θ a Re
直角坐标表示 极坐标表示
a =| A | cosθ b =| A | sinθ
或
二、 复数运算 (1)加减运算 加减运算——直角坐标 加减运算 直角坐标 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 若 则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2) Im Im A2 A1 O Re -A2 O A2 A1 Re 加减法可用图解法。 加减法可用图解法。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应 的复指数函数： 的复指数函数：
i = 2 ICos(ωt + Ψ ) ↔
A(t ) = Re[ 2 Ie
jψ
j(ωt +Ψ )
]
A(t)还可以写成 A(t ) = Re[ 2 Ie e ] = Re[ 2 I e jωt ] 还可以写成 复常数 A(t)包含了三要素：Im、 Ψ 、ω ，复常数包含了Ι m , Ψ 。 包含了三要素： 包含了三要素
o
1. 已知复数 已知复数A=4+j5，B=6-j2。试求 ， 。试求A+B、 、 A-B、A×B、A÷B。 、 、 。 A + B = (4 + 6) + j(5 − 2) = 10 + j3 ≈ 10.4/ 16.7° A − B = (4 − 6) + j[5 − (−2)] = −2 + j7 ≈ 7.28/ 106° A = 4 + j5 = 6.4/ 51.3° B = 6 − j 2 = 6.32/− 18.4° A × B = 6.4 × 6.32/ 51.3° + (−18.4°) = 40.4/ 32.9°
电路分析第08章.相量法
w1 w2
不能比较相位差
(4) i1(t ) 5 cos(100 t 300 ) i2 (t ) 3 cos(100 t + 300 )
i2 (t ) 3 cos(100t 1500 )
j 300 (1500 ) 1200
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
则:
A1 A2
A1 e jq1
A2 e jq2
A1
A e j(q1 +q2 ) 2
A1 A2 q1 + q 2 乘法：模相乘，幅角相加。
A1 A2
| A1 | θ 1 | A2 | θ 2
| A1 | e jθ1 | A2 | e jθ 2
| A1 | e j( θ 1θ 2 ) | A2 |
反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率(angular frequency)ω
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
w
d dt
2
f
2
T
单位： rad/s ，弧度 / 秒
i
T
(3) 初相位(initial phse angle)qi
反映正弦量的计时起点时 的相角，常用角度表示。
qi
Im O
| A1 | | A2 |
θ1 θ2
除法：模相除，幅角相减。
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(3) 旋转因子：
复数 ejq =cosq +jsinq =1∠q
Im
A• ejq
q A
0
Re
A• ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q ，而模不变。故
第八章相量法
复指数中I 是以正弦量的有效值为模，以初相为幅角的复数（复常数），它定义为正弦量的相量。计作：
=I =I i有效值相量
m=Im i幅值相量
2．向量图：相量是一个复数，它在复平面上的图形成为相量图。
3．复指数函数 I = I 的几何意义
在复指数函数 I （Re[ I ]=Re[ I ]）中，复常数 I = I i——称为旋转矢量的复振幅； ——称为旋转因子，两者相乘，表示复振幅在复平面上不断逆时针旋转的旋转矢量。正弦量的瞬时值等于对应的旋转矢量在实轴上的投影。可见相量和正弦量建立了一一对应的关系
3．正弦量的积分
设i= Icos（ t+ i）,则对电流微分有：
上式表明：正弦量的积分是同频的正弦量，其相量等于原相量 除以 ,若为n阶导数则除以（ ）n。
例题8-2已知两个正弦电流为i1=10 cos（314t+ /3）i2=22 cos（314t+5 /6），求：和、微分、积分
解： 1=10 /3 2=22 5 /6
2．复பைடு நூலகம்的乘除：化成极坐标形式，模与模相乘除，幅角相加。
§8-1 正弦量
一、正弦量
1．随时间按正弦规律变化电流和电压，统称正弦量。正弦电流在图示参考方向下，其数学表达式为：
i=Imcos（ t+ i）
若方向相反i=-Imcos（ t+ i）则初相于参考方向有关。改变参考方向，初相改变1800。
2．正弦量的三要素（频率、幅值、初相位）
（3） i—初相。正弦量在t=0时的相位，称为初相位。 i〈180o
初相与计时零点的有关
3．性质：乘以常数、求和、积分、微分等运算，应为同频率的正弦量。
二、正弦量的有效值
在工程上，将电流电压在一个周期内产生的平均效应换算成与之相等得直流量，这一直流量称为周期量的有效值；用I、U表示。
=I =I i有效值相量
m=Im i幅值相量
2．向量图：相量是一个复数，它在复平面上的图形成为相量图。
3．复指数函数 I = I 的几何意义
在复指数函数 I （Re[ I ]=Re[ I ]）中，复常数 I = I i——称为旋转矢量的复振幅； ——称为旋转因子，两者相乘，表示复振幅在复平面上不断逆时针旋转的旋转矢量。正弦量的瞬时值等于对应的旋转矢量在实轴上的投影。可见相量和正弦量建立了一一对应的关系
3．正弦量的积分
设i= Icos（ t+ i）,则对电流微分有：
上式表明：正弦量的积分是同频的正弦量，其相量等于原相量 除以 ,若为n阶导数则除以（ ）n。
例题8-2已知两个正弦电流为i1=10 cos（314t+ /3）i2=22 cos（314t+5 /6），求：和、微分、积分
解： 1=10 /3 2=22 5 /6
2．复பைடு நூலகம்的乘除：化成极坐标形式，模与模相乘除，幅角相加。
§8-1 正弦量
一、正弦量
1．随时间按正弦规律变化电流和电压，统称正弦量。正弦电流在图示参考方向下，其数学表达式为：
i=Imcos（ t+ i）
若方向相反i=-Imcos（ t+ i）则初相于参考方向有关。改变参考方向，初相改变1800。
2．正弦量的三要素（频率、幅值、初相位）
（3） i—初相。正弦量在t=0时的相位，称为初相位。 i〈180o
初相与计时零点的有关
3．性质：乘以常数、求和、积分、微分等运算，应为同频率的正弦量。
二、正弦量的有效值
在工程上，将电流电压在一个周期内产生的平均效应换算成与之相等得直流量，这一直流量称为周期量的有效值；用I、U表示。
第08章相量法
？ 则：U＝10V U 10e j15V？ -j15º 已知： I 10050 A
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
相量法
相量图： ut U mCos t
+j
U m U m
U m Sin
0 U mCos
θ
同频率的正弦量，才能 画在同一个相量图上。
+1
例8.2：写出正弦量的相量并画出相量图：
解: i1 t 5Cos 314t 60
0
i2 t 10Sin 314t 60
同符号的信号才能比较
i2 t I 2mCos t 300 A
负号表示反相，即相差±180 0 若原相位为负，即相差+180 0
1 2
0
若原相位为正，即相差-180
i2 t I 2mCos t 30 180 A
0 0
0
30 150
1 I 0 2 Cos2 t 2 i 1dt T
T
2 m
2 Im 1 Im T t0 0.707I m T 2 2
同理：
1 T 2 1 U 0 u dt 2 U m 0.707U m T
1 有效值 最大值 2
例8.1：写出: 1 ut 120Cos314t V ;
d j t j t Re 2 I C e C Re 2 U C e dt A d j t C Re 2 U C e Re j C 2 U C e j t dt B
θ1
2
θ
(1).
ω θ1<t0 θ 2>0
1 2
若 则 超前或滞后： 1 2 0， 1 2 , u1超前u2 角
+j
U m U m
U m Sin
0 U mCos
θ
同频率的正弦量，才能 画在同一个相量图上。
+1
例8.2：写出正弦量的相量并画出相量图：
解: i1 t 5Cos 314t 60
0
i2 t 10Sin 314t 60
同符号的信号才能比较
i2 t I 2mCos t 300 A
负号表示反相，即相差±180 0 若原相位为负，即相差+180 0
1 2
0
若原相位为正，即相差-180
i2 t I 2mCos t 30 180 A
0 0
0
30 150
1 I 0 2 Cos2 t 2 i 1dt T
T
2 m
2 Im 1 Im T t0 0.707I m T 2 2
同理：
1 T 2 1 U 0 u dt 2 U m 0.707U m T
1 有效值 最大值 2
例8.1：写出: 1 ut 120Cos314t V ;
d j t j t Re 2 I C e C Re 2 U C e dt A d j t C Re 2 U C e Re j C 2 U C e j t dt B
θ1
2
θ
(1).
ω θ1<t0 θ 2>0
1 2
若 则 超前或滞后： 1 2 0， 1 2 , u1超前u2 角
相量法
I 2 R
相当于一直流电流 I1 = I 在该电阻上的功率， 即 平均功率与有效值电流产生的功率等效。 如：i1(t)的有效值为I1，则：在整数个周期内， i1(t)与直流量I1 产生的热量相等、耗能相等。
1．周期量的有效值
(3) 正弦量的有效值与最大值之间的量值关系： 设正弦信号 i = I m cos(t+ ) , 由有效值定义
t1+ i(t1)
若相量 2 I 从初相角θ， 以角速度ω绕0点逆时针旋转，则旋转相量
2Ie j ( t ) 2Ie j t 在实轴的投影即为正弦量 i (t ) 2 I cos( t )
例5-2-1 用有效值相量表示下列正弦量
i1 (t ) 10 2 sin( t 60 ) i2 (t ) 15 2 cos(314t 57 ) u (t ) 200 sin t V
j ( 1 2 )
j 三.旋转因子 e
A A e j A的模值不变,而将复数A逆时针旋转一个角度θ
§8-2 正 弦 量
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅、最大值 (amplitude) Im 是正弦量在整个变化过程 中所能到达的最大值。
i1 i2 9.67 2 cos( t 41.9 )( A) di1 1884 2 cos( t 120 )( A) dt i2dt 0.0127 2 cos( t 30 )( A)
314 314 314
§8-4 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
解： I 10－60 90 1
A A
10－150 ( A)
相当于一直流电流 I1 = I 在该电阻上的功率， 即 平均功率与有效值电流产生的功率等效。 如：i1(t)的有效值为I1，则：在整数个周期内， i1(t)与直流量I1 产生的热量相等、耗能相等。
1．周期量的有效值
(3) 正弦量的有效值与最大值之间的量值关系： 设正弦信号 i = I m cos(t+ ) , 由有效值定义
t1+ i(t1)
若相量 2 I 从初相角θ， 以角速度ω绕0点逆时针旋转，则旋转相量
2Ie j ( t ) 2Ie j t 在实轴的投影即为正弦量 i (t ) 2 I cos( t )
例5-2-1 用有效值相量表示下列正弦量
i1 (t ) 10 2 sin( t 60 ) i2 (t ) 15 2 cos(314t 57 ) u (t ) 200 sin t V
j ( 1 2 )
j 三.旋转因子 e
A A e j A的模值不变,而将复数A逆时针旋转一个角度θ
§8-2 正 弦 量
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅、最大值 (amplitude) Im 是正弦量在整个变化过程 中所能到达的最大值。
i1 i2 9.67 2 cos( t 41.9 )( A) di1 1884 2 cos( t 120 )( A) dt i2dt 0.0127 2 cos( t 30 )( A)
314 314 314
§8-4 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
解： I 10－60 90 1
A A
10－150 ( A)
相量法
第八章 相量法
重点
1、复数的几种表示形式的转换及计算 2、正弦量的三要素 3、 KCL、KVL 、VCR的相量表示
难点
理解相量法的实质
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
1．代数形式： F a jb
Re[F] a --复数F的实部
Im[F] b --复数F的虚部
2．向量形式：
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
解： | F2 | （ 20）2 （ 40）2 44.7
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
重点
1、复数的几种表示形式的转换及计算 2、正弦量的三要素 3、 KCL、KVL 、VCR的相量表示
难点
理解相量法的实质
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
1．代数形式： F a jb
Re[F] a --复数F的实部
Im[F] b --复数F的虚部
2．向量形式：
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
解： | F2 | （ 20）2 （ 40）2 44.7
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
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设角频率均为 ：
(1) U =120/37 V ； (2) I = 5/60 A 。
解: u =120 2 sin( t 37) V，i = 5 2 sin( t + 60) A。
【例9-6】已知 i1 =3 2 sin( t 30 ) A，
i2 = 4 2 sin( t 60 ) A。 试求：i1 i2。
Z R2 X 2 R 2 ( X L X C )2
X R
为阻抗角，代表路端电压 u 与电流 i 的相位差，即
u i arctan
【例9-7】 在 RL 串联电路中，已知： R = 3 ，L = 12.7 mH，设外加工频电压 u 220 2 sin(314 t 30) V。 试求：电阻和电感上的电压瞬时值 uR、uL。 解：等效复阻抗 Z = ZR + ZL = R + jXL = R + jL = 3 + j4 = 5/53.1 ，其中 XL = 4 ，正弦交流电压 u 的相量为 U 220/30 V。电路中电流相量为
I m e j i I/ I i 2
正弦电压 u = Umsin( t u)的相量表达式为
U U m e j u = U/u 2
【例9-4】把正弦量
u = 311sin(314t 30) V，i = 4.24sin(314t 45) A 用相量表示。 解：(1) 正弦电压 u 的有效值为 U = 0.7071 311 = 220 V，
【例9-2】将下列复数改写成代数式 (直角坐标式)： (1)Z1= 20/53.1 ；(2) Z2 = 10/ 36.9 ； (3) Z3 = 50/120 ；(4) Z4 = 8/ 120 。
解：利用关系式 Z = |Z|/ =|Z|(cos + jsin ) = a + jb 计算：
解：利用关系式 Z = a + jb =|Z|/ ，| Z | a 2 b 2 ， = arctan b ，计算如下： a (1) Z1= 2 = 2/0 (2) Z2 = j5 = 5/90 (j 代表90旋转因子，即将“5”逆时针旋90 (3) Z3 = j9 = 9/90 ( j代表 90 旋转因子，即将“9”作 顺 时针旋转90 ) (4) Z4= 10 = 10/180 或10/180 (“”号代表 180 )
(4) Z1 / Z2 = (10/ 36.9) (5/53.1) = 2/ 90
第三节 正弦量的复数表示法
正弦量可以用复数表示，即可用最大值相量或有效值相量 表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是用正弦量的有 效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。 正弦电流 i = Imsin( t i)的相量表达式为
第一节 复数的概念
一、虚数单位
二、复数的表达式
一、虚数单位
参见图 9-1 给出的直角坐标系复数平面。在这个复数平面 上定义虚数单位为
j 1
即 j2 = 1，j3 = j，j4 = 1。 虚数单位 j 又叫做 90 旋转因子。
图 9-1 在复平面上表示复数
二、复数的表达式
一个复数 Z 有以下四种表达式。
3．指数式
利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式， 即 Z =|Z|(cos jsin) =|Z|ej
4．极坐标式(相量式)
复数的指数式还可以改写成极坐标式，即 Z =|Z|/ 以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式 子导出其他三种式子。
【例9-1】将下列复数改写成极坐标式： (1)Z1 = 2；(2) Z2 = j5；(3) Z 3 = j9； (4) Z4 = 10；(5) Z 5 = 3 j4；(6) Z6 = 8 j6 (7) Z7 = 6 j8；(8) Z8 = 8 j6。
(5) Z5 = 3 + j4 = 5/53.1 (6) Z6 = 8 j6 = 10/36.9 (7) Z7 = 6 + j8 = (6 j8)= ( 10/ 53.1 ) = 10/180 53.1 = 10/126.9 (8) Z8 = 8 j6 = (8 + j6 ) = (10/36.9 ) = 10/180 + 36.9 = 10/143.1 。
arctanb a b arctan a arctan b a ( a 0) ( a 0 ， 0) b ( a 0 ， 0) b
图 9-1 在复平面上表示复数
复数 Z 的实部 a、虚部 b 与模 |Z| 构成一个直角三角形。
1．直角坐标式(代数式)
Z = a + jb 式中，a 叫做复数 Z 的实部，b 叫做复数 Z 的虚部。
在直角坐标系中，以横坐标 为实数轴，纵坐标为虚数轴，这 样构成的平面叫做复平面。任意 一个复数都可以在复平面上表示 出来。例如复数 A = 3 + j2 在复平 面上的表示如图 9-1 所示。
图 9-1 在复平面上表示复数
学时分配
序号 1 2 3 4 第一节 第二节 第三节 第四节 内 容 学时 1 1 1 2 复数的概念 复数的四则运算 正弦量的复数表示法 复数形式的欧姆定律
5 6 7
第五节
复阻抗的连接
2 1 8
本章小结 本章总学时
第九章
相量法
第一节 复数的概念 第二节 复数的四则运算 第三节 正弦量的复数表示法 第四节 复数形式的欧姆定律 第五节 复阻抗的连接 本章小结
uL 176 2 sin(314t 66.9) V
二、阻抗的并联
阻抗并联电路如图 9-4 所示。
图 9-4 阻抗串联电路
n 只阻抗 Z1、Z2、·、Zn 并联电路，对电源来说可以 · · 等效为一只阻抗，即
1 1 1 1 Z Z1 Z 2 Zn
即等效复阻抗Z的倒数，等于各个复阻抗的倒数之和。 为便于表达阻抗并联电路，定义复阻抗 Z 的倒数叫做 复导纳，用符号 Y 表示，即
第二节 复数的四则运算
则为 设 Z1= a + jb =|Z1|/ ，Z2 = c + jd = |Z2|/ ，复数的运算规
1．加减法
2．乘法 3．除法 4．乘方
Z1 Z2 = (a c) + j(b d)
Z1 · Z2 = |Z1| · |Z2|/ +
Z1 Z1 / Z2 Z2
(1)Z1= 20/53.1 = 20(cos53.1 + jsin53.1 ) = 20(0.6 + j0.8) = 12 + j16
(2)Z2 = 10/36.9 = 10(cos36.9 jsin36.9 )= 10(0.8 j0.6) = 8 j6 (3) Z3 = 50/120 = 50(cos120 + jsin120 ) = 50( 0.5 + j0.866) = 25 + j43.3 (4)Z4 = 8/ 120 = 8(cos120 jsin120 ) = 8( 0.5 0.866) = 4 j6.928
Z = Z1 + Z2 + · + Zn · ·
图 9-3
阻抗串联电路
例如 RLC 串联电路可以等效一只阻抗 Z ，根据 ZR = R， ZL = jXL，ZC = jXC，则 1 Z Z R Z L Z C R j( X L X C ) R j(L ) C R jX Z e j 即 Z =|Z|/ 其中电抗 X = XL XC，阻抗大小为
初相 u = 30，所以它的相量为
U = U/u = 220/30 V
(2) 正弦电流 I 的有效值为 I = 0.7071 4.24 = 3 A，初相 i = 45，所以它的相量为 I = I/ = 3/45 A
i
【例9-5】 把下列正弦相量用三角函数的瞬时值表达示，
第四节 复数形式的欧姆定律
一、复数形式的欧姆定律 二、电阻、电感和电容的复阻抗
一、复数形式的欧姆定律
U 定义复阻抗为 Z |Z|/ I U 其中 Z 为阻抗大小， = u i 为阻抗角，即电压 u I
与电流 i 的相位差。则复数形式的欧姆定律为
U I Z 或 U ZI
n Z1 Z1 n
/n
【例9-3】已知 Z1= 8 j6， Z2 = 3 j4
试求：(1) Z1 Z2；(2) Z1 Z2； (3) Z1 · Z2；(4) Z1 / Z2。 解：(1) Z1 + Z2 = (8 j6) + (3 + j4) = 11 j2 = 11.18/10.3 (2) Z1 Z2 = (8 j6) (3 j4) = 5 j10 = 11.18/ 63.4 (3) Z1 · Z2 = (10/ 36.9) (5/53.1) = 50/16.2
3．电容 C 的复阻抗
1 ZC = XC/90 = j XC = j C 1 U C Z C I C jX C I C j IC C
第五节 复阻抗的连接
一、阻抗的串联
二、阻抗的并联
一、阻抗的串联
如图 9-3 所示阻抗串联电路。 n 个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗
图 9-2 所示为复数形式的欧姆定 律的示意图。
图 9-2 复数形式的欧姆定律
二、电阻、电感和电容的复阻抗
1．电阻 R 的复阻抗
ZR = R = R/ 0
U R RI R
2．电感 L 的复阻抗
ZL = X U L Z L I L jX L I L jLI L