高一数学 必修四1.1.1任意角

小结:
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
1.任意角的概念
负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角 1)置角的顶点于原点
2.象限角
2)始边重合于X轴的正半轴 3)终边落在第几象限就是第几象限
3与终边相同的角组成的集 合： S { k 3600 , k z}
§1.1.1 任 意 角
【目标引领】
1.理解任意角的概念，学会在平面 内建立适当的坐标系来讨论角; 2.掌握象限角，终边相同的角，终 边在坐标轴上的角及区间角的表 示方法.
【重点、难点】
1.重点：角的概念的推广及用集合 表示终边相同的角； 2.难点：用集合表示终边相同的角 及区间角的表示法。
我们学过的角







【当堂检测】
3. 第一或第三
4.
=60 +k 180 , k

【课后练习案】
1. C 2. 第一或第三 3. B 4. (1) S 60 k 360 , k 300 ,60 (2) S 75 k 360 , k 75 ,285 (3) S 10430' k 360 , k
0 90
90
90 180
转体三周
你知道她旋转了多少度？
复习：
角是如何形成的？
B

O A
角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一 个位置OA旋转到另一个位置OB所成的图形. 射线OA是角 的始边 射线OB是角 的终边 角 或 可以简记成
自学探究
终边在x轴上的角： =k 180 , k

例2
解：（1）


















例3.写出终边在y=x上的角的集合
解：在00 3600 范围内，终边在直线y x上的角有两个， S1 { | 45 k 360 ，k Z }，
0 0
即450， 0 角。因此，所有与450 角终边相同的角构成集合 225 而所有与2250 角终边相同的角构成的集合 S 2 { | 225 k 360 ，k Z }
精讲点拨
例1. 在 0 ~ 360 的范围内，找出与95013角 终边相同的角，并判定它是第几象限角. 解： 95013
在 0 ~ 360 的范围内，与 95013 角
终边相同的角是 ，它是第二象 限角.
终边在y轴上的角： =90 k 180 , k 终边在坐标轴上的角： =k 90 , k （2） 第一象限的角： k 360 90 k 360 , k 第二象限的角： 90 k 360 180 k 360 , k 第三象限的角： 180 k 360 270 k 360 , k 第四象限的角： 270 k 360 k +1 360 , k （ ）
想一想
（1）如果你的手表慢了5分钟，你是怎么将它校准 的？当时间较准后，分针旋转了多少度？ 顺时针旋转30° （2）如果你的手表快了5分钟，你是怎么将它校 准的？当时间较准后，分针旋转了多少度？ 逆时针旋转30°
规定：
正角：按逆时针方向 旋转形成的角
B
任 意 角
O
负角：按顺时针方向 旋转形成的角 零角：一条射线没有 作任何旋转时形成的 角
(3) S 180 k 360 , k 180 ,180


104 30',255 30'



【课后练习案】
0 0
3 解：在0 360 范围内，终边在直线y x上的角有两个， 3 即300， 0 角。因此，所有与300 角终边相同的角构成集合 210 S1 { | 300 k 3600，k Z }， 而所有与2100 角终边相同的角构成的集合 S 2 { | 2100 k 3600，k Z } 3 于是，终边在直线y x上的角的集合 3 S S1 S 2 { | 300 k 3600，k Z } { | 2100 k 3600，k Z } { | 300 2k 1800，k Z } { | 300 2k 1）1800，k Z } （ { | 300 k 1800，n Z }
使它再回来原来的位置.
x
y
轴的非负半轴
重合，以斜边OB 画射线作为角的终边.绕原点旋转OB，
探究： （1）以OB为终边的角是否唯一？
如果不唯一，试写出几个以OB为终边 的角.
O
B
30
A
x
30°，390°，750°，-330°，-690°，…
（2）这些角与 30角的终边相同，尝试将它们写 成含有 30 角的表达式.
【当堂检测】
1 (1)305 42' 第四象限角 (2)35 8' 第一象限角 (3)249 30' 第三象限角 2 （）S= =22318' k 360 , k 1 136 42', 496 42', 223 18' （2）S= =－225 k 360 , k －585 ， －225 ， 135 （3）S= =90 k 360 , k －270 ， －630 ， 90
0 0
于是，终边在直线y x上的角的集合 S S1 S 2 { | 450 k 3600，k Z } { | 450 2k 1800，k Z }
0 0
{ | 2250 k 3600，k Z }
{ | 45 2k 1）180 ，k Z } （ { | 450 n 1800，n Z }
A A
O
B
直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的 始边与 x 轴的非负半轴重合. 只需要考虑角的 终边位置， 旋转方向, 旋转量.
y
o

x
y 终边
o 终 边
x
1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的正半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
转一转： 如图：在直角坐标系中，将三角板的
330 k 360, k Z}
类比：
所有与任意角 终边相同的角，连同 在内，可以构成一个集合
S { | k 360 , k Z}

即任一与角 终边相同的角，都可以表示成 角 与整数个周角的和

y

o
x
与 终边相同的角的一般形式为 : 0 S={ | = k 360 , k Z }
归纳： （1）与 30 角终边相同的所有角记为 ， 如何表示成含有 30角的表达式？ 数量上： 30 k 360 , k Z
任意两角之差是 360 的整数倍
（2）与 30 角终边相同的角有什么关系？ 图形上：角的终边绕原点旋转周角的整数倍 又回到原来的位置 （3）与 30 角终边相同的角，连同 30 角在内， 可构成一个集合