02 第二节 双因素试验的方差分析

第二节双因素试验的方差分析在许多实际问题中，往往要同时考虑两个因素对试验指标的影响. 例如，要同时考虑工人的技术和机器对产品质量是否有显著影响. 这里涉及到工人的技术和机器这样两个因素. 多因素方差分析与单因素方差分析的基本思想是一致的，不同之处就在于各因素不但对试验指标起作用，而且各因素不同水平的搭配也对试验指标起作用. 统计学上把多因素不同水平的搭配对试验指标的影响称为交互作用. 交互作用的效应只有在有重复的试验中才能分析出来.对于双因素试验的方差分析，我们分为无重复和等重复试验两种情况来讨论. 对无重复试验只需要检验两个因素对试验结果有无显著影响；而对等重复试验还要考察两个因素的交互作用对试验结果有无显著影响.内容分布图示★引言★无重复试验双因素方差分析★例1★例2等重复试验双因素方差分析★数学模型★数学模型的改进★偏差平方和及其分解★偏差平方和的统计特征★检验方法★例3★例4★内容小结★习题8-2内容要点：一、无重复试验双因素方差分析设因素A，B作用于试验指标。

因素A有r个水平A1，A2， ，Ar，因素B有s个水平B1，B2， ，Bs. 对因素A，B的每一个水平的一对组合（Ai，Bj），(i=1，2， ，r，j=1，2， ，s)只进行一次实验，得到rs个试验结果ijX，列于下表中表8-2-11. 假设前提与单因素方差分析的假设前提相同，仍假设： 1) ),(~2σμij ij N X ，2,σμij 未知，.,,1;,,1s j r i == 2) 每个总体的方差相同；3) 各ij X 相互独立，.,,1;,,1s j r i ==那么，要比较同一因素的各个总体的均值是否一致，就是要检验各个总体的均值是否相等，故检验假设为：j rj j j A H ⋅====μμμμ 210: ,,,1s j =⋅====i is i i B H μμμμ 210: .,,1r i = 备择假设为不全相等。

rj j j A H μμμ,,,:211 不全相等。

is i i B H μμμ,,,:211由假设有 ),(~2σμij ij N X （ij μ和2σ未知），记-ij X i μ=ij ε，即有ij ij ij X με-=~),,0(2σN 故-ij X ij μ可视为随机误差. 从而得到如下数学模型⎩⎨⎧==+=相互独立。

未知，ij ij ij ij ij ij N s j r i X εσμσεεμ22,),,0(~;,,1;,,1, 引入记号：μ=∑∑==r i sj ij rs 111μ，⋅i μ=∑=sj ijs11μ，i =1，2， ，r ，j ⋅μ =∑=ri ijr11μ，j =1，2， ，s ，αi =μμ-⋅i ，i =1，2， ，r ， βj=μμ-⋅j ，j =1，2， ，s ，易见∑==ri i10α，∑==sj j10β. 称μ为总平均，称αi 为水平A i 的效应，称βj为水平B j的效应. 且 μij=μ+αi +βj.于是上述模型进一步可写成⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====+++=∑∑==r i sj j i ij ij ij ij j i ij N s j r i X 1122.0,0,),,0(~),,2,1,,,2,1(,βαεσμσεεβαμ相互独立，未知，各 检验假设： ⎩⎨⎧====.,,,:,0:211210不全为零r A r A H H αααααα⎩⎨⎧====.,,,:,0:211210不全为零s B s B H H ββββββ若A H 0（或B H 0）成立，则认为因素)(B A 或的影响不显著，否则影响显著。

2. 偏差平方和及其分解类似于单因素方差分析，需要将总偏差平方和进行分解. 记;,,1,1;,,1,1,11111s j XrX r iXs X Xrs X r i ij jsj ij i r i sj ij =====∑∑∑∑=⋅=⋅== 将总偏差平方和进行分解：S T =211)(X Xr i sj ij-∑∑==211)]()()[(X X X X X X X Xj i ij j r i sj i ---+-+-=⋅⋅⋅==⋅∑∑由于在T S 的展式中三个交叉项的乘积都等于零，故有E B A T S S S S ++=,其中,,)()(21211X XsX XS ri i r i sj i A -=-=∑∑∑=⋅==⋅,,)()(12112∑∑∑=⋅==⋅-=-=sj jr i sj jB X XrX XSS E =.)(112∑∑==⋅⋅---r i sj j i ijX X X X我们称S E 为误差平方和；分别称S A ，S B 为因素A 、因素B 的偏差平方和. 类似地，可以证明当A H 0、B H 0成立时，有1) 2222,,,σσσσE B A T S S S S 分别服从自由度依次为)1)(1(,1,1,1-----s r s r rs 的2χ分布;2) E B A T S S S S ,,,相互独立.3. 检验方法当A H 0为真时，可以证明F A =))1)(1()1(---s r S r S E A ~));1)(1(,1(---s r r F取显著性水平为α，得假设A H 0的拒绝域为F A =))1)(1()1(---s r S r S E A ≥));1)(1(,1(---s r r F α类似地，当B H 0为真时，可以证明F B =))1)(1()1(---s r S s S E B ~));1)(1(,1(---s r s F取显著性水平为α，得假设B H 0的拒绝域为F B =))1)(1()1(---s r S s S E B ≥));1)(1(,1(---s r s F α实际分析中，常采用如下简便算法和记号：记 T =∑∑===r i sj ijX rs X11,T ⋅i =⋅==∑i sj ijX s X1, ;,,1r i =T j ⋅=∑=⋅⋅==ri j ijj X r XT 1, ;,,1s j =则 S T =∑∑==-r i sj ijrsT X 1122, S A =s 1∑=⋅-ri i rsT T 122, S B =∑=⋅-sj jrsT T r1221, S E =S T -S A -S B .可得如下方差分析表：表8-2-2无重复试验双因素方差分析表1)1)(1()1)(1(/11/11---=--=-=-=-=-rs S s r S S s r S S S F s SS s S B S S F r SS r S A F TEE E E B B BB B E B A AA A 总和误差因素因素比均方和自由度平方和方差来源二、无重复试验双因素方差分析设因素A ，B 作用于试验指标. 因素A 有r 个水平A 1，A 2， ，A r ，因素B 有s 个水平B 1，B 2， ，B s . 对因素A ，B 的每一个水平的一对组合（A i ，B j ），(i =1，2， ，r ，j =1，2， ，s )只进行)2(≥t t 次实验（称为等重复实验），得到rst 个试验结果ijk X （),,1;,,1;,,1t k s j r i ===.1． 假设前提1) ),(~2σμij ijk N X ，2,σμij 未知，;,,1;,,1;,,1t k s j r i === 2) 每个总体的方差相同；3) 各ijk X 相互独立，t k s j r i ,,1;,,1;,,1 ===.由假设有 ijk X ),(~2σμij N （ij μ和2σ未知），记-ijk X i μ=ijk ε，即有ijk ij ijk X με-=~),,0(2σN 故-ijk X ijk μ可视为随机误差. 从而得到如下数学模型⎪⎩⎪⎨⎧===+=;,,1;,,1;,,10~2t k s j r i N X ijkijk ijk ij ijk 相互独立，各），，（，εσεεμ 类似地，引入记号：μ，,,,,j i j i βαμμ⋅⋅易见∑==ri i10α，∑==sj j10β.仍称μ为总平均，称αi 为水平A i 的效应，称βj为水平B j 的效应. 这样可以将μij表示成μij=μ+αi + j β+γij（s j r i ,,1;,,1 ==），其中μμμμγ+--=⋅⋅j i ij ij （s j r i ,,1;,,1 ==），称ij γ为水平A i 和水平B j 的交互效应， 这是由A i 与B j 搭配联合起作用而引起的。

易见,,,1,01r i sj ij==∑=γ∑==ri ij10γ，j =1，2， ，s ，从而前述数学模型可改写为),0~ 2i σεεγβαμ，（，N X ijk ijk ij j ijk ++++=.,,1;,,1;,,1t k s j r i ijk ===相互独立，各ε∑∑∑∑========r i s j r i sj ij ij j i `111,0,0,0,0γγβα其中μ，αi ，j β，γij及σ2都是未知参数.假设检验为 ：(1) ⎩⎨⎧====不全为零r A r A H H αααααα,,,:,0:211210(2) ⎩⎨⎧====不全为零s B s B H H ββββββ,,,:,0:211210(3) ⎩⎨⎧====⨯⨯不全为零。

rs B A rs B A H H γγγγγγ,,,:,0:1211112110与无重复试验的情况类似，此类问题的检验方法也是建立在偏差平方和的分解上的。

2. 偏差平方和及其分解引入记号：X =rst1∑∑∑===ri sj tk ijkX111，X ⋅ij =∑=tk ijk X t 11，i =1，2， ，r ，j =1，2， ，s ，X ⋅⋅i =∑∑==s j tk ijkXst 111，i =1，2， ，r ，X ⋅⋅j =∑∑==ri tk ijkXrt111，j =1，2， ，s 。

称总偏差平方和（称为总变差）为S T =∑∑∑===-r i s j tk ijkX X1112)(。

上式可分解为 S T =S E +S A +S B +S B A ⨯ 其中 S E =∑∑∑===⋅-r i s j tk ij ijkX X1112)(，S A =st∑=⋅⋅-ri i X X12)(,S B = rt∑=⋅⋅-sj j X X12)(,S B A ⨯= t∑∑==⋅⋅⋅⋅⋅+--ri sj j i ij X X X X112)(同样，我们仍S E 称为误差平方和，S A ，S B 分别称为因素A 、因素B 的偏差平方和，S B A ⨯称为A ，B 交互偏差平方和.类似地，可以证明当A H 0、B H 0、B A H ⨯0成立时，有 1) ,,,,,22222σσE B A B A T S S S S S ⨯分别服从自 由度依次为 )1(),1)(1(,1,1,1------t rs s r s r rst 的2χ分布，2) E B A B A T S S S S S ,,,,⨯相互独立。