河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.2一般形式的柯西不等式学案 新人教A版选修4-5
高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式1二维形式的柯西不等式学案新人教A版选修45
高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式1二维形式的柯西不等式学案新人教A版选修45一二维形式的柯西不等式学习目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．(难点)2.通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．(重点)教材整理二维形式的柯西不等式阅读教材P31～P36，完成下列问题．内容等号成立的条件代数形式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2当且仅当ad＝bc时，等号成立向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立三角形式设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线且P1，P2在点O两旁时，等号成立已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是( )A.56B.65C.2536D.3625B[2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)⎝⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65⎝⎛⎭⎪⎫2x·22＋3y·332＝65(x＋y)2＝65.]二维柯西不等式的向量形式及应用[精彩点拨]为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．＝p 3＋q 3·p ＋q ＝2p ＋q . 又∵(p ＋q )2≤2(p 2＋q 2)， ∴(p ＋q )22≤p 2＋q 2≤2p ＋q ，∴(p ＋q )22≤2·p ＋q ，则(p ＋q )4≤8(p ＋q )．又p ＋q >0，∴(p ＋q )3≤8，故p ＋q ≤2.使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a |＝x 2＋y 2对数学式子变形的影响．1．若本例的条件中，把“p 3＋q 3＝2”改为“p 2＋q 2＝2”，试判断结论是否仍然成立？ [解] 设m ＝(p ，q )，n ＝(1,1)，则p ＋q ＝p ·1＋q ·1＝|m ·n |≤|m |·|n |＝p 2＋q 2·12＋12. 又p 2＋q 2＝2. ∴p ＋q ≤2·2＝2. 故仍有结论p ＋q ≤2成立.运用柯西不等式求最值22[精彩点拨] 由2x ＋3y ＝1以及4x 2＋9y 2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．[自主解答] 由柯西不等式得(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1. ∴4x 2＋9y 2≥12，当且仅当2x ×1＝3y ×1， 即x ＝14，y ＝16时取等号．∴4x 2＋9y 2的最小值为12.1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果．2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．2．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点．[解] 由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4. 所以x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y4时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.二维柯西不等式代数形式的应用在二维形式的柯西不等式中，取等号的条件可以写成a b ＝c d吗？ [提示] 不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但a b ＝c d不成立． 【例3】 已知|3x ＋4y |＝5，求证：x 2＋y 2≥1.[精彩点拨] 探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明． [自主解答] 由柯西不等式可知(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，所以(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )232＋42.又因为|3x ＋4y |＝5， 所以(3x ＋4y )232＋42＝1，即x 2＋y 2≥1.1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．3．设a，b∈R＋且a＋b＝2.求证：a22－a＋b22－b≥2.[证明]根据柯西不等式，有[(2－a)＋(2－b)]⎝⎛⎭⎪⎫a22－a＋b22－b＝[(2－a)2＋(2－b)2]⎝⎛⎭⎪⎫a2－a2＋⎝⎛⎭⎪⎫b2－b2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a·a2－a＋2－b·b2－b2＝(a＋b)2＝4.∴a22－a＋b22－b≥4(2－a)＋(2－b)＝2，当且仅当2－a·b2－b＝2－b·a2－a，即a＝b＝1时等号成立．∴a22－a＋b22－b≥2.1．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为( )A.13 B．169C．13 D．0C[(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13.]2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( ) A ．2 6 B. 6 C ．6D ．12D [(4a ＋1＋4b ＋1)2＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12， 当且仅当4b ＋1＝4a ＋1， 即a ＝b ＝12时等号成立．故选D.]3．平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，则向量b ＝________. [解析] |a |＝42＋(－3)2＝5，且 |b |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |，因此，b 与a 共线，且方向相同，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－354．已知x ，y ＞0，⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为4，则xy ＝________.[解析] ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥⎝⎛⎭⎪⎫1·1＋1xy 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝4.又xy ＞0， ∴xy ＝1，∴xy ＝1. [答案] 15．已知x ，y ，a ，b ∈R ＋，且a x ＋by＝1，求x ＋y 的最小值． [解] 构造两组实数x ，y ；a x ，b y. ∵x ，y ，a ，b ∈R ＋，a x ＋b y＝1，∴x ＋y ＝[(x )2＋(y )2]⎝⎛⎭⎪⎫a x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b y 2≥(a ＋b )2， 当且仅当x ∶ax ＝y ∶b y ，即x y＝a b时取等号，∴(x ＋y )min ＝(a ＋b )2.。
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形
3.2 一般形式的柯西不等式课堂导学三点剖析一、利用柯西不等式证明不等式 【例1】 设α、β∈（0，2π），试用柯西不等式证明 ββαα2222sin cos sin 1cos 1••+≥9. 证明:∵ββαββββα22222222sin cos sin sin cos sin cos sin 1••+=•• βαβα2222cos sin 1sin sin 1•=•=又cos 2α＋sin 2α·sin 2β+sin 2α·cos 2β=1,∴(cos 2α+sin 2α·sin 2β+sin 2α·cos 2β)· (ββαα2222sin cos sin 1cos 1••+)≥(1+1+1)2=9. ∴ββαα2222sin cos sin 1cos 1••+≥9.温馨提示由于右式常数为9=(1+1+1)2,因此左式应有三项，于是想到把ββα222sin cos sin 1••拆成两项.凑项、凑常数是柯西不等式证题时常用的一种基本技巧. 各个击破 类题演练1设a 、b 、c∈R +，证明b a c a c b c b a +++++222≥21(a+b+c). 证明:∵a、b 、c ＞0，∴2(a+b+c)=［(a+b)+(b+c)+(c+a)］.∴［(b+c)+(c+a)+(a+b)］(b a c a c b c b a +++++222)≥(a+b+c)2. ∴b a c a c b c b a +++++222≥21(a+b+c).变式提升1设x 1，x 2,…，x n ∈R +,求证：1221322221x x x x x xx x n n n ++++-Λ≥x 1+x 2+…+x n . 证明:∵x 1,x 2,…,x n ∈R +,∴(x 2+x 3+x 4+…+x n +x 1)(12423322221x x x x x x x x n ++++Λ)≥(x 1+x 2+…+x n )2.∴1221322221x x x x x xx x n n n ++++-Λ≥x 1+x 2+…+x n . 温馨提示为了证明不等式，把x 1+x 2+…+x n 中的x 1的位置移至最后，在应用柯西不等式时解决了大问题，不要小瞧这一小小的技巧哟! 二、利用柯西不等式证条件不等式【例2】 a 、b 、c∈R +，且a+b+c=1,求证： (a+a 1)2+(b+b 1)2+(c+c 1)2≥3100. 证明：∵(12+12+12)［(a+a 1)2+(b+b 1)2+(c+c 1)2］≥［(a+a 1)+(b+b 1)+(c+c 1)］2=［1+(a 1+b 1+c1)］2,而(a+b+c)(a 1+b 1+c1)≥(1+1+1)2=9, 即a 1+b 1+c 1≥9,∴［1+(a 1+b 1+c 1)］2≥100. ∴(a+a 1)2+(b+b 1)2+(c+c 1)2≥3100.温馨提示证明条件不等式的关键是如何恰当地利用好条件.本题注意到要证的不等式左边是平方和的形式，而已知条件中a+b ＋c=1是一次式，于是想到利用柯西不等式变形，建立起a 、b 、c 之间的关系，以便用上条件. 类题演练2已知a 1,a 2,…,a n 都是正数，且a 1+a 2+…+a n ＝1，求证：(a 1+11a )2+(a 2+21a )2+…+(a n +n a 1)2≥nn 22)1(+.证明:原不等式等价于 n ［(a 1+11a )2+(a 2+21a )2+…+(a n +na 1)2］≥(n 2+1)2. ∵(12+12+…+12)·［(a 1+11a )2+(a 2+21a )2+…+(a n +na 1)2］≥［(a 1+11a )+(a 2+21a )+…+(a n +n a 1)］2=［1+(11a +21a +…+na 1)］2,① 又由调和平均数≤算术平均数知na a a a a a nnn+++≤+++ΛΛ2121111,∴11a +21a +…+na 1≥n 2，代入①式即得. 变式提升2 a 、b 、c 、d∈R ，且⎩⎨⎧=+++=+++,5632,32222d c b a d c b a求证：1≤a≤2. 证明:(b+c+d)2=(d xc b 661331221++)2≤［(2b)2+(3c)2+(6d)2］［(21)2+(31)2+(61)2］ =(2b 2+3c 2+6d 2)(21+6131+) =2b 2+3c 2+6d 2,而b+c+d=3-a,2b 2+3c 2+6d 2=5-a 2,∴(3-a)2≤5-a 2,解得1≤a≤2. 三、利用柯西不等式解决其他问题【例3】 （1）第七届美国数学奥林匹克试题 设实数a,b,c,d,e 满足a+b+c+d+e=8,且a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16,试确定e 的最大值. 解析：由已知得a+b+c+d=8-e ，a 2+b 2+c 2+d 2=16-e 2，所以(8-e)2=(a+b+c+d)2≤(a 2+b 2+c 2+d 2)(12+12+12+12)=4(16-e 2),化简得5e 2-16e≤0⇒0≤e≤516, 所以e max =516. （2）求实数x,y,z,使它们同时满足2x+3y+z =13…(1),4x 2+9y 2+z 2-2x+15y+3z=82…(2).解析：可令x 1=2x,x 2=3y+3,x 3=z+2,则x 1+x 2+x 3＝18且x 12+x 22+x 32＝108，由此及柯西不等式得182=(x 1+x 2+x 3)2≤(x 12+x 22+x 32)2（12+12+12）=108×3, 上式等号成立其充要条件是⇒==111321x x x x 1=x 2=x 3=6⇒x=3,y=1,z=4. 所以3,1,4是所求实数x,y,z 的值. 类题演练3已知x+y+z=1，求2x 2+3y 2+z 2的最小值. 解析:（2x 2+3y 2+z 2）(21+31+1)≥(x+y+z)2=1, ∴2x 2+3y 2+z 2≥116,所求最小值为116.变式提升3 设x,y,z∈R 且x 1+zy 11+=2…(1), 21x+2211z y +=1…(2), 则zxyz xy 111++的值是( ) A.1 B.2 C.23D.不存在 解析:设x 1=x 1,y 1=y 1,z 1=z1,则x 1+y 1+z 1=2,x 12+y 12+z 12=1,根据柯西不等式得22=(x 1+y 1+z 1)2≤(x 12+y 12+z 12)(12+12+12)=1×3=3,显然这个不等式不能成立，所以由(1)(2)所组成的方程组无解，故所求值不存在. 答案:D。
高二数学人教A版选修4-5教案：3.2一般形式的柯西不等式 Word版含解析
3.2 一般形式的柯西不等式一、教学目标1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题． 四、教学难点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题． 五、教学过程 （一）导入新课已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值． 【解】 由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.（二）讲授新课教材整理1 三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ，则(a 21＋a 2＋a 23)·(b 21＋b 2＋b 23)≥.当且仅当或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理2 一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥.当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝(i ＝1,2，…，n )时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值例1 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，1a ＋2b ＋3c＝2，求a ＋2b ＋3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．【精彩点拨】 由于1a ＋2b ＋3c ＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＋3c ·(a ＋2b ＋3c )＝[⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎫3c 2][(a)2＋(2b)2＋(3c)2] ≥⎝⎛⎭⎫1a ·a ＋2b ·2b ＋3c ·3c 2＝(1＋2＋3)2＝36. 又1a ＋2b ＋3c ＝2， ∴a ＋2b ＋3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立， 综上，当a ＝b ＝c ＝3时， a ＋2b ＋3c 取得最小值18.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知x ＋4y ＋9z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 【解】 由柯西不等式，知 (x ＋4y ＋9z )2≤(12＋42＋92)(x 2＋y 2＋z 2) ＝98(x 2＋y 2＋z 2)． 又x ＋4y ＋9z ＝1， ∴x 2＋y 2＋z 2≥198，(*)当且仅当x ＝y 4＝z9时，等号成立，∴x ＝198，y ＝249，z ＝998时，(*)取等号．因此，x 2＋y 2＋z 2的最小值为198. 题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围 例2已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围． 【精彩点拨】 “恒成立”问题需求1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x 的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】 ∵x >0，y >0，z >0. 且x ＋y ＋z ＝xyz . ∴1yz ＋1xz ＋1xy＝1.又1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤12⎝⎛⎭⎫1xy ＋1yz ＋1zx ＝12⎝⎛⎭⎫1·1xy ＋1·1yz ＋1·1zx ≤12⎣⎡⎦⎤12＋12＋12⎝⎛⎭⎫1xy ＋1yz ＋1zx 12＝32， 当且仅当x ＝y ＝z ，即x ＝y ＝z ＝3时等号成立． ∴1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值为32.故1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立时， 应有λ≥32. 因此λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 规律总结：应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理． [再练一题]2．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的取值范围. 【解】 由a ＋b ＋c ＋d ＝3，得b ＋c ＋d ＝3－a ， 由a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2， (2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝⎛⎭⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2， 即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2.由条件可得，5－a 2≥(3－a )2，解得1≤a ≤2， 所以实数a 的取值范围是[1,2]． 题型三、利用柯西不等式证明不等式例3 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a b a ＋c b ＋ac ≥9. 【精彩点拨】 对应三维形式的柯西不等式，a 1＝ab，a 2＝bc，a 3＝ca，b 1＝ba，b 2＝c b，b 3＝ac，而a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝1，因而得证． 【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈R ＋， 由柯西不等式，知⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ＝[⎝⎛⎭⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫c a 2]×[⎝⎛⎭⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎫c b 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2]≥⎝⎛⎭⎫a b ×b a ＋b c ×c b ＋c a ×a c 2＝(1＋1＋1)2＝9， ∴⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ≥9. 规律总结：1．当a i ，b i 是正数时，柯西不等式变形为(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]3．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.【解】 (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1.又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a·1a ＋2b·12b ＋3c·13c 2＝9.（四）归纳小结一般形式的柯西不等式—⎪⎪⎪—三维形式—一般形式—一般形式的应用（五）随堂检测 1．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a·b 的最小值为()A ．18B ．6C ．－18D.12 【解析】 |a·b |≤|a ||b |， ∴|a·b |≤18.∴－18≤a·b ≤18，当a ，b 反向时，a·b 最小，最小值为－18. 【答案】 C2．若a 21＋a 2＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 2＋…＋b 2n ＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的取值范围是() A ．(－∞，2) B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D.[－1,1]【解析】 ∵(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2， ∴(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤4， ∴|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |≤2， 即－2≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤2，当且仅当a i ＝12b i (i ＝1,2，…，n )时，右边等号成立；当且仅当a i ＝－12b i (i ＝1,2，…，n )时，左边等号成立，故选B.【答案】 B3．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m2＋n2的最小值为________．【解析】 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m2＋n2的最小值为 5.【答案】5六、板书设计七、作业布置同步练习：3.2 一般形式的柯西不等式 八、教学反思。
高中数学3.2一般形式的柯西不等式教学案(无答案)新人教版选修4-5
§ 3.2 一般形式的柯西不等式(学案)教学目标：1. 认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。
教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。
教学过程：一、复习引入：定理1:(二维柯西不等式的代数形式)设a,b,c,d均为实数，则(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2，其中等号当且仅当ad bc时成立。
变式1、变式2、定理2:(柯西不等式的向量形式)设，为平面上的两个向量，则| | | | | | , 其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。
定理3:(三角形不等式) 设y「X2, y2,X3, y3为任意实数，则：,.(x i X2)2(y i y2)2.(X2 X3)2(y2 y3)2.. (X i X3)2(% y?)2二、讲授新课：类似的，从空间向量的几何背景业能得到| a . 3 | < | a || 3 | .将空间向量的坐标代入，可得到r> ry ry ry ry ry(a 1 a2 a3 )(b 1b2b3 ) (a 1b1 a2b2 a3b3)2当且仅当a , 3 共线时,即3 0，或存在一个实数k, 使得a i kb i( i 1,2,3)时，等号成立.这就是三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗? 定理4:（一般形式的柯西不等式）：、应用举例2 2 2例2、、已知x 2y 3z 1, 求x y z 的最小值例1、 已知a i ,a 2,…,a n 都是实数，求证: 1 -(a i a 2 n2 2 2 a n ) a i a 2 变式1、已知a,b,c,d 是不全相等的正数，求证:a 2b 2c 2d 2 ab bc cd da、 1 4 9变式2、已知x,y,z R ,且x y z 1,求证：36x y z。
高中数学人教A版选修4-5 3-2 一般形式的柯西不等式 导
3.2一般形式的柯西不等式【学习目标】1、掌握三维形式和多维形式的柯西不等式。
2、通过运用一般形式的柯西不等式分析解决一些简单问题。
【重点难点】 一般形式的柯西不等式学做思一： 自学探究问题1：推导柯西不等式的代数形式:设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
学做思二问题2：推导柯西不等式的向量形式:设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα⋅≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
问题3：推导三角形不等式:设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β|思考: 根据对比二维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？ 问题4：讨论一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++即:211212)(∑∑∑===≥ni i i ni i ni i b a b a ，其中等号当且仅当n n a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
【例1】 设a ，b ，c 为正数且互不相等，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c .【变式1】 已知a 1，a 2，a 3为实数，b 1，b 2，b 3为正实数．求证：a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3≥(a 1＋a 2＋a 3)2b 1＋b 2＋b 3题型二 利用三维柯西不等式求函数的最值【例2】 已知a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1，求4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值．【变式2】 已知x ＋4y ＋3z ＝2，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．题型三 一般形式柯西不等式的应用【例3】 设a 1，a 2，…，a n 为正整数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【变式3】 已知a 、b 、c 、d ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＋d ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥14.方法技巧 利用柯西不等式求最值【示例1】 已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最大值变式反馈一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝3，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为 ( )．A ．9B ．3 C.3D ．12．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为 ( )．A ．1B ．n C.nD ．23．已知a ，b ，c 为正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c 有( )．A ．最大值9B ．最小值9C ．最大值3D ．最小值3二、填空题4．已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取值范围为________． 5．设a ，b ∈R ＋，则a ＋b2与a ＋b 的大小关系是________．三、解答题6．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的最值．7．设a1>a2>…>a n>a n＋1，求证：1a1－a2＋1a2－a3＋…＋1a n－a n＋1＋1a n＋1－a1>0.8．设x＋y＋z＝1，求函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值．。
柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式教案新人教A版选修4_5
3.2 一般形式的柯西不等式课堂探究1．一般形式的柯西不等式的应用剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点．我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题．2．正确利用“1”剖析：数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用．这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契．教材例1中数字“1”的利用说明了处理问题与变形的灵活性．题型一 三维形式的柯西不等式 【例1】已知a ，b ，c ＞0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥9. 分析：对应三维形式的柯西不等式，a 1＝ab ，a 2＝bc ，a 3＝c a ，b 1＝b a ，b 2＝c b，b 3＝ac，而a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝1，因而得证． 证明：由柯西不等式，知 (a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2× ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫c b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a b×b a ＋b c×c b＋c a×a c 2 ＝(1＋1＋1)2＝9，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．故原不等式成立．反思 由a ，b ，c 构成新的数字，形成三维形式的柯西不等式．这从所给的数学式的结构中看出，需要有较高的观察能力.题型二 多维形式的柯西不等式【例2】已知a 1，a 2，…，a n 都是正实数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1. 求证：a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n －1a n －1＋a n＋a 2na n ＋a 1≥12. 分析：已知条件中a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，可以看作“1”的代换，而要证的不等式的左边为a 1a 1＋a 2，a 2a 2＋a 3，…等数的平方和，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，应扩大2倍后再利用．本题还可以利用其他的方法证明．证法一：根据柯西不等式，得 不等式左边＝a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n －1a n －1＋a n ＋a 2na n ＋a 1＝[(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＋(a n ＋a 1)]×⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2＋a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3a 3＋a 42＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n －1＋a n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋a 12×12＝ [ (a 1＋a 2)2＋(a 2＋a 3)2＋…＋(a n －1＋a n )2＋](a n ＋a 1)2×⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2＋a 32＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n －1＋a n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋a 12×12≥ ⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2×a 1a 1＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 3×a 2a 2＋a 3＋…＋⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋a n ×a n －1a n －1＋a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋a 1×a n a n ＋a 12×12＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2×12＝12＝不等式右边．当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． ∴原不等式成立．证法二：因为a ＞0，则a ＋1a ≥2，即a ≥2－1a，当且仅当a ＝1时等号成立．利用上面的结论，知a 21a 1＋a 2＝a 12×2a 1a 1＋a 2≥a 12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 1＋a 22a 1＝a 1－a 1＋a 24. 同理，有a 22a 2＋a 3≥a 2－a 2＋a 34，…a 2n －1a n －1＋a n ≥a n －1－a n －1＋a n4，a 2na n ＋a 1≥a n －a n ＋a 14.以上式子相加整理，得a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n －1a n －1＋a n＋a 2na n ＋a 1≥12(a 1＋a 2＋…＋a n )＝12，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n时等号成立．反思 通过本题不同的证明方法可以看出，无论用柯西不等式或其他重要不等式来证明，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用.题型三 柯西不等式的综合应用【例3】设f (x )＝lg 1x＋2x＋…＋(n －1)x＋a ·nxn，若0≤a ≤1，n ∈N ＋且n ≥2，求证：f (2x )≥2f (x )．分析：由题目可获取以下主要信息：①已知f (x )的函数表达式．②变量的取值范围．③证明相关的不等式．解答本题的关键是将f (2x )≥2f (x )具体化，再根据式子的结构特点选择合适的证明方法．证明：∵f (2x )＝lg 12x＋22x＋…＋(n －1)2x＋a ·n 2xn，∴要证f (2x )≥2f (x )．只要证lg 12x＋22x＋…＋(n －1)2x＋a ·n 2xn≥2lg 1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n xn.即证12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2xn≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n xn 2 也即证n [12x＋22x＋…＋(n －1)2x＋a ·n 2x] ≥[1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n x ]2，(*) ∵0≤a ≤1，∴a ≥a 2，根据柯西不等式得n [12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2x ]222111n ≥+++个{(1x )2＋(2x )2＋…＋[(n －1)x ]2＋(a ·n x )2}≥[1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n x ]2，即(*)式成立，故原不等式成立．反思 对于较为复杂的证明问题，可采用“分析法”进行推导，从而找到柯西不等式的结构特征.题型四 易错辨析【例4】已知a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝9，ax ＋by ＋cz ≤t ，求t 的最小值． 错解：求t 的最小值，即求u ＝ax ＋by ＋cz 的最大值．ax ≤a 2＋x 22，by ≤b 2＋y 22，cz ≤c 2＋z 22，三式相加得： ax ＋by ＋cz ≤a 2＋x 22＋b 2＋y 22＋c 2＋z 22＝5，故u ＝ax ＋by ＋cz 的最大值为5，从而t 的最小值为5.错因分析：基本不等式得到u ＝ax ＋by ＋cz ≤5是正确的，但这只是能说明u 的最大值有小于或等于5两种可能，并不能得出u 的最大值一定是5.事实上，如果u 的最大值为5，错解中的三个不等式应同时取“＝”，于是a ＝x ，b ＝y ，c ＝z 从而得出a 2＋b 2＋c 2＝x 2＋y2＋z 2，即t ＝5，这是不可能的．产生错解的原因是对最值的概念及基本不等式中的等号成立的条件掌握不牢．正解：求t 的最小值，即求u ＝ax ＋by ＋cz 的最大值．由柯西不等式得：u 2＝(ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)＝1×9＝9，u ＝ax ＋by ＋cz ≤3，当且仅当a x ＝b y ＝c z时等号成立，此时u ＝ax ＋by ＋cz 的最大值为3，从而t 的最小值为3.。
高中数学 3.2一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修4-5
接
a1b＋b1c＋c1d＋d1a2，
于是a12＋b12＋c12＋d12≥a1b＋b1c＋c1d＋d1a.①
精选ppt
7
1111
等号成立⇔a1＝b1＝1c＝d1⇔ba＝bc＝dc＝ad⇔a＝b＝c＝d，
栏
bcda
目
链
由题设 a，b，c，d 不全相等，于是①中有严格等号不成立， 接
即a12＋b12＋c12＋d12＞a1b＋b1c＋c1d＋d1a.
第三讲 柯西不等式与排序不等式
3．2 一般形式的柯西不等式
精选ppt
1
精选ppt
栏 目 链 接
2
不等式证明
已知 a，b，c∈R＋，求证：
栏
ba＋bc＋acab＋bc＋ac≥9.
目 链 接
分析：对应三维形式的柯西不等式，a1＝ ab，a2＝ bc，a3＝
ac，b1＝ ba，b2＝ bc，b3＝ ac，而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而
得证．
精选ppt
3
证明：由柯西不等式知：
左边＝
ab 2＋
bc2＋
ac2×
栏
目
ba2＋
bc2＋
ac2≥
链 接
ab×
ab＋
bc×
bc＋
ac×
a c
2＝
(1＋1＋1)2＝9.
精选ppt
4
∴原不等式成立．
已知 a1，a2…，an 都是实数．
求证：(a1＋a2＋…＋an)2≤n(a12＋a22＋…＋an2)．
栏
目
分析：与柯西不等式的结构相比较，发现它符合柯西不等式的结 链
接
构，因此可用柯西不等式来证明．
证明：根据柯西不等式，有
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.1二维形式的柯西不等式学案 新人教A版选修4-5
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.1二维形式的柯西不等式学案 新人教A 版选修4-5【学习目标】1、认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。
2、通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题。
【重点难点】柯西不等式的简单应用【学习过程】一、 问题情景导入我们学习过的不等式问题有哪些？1、不等式的基本性质；2、不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等。
3、基本不等式：a,b ∈R +,a+b ≥2ab ;4、绝对值不等式的解法二、 自学探究：（阅读课本第31-35页，完成下面知识点的梳理） 定理一:(二维形式的柯西不等式) 若a,b,c,d 都是实数，则＿＿＿＿＿＿，当且仅当＿＿＿＿时，等号成立。
定理二：（柯西不等式的向量形式）设,αβu v u v 是两个向量，则＿＿＿＿，当且仅当＿＿＿＿＿＿＿＿时，等号成立。
定理三：（二维形式的三角不等式）设1122,,,x y x y ∈R ，那么＿＿＿＿＿＿＿＿三、 例题演练：例1、 已知a,b ∈R ，证明4422332()()()a b a b a b ++≥+例2、 求函数51102y x x =--例3、 设：a,b ∈R +，a+b=1，求证114a b +≥【课堂小结与反思】【课后作业与练习】 1、已知：a,b ∈R +，且，a+b=1，则2(4141)a b +++的最大值是( )A.26B.6C.6D.122、设(2,1,2)a =-v ，b v =6，则a b v v g 的最小值为＿＿，此时b v =＿＿3、设a,b ∈R +，且a+b=2. 求证：2222a b a b +--≥24、函数2223y x x =-+-的最大值是（ ） A.3 B.32 C.3 D.45、已知2221x y +=，则2x y +的最大值是（ ）A.2B.2C. 3D.3 6、已知492x y +=，x,y ∈R +,则x+y 的最小值是（ ）A.252B.254 C 52 D.5.7、已知x+y=1,那么2223x y +的最小值是（ ）A.56 B.65 C.2536 D.36258、已知x,y ＞0，而且xy=1,则11(1)(1)x y ++的最小值为（ ）A.4B.2C.1D.149、设a,b,c,d ,m,n 都是正实数，P=,ab cd + b dQ ma nc m n=++ ，则P 与Q 的大小关系是＿＿＿＿10、函数y=2121x x -+的最大值为＿＿＿＿11、已知1212,,,a a b b 为正实数，求证; 21211221212()()()a a a b a b a a b b ++≥+12、求函数56y x x =-+-13、求函数22=-++-+23614y x x x x。
高中数学 3.2 一般形式的柯西不等式课后知能检测 新人教A版选修45
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2 一般形式的柯西不等式课后知能检测 新人教A 版选修4-5一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A ．1 B ． 3 C ．3D ．9【解析】 由柯西不等式得[(a )2＋(b )2＋(c )2](12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2，∴(a ＋b ＋c )2≤3×1＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．∴a ＋b ＋c 的最大值为 3.故选B. 【答案】 B2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．不确定【解析】 ∵(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1. 当且仅当a i ＝x i ＝nn(i ＝1,2，…，n )时等号成立． ∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 故选A. 【答案】 A3．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为( )A ．3B ．1 C.33D ． 3【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝1·a ＋1·b ＋1·c ，且a ，b ，c 大于0.由柯西不等式， (1·a ＋1·b ＋1·c )2≤(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2) ∴a 2＋b 2＋c 2≥3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．∴a 2＋b 2＋c 2的最小值为 3. 【答案】 D4．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1.则1x ＋4y ＋9z的最小值为( )A ．24B ．30C ．36D ．48【解析】 (x ＋y ＋z )(1x ＋4y ＋9z)≥(x ·1x＋y ·2y＋z ·3z)2＝36.∴1x ＋4y ＋9z≥36.【答案】 C 二、填空题5．(2013·湖南高考)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．【解析】 ∵a ＋2b ＋3c ＝6，∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.∴(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号． 【答案】 126．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.【解析】 由柯西不等式知：25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302＝25×36，当且仅当a x ＝b y ＝c z＝k 时取“＝”． 由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56.所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k ＝56.【答案】 56三、解答题7．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值．【解】 由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2， ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.8．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1·x 2＝1时，必有f (x 1)·f (x 2)≥1.【证明】 由于f (x )＝ax 2＋bx ＋c . 且a ，b ，c 大于0.∴f (x 1)·f (x 2)＝(ax 21＋bx 1＋c )(ax 22＋bx 2＋c ) ≥(ax 1·ax 2＋bx 1·bx 2＋c )2＝(ax 1x 2＋b x 1x 2＋c )2＝[f (x 1x 2)]2＝[f (1)]2. 又f (1)＝a ＋b ＋c ， 且a ＋b ＋c ＝1， ∴f (x 1)·f (x 2)≥1.9．求实数x ，y 的值使得(y －1)2＋(x ＋y －2)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值． 【解】 由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(2－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(2－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝9， 即(y －1)2＋(x ＋y －2)2＋(2x ＋y －6)2≥32，当且仅当y －11＝2－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝12时，上式取等号．∴当x ＝52，y ＝12时(y －1)2＋(x ＋y －2)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值．教师备选10．△ABC 的三边长a ，b ，c ，其外接圆半径为R .求证：(a 2＋b 2＋c 2)(1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C )≥36R 2.【证明】 由三角形中的正弦定理得：sin A ＝a 2R ，所以1sin 2A ＝4R2a2，同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R2c 2，于是由柯西不等式可得左边＝(a 2＋b 2＋c 2)(4R 2a 2＋4R 2b 2＋4R 2c2)≥(a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2R c)2＝36R 2，∴原不等式得证．。
河北省唐山市开滦第二中学高中数学34基本不等式学案新人教A版必修5
河北省唐山市开滦第二中学高中数学3.4基本不等式教案新人教 A版必修 5【学习目标】 1.理解并掌握基本不等式及其推导过程，明确基本不等式建立的条件.2.能利用基本不等式求最值 .【要点难点】要点：基本不等式ab a b2的应用ab求最大值、最小值。
难点：利用基本不等式ab2【学习内容】1、我们都知道：（a b) 2 0 ，当且仅当时，取“ =”号。
所以， a2 b2— 2ab 0, a2 b 2 2ab 。
于是，我们获得了第一个基本不等式：关于随意实数a,b, 我们有a2 b 2 2ab, 当且仅当a=b时，等号建立.练习：函数 y= x2 9（ x 0) 的最小值为，此时 x 的值为。
x 22、假如 a>0,b>0, 我们用a、 b 分别取代上述不等式中的a、b，可得 a+b 2 ab (a>0,b>0).a b即ab （ a>0,b>0 ） .2叫作 a， b 的几何均匀数 , 把a b叫作正数 a， b 的算术平当 a， b 均为正数时，把ab2均数 . 所以，两个正数的算术均匀数不小于这两个正数的几何均匀数。
于是，我们获得了第二个基本不等式：a bab （ a>0,b>0 ）当且仅当 a=b 时，等号建立。
29练习： 1、已知 a>0, 求a 的最小值及此时 a 的值a2、求函数 y=x(4-x) (0<x<4) 的最大值及此时 x 的值为。
注意：在应用均值不等式求最值时，要掌握定理建立的三个条件，就是“一正，各项均为正；二定，积或和为定值；三相等，等号可否获得“若忽视了某个条件，便可能会犯错” 。
例 1、以下函数中，最小值是 2 的是（）A.y=x+ 1B.y=sinx+1,x (0, ) x sin x 2C.y= x 2 2D. y=x 2 3 x 2 1 x2 2例 2、已知函数 f ( x) x 2( x 0) ，求函数f(x) 的最小值和此时x 的取值．x2变式 2： (1)g ( x) x( x 0) 的最值。
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.3证明不等式的基本方法(三)学案 新人教A版选修4-5
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.3证明不等式的基本方法（三）学案新人教A版选修4-5——反证法与放缩法【学习目标】1.通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单命题，2.感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式，3.探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧【重点难点】重点：1. 体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题，2. 掌握证明不等式的两种放缩技巧，重点：1. 会用反证法证明简单的命题，2. 体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”【学习过程】一、问题情景导入：1.命题p与其否定p的真假关系是怎样的？2.在证明不等式时，直接证明很繁琐或很困难，而要证的结论的否定情况很简单，我们该怎样证明呢？二、自学探究：（阅读课本第26-29页，完成下面知识点的梳理）1.反证法：先假设要证的命题，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的实数等）的结论，以说明假设，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.2.放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某个部分的值，简化不等式，从而达到证明的，我们把这种方法称为放缩法.三、例题演练：题型一.用反证法证明否定性结论的命题：例1已知()1,0∈c b a 、、，求证：()()()a c c b b a ---1,1,1不能同时大于41变式：若20,20,20<<<<<<c b a ，求证：()()()a c c b b a ---2,2,2不能同时大于1.题型二.用反证法证明“至多”“至少”型命题：例2. 设+∈R c b a ,,，求证：ac c b b a 1,1,1+++至少有一个不小于2。
变式：设二次函数()q px x x f ++=2，求证：()()()3,2,1f f f 中至少有一个不小于21题型三.用放缩法证明不等式：例3. 已知：222131211n S ++++=Λ，则S 与2的大小关系为 .变式：设*,131211N n n A ∈+++=Λ求证： ⑴n A >；⑵n A n 2212<<-+【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.设z y x .,都是正实数，xz c z y b y x a 1,1,1+=+=+=. 求证：c b a ,,中至少有一个不小于22.已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证： a, b, c > 03.若x, y > 0，且x + y >2，则x y +1和y x +1中至少有一个小于2.4.已知正数数列{}n a 满足11=a ，且对一切自然数*N n ∈有n n n S a a 2121=-++， ⑴求数列{}n a 的通项公式⑵求证：211122221<+++na a a Λ。
高中数学第三讲二一般形式的柯西不等式学案含解析新人教A版选修1
二 一般形式的柯西不等式1．三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是实数，则(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2,3)或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2,3)时等号成立．2．一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证：x 1＋x 2＋…＋x n ≥x 1＋x 2＋…＋x n.根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明． ∵(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n＝·⎣⎢⎡ ⎝⎛⎭⎪⎫1x 12＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2＝n 2，∴1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.柯西不等式的结构特征可以记为：(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.其中a i ，b i ∈R ＋(i ＝1,2，…，n )．在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．已知a ，b ，c ，d ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤3 2. 证明：根据柯西不等式，有 (3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(1＋1＋1)(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)＝18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤3 2.2．设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝92.求证：1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥1.证明：法一：由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1·9＝⎝⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋a 12·≥⎝⎛1a 1＋a 2·a 1＋a 2＋1a 2＋a 3·a 2＋a 3＋⎭⎪⎫1a 3＋a 1·a 3＋a 12＝9，当且仅当(a 1＋a 2)2＝(a 2＋a 3)2＝(a 3＋a 1)2， 即a 1＝a 2＝a 3＝32时，等号成立，所以1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥1. 法二：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥331a 1＋a 2·1a 2＋a 3·1a 3＋a 1·33a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＋a 1＝9，当且仅当a 1＝a 2＝a 3时，等号成立，又a 1＋a 2＋a 3＝92，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1·2×92≥9，所以1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥1.(1)已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，求 x ＋ y ＋ z的最小值．(2)设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． (1)巧妙利用“1”的代换，构造柯西不等式来求最值． (2)对原式变形、添项构造柯西不等式求最值． (1)∵x ＋y ＋z ＝1，∴1x ＋4y ＋9z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z (x ＋y ＋z )≥⎝⎛⎭⎪⎫1x·x ＋2y·y ＋3z·z 2＝(1＋2＋3)2＝36. 当且仅当x ＝y 2＝z3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．所以1x ＋4y ＋9z的最小值为36.(2)根据柯西不等式，有(2x ＋1·1＋3y ＋4·1＋5z ＋6·1)2≤·(1＋1＋1) ＝3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40 ＝120.故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230， 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6， 即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时，等号成立．此时μmax＝230.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．3．已知：x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝2，则x ＋2y ＋3z 的最大值为( ) A ．27B ．2 3C ．4D ．5解析：选C ∵(x ＋2y ＋3z )2＝(1×x ＋2y ＋3·z )2≤(12＋22＋(3)2)＝8(x ＋y ＋z )＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝14y ＝13z ＝14时，等号成立.∴x ＋2y ＋3z ≤4.4．把一根长为12 m 的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截才能使围成的三个正方形面积之和S 最小？请求出最小值．解：设三段绳子的长分别为x ，y ，z ，则x ＋y ＋z ＝12，三个正方形的边长分别为x 4，y4，z4，均为正数，三个正方形面积之和S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 42＝116(x 2＋y 2＋z 2)． ∵(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝122， 即x 2＋y 2＋z 2≥48.从而S ≥116×48＝3. 当且仅当x 1＝y 1＝z1时，等号成立．又x ＋y ＋z ＝12，∴x ＝y ＝z ＝4时，S min ＝3.故把绳子三等分时，才能使围成的三个正方形面积之和S 最小，最小值为3 m 2.课时跟踪检测(十)1．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a·b 的最小值为( ) A ．18 B ．6 C ．－18D ．12解析：选C |a·b |≤|a ||b |， ∴|a·b |≤18.∴－18≤a·b ≤18，当a ，b 反向时，a ，b 最小，最小值－18.2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x n a n＝1时取等号，∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.3．已知a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝5，则ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为( ) A ．5 B ．－5 C ．25D ．－25解析：选B (ab ＋bc ＋cd ＋da )2≤(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)·(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)＝25，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝±52时，等号成立，∴ab ＋bc ＋cd ＋bd 的最小值为－5. 4．已知x ，y ，z ∈R ，且x －2y －3z ＝4，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为( ) A.87 B.78 C.47D.74解析：选A 由柯西不等式，得2≤(x 2＋y 2＋z 2)，即(x －2y －3z )2≤14(x 2＋y 2＋z 2)， 即16≤14(x 2＋y 2＋z 2)，所以x 2＋y 2＋z 2≥87.当且仅当x ＝y －2＝z －3＝27时，等号成立，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为87.5．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________. 解析：由柯西不等式，得(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥8214＝327. 当且仅当x 2＝y3＝z 时，等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8，解得x ＝87，y ＝127，z ＝47，所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 6．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋4y 2＋z 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式，得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1， 即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时，等号成立，故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.答案：137．已知a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝6，则2a ＋2b ＋1＋2c ＋3的最大值为________．解析：由柯西不等式，得(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3)2＝(1×2a ＋1×2b ＋1＋1×2c ＋3)2≤(12＋12＋12)(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3)＝3(2×6＋4)＝48.当且仅当2a ＝2b ＋1＝2c ＋3， 即2a ＝2b ＋1＝2c ＋3时，等号成立． 又a ＋b ＋c ＝6，∴a ＝83，b ＝136，c ＝76时，2a ＋2b ＋1＋2c ＋3取得最大值4 3. 答案：4 38．在△ABC 中，设其各边长为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C≥36R 2. 证明：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C≥⎝⎛⎭⎪⎫a sin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36R 2.9．求实数x ，y 的值使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值． 解：由柯西不等式，得 (12＋22＋12)× ≥2＝1，即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16.当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时，等号成立，此时有最小值16.10．已知不等式|a －2|≤x 2＋2y 2＋3z 2对满足x ＋y ＋z ＝1的一切实数x ，y ，z 都成立，求实数a 的取值范围．解：由柯西不等式，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(x ＋y ＋z )2.又因为x ＋y ＋z ＝1，所以x 2＋2y 2＋3z 2≥611.当且仅当x 1＝2y 12＝3z 13，即x ＝611，y ＝311，z ＝211时取等号，则|a －2|≤611，所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1611，2811.。
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2证明不等式的基本方法(二)学案 新人教A版选修45
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2证明不等式的基本方法（二）学案 新人教A 版选修4-5【学习目标】1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。
2.掌握综合法和分析法的证明过程。
【重点难点】重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。
难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。
【学习过程】一、问题情景导入：1.在不等式的证明中，我们经常从已知条件、不等式的性质和基本不等式等出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论.2.证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或以证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立.二、自学探究：（阅读课本第23-25页，完成下面知识点的梳理）1.综合法：一般地，从 出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的 、 而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法.2.分析法：从 出发，逐步寻求使它成立的 条件，直至所需条件为 或一个明显成立的事实（定义、公理或以证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立.这种证明方法叫做分析法.三、例题演练： 题型一.综合法证明不等式：例1已知R c b a ∈,,，求证：ac bc ab c b a ++≥++222变式：已知c b a 、、都是正数，① 求证：c b a cab b ca a bc ++≥++， ② 若1=++c b a ，求证：6111≥-+-+-c c b b a a ；题型二.分析法证明不等式：例2. 若b a 、都是正数，求证：a b a b -≥22变式：已知3≥a ，求证：62323---≥-+a a a a题型三.综合法与分析法的综合应用：例3.已知+∈R c b a ,,，且1=++ca bc ab .求证：⑴3≥++c b a ；⑵()c b a ab cac b bc a ++≥++3【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.已知a ，b ，m 都是正数，并且.b a <求证：.b a m b m a >++2.若1,0,0=+>>b a b a ，求证：22121≤+++b a 。
高中数学 3.2二维形式的柯西不等式(二)教案 新人教A版选修45
→ 变式：
→ 推广：
② 练习：已知 ，求 的最小值.
解答要点：（凑配法） .
讨论：其它方法 （数形结合法）
2. 不等式的证明：
① 出示例2：若 ， ，求证： .
分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）
要点： …
讨论：其它证法（利用基本不等式）
② 练习：已知 、 ，求证： .
三、应用举例：
分析：由 形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。
四、巩固练习：
1. 练习：教材P378、9题
练习：1．设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求 的最小值。
2．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。
3．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求 的最大值。
例1已知a1,a2,…,an都是实数，求证：
分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。
例2已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2+ b2+ c2+ d2> ab + bc + cd + da
分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。
选做：4．已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08广一模）
5．已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求 的最小值。（08东莞二模）
6．已知x+y+z= ，则m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08惠州调研)
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.2.1基本不等式学案 新人教A版选修45
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.2.1基本不等式学案 新人教A 版选修4-5【学习目标】1.了解两个正数的算术平均数和几何平均数的定义；2.使学生理解并掌握基本不等式；3.利用基本不等式及其变形证明不等式或求最值.【重点难点】1.2222,2,⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+≤∈+b a ab b a ab R b a 、， 2.()()2222,b a b a R b a +≤+∈+、 难点：均值不等式的应用，“等号”是否取到的问题.【学习过程】一、问题情景导入：1.我们已经学过重要不等式()R b a ab b a ∈≥+,222，该不等式是怎么推导的？ 2.根据1中重要不等式推导b a ab b a ++,,22),(+∈R b a 的不等关系.并思考它们如何应用.二.自学探究：（阅读课本第5-7页，完成下面知识点的梳理）1.定理1：如果R b a ∈,，那么 ，当且仅当 时，等号成立.2.定理2（基本不等式）如果0,>b a ，那么ab b a ≥+2，当且仅当 时，等号成立.注：应用定理2的条件：一正、二定、三相等.3.如果b a ,都是正数，我们就称 为b a ,的算术平均，为b a ,的几何平均.于是，基本不等式可以表述为：.4.已知b a ab b a ++,,22中一个为定值，其他两个的最值的求法.三、例题演练：题型一.利用基本不等式证明不等式：例1．2log log ≥+a b b a 成立的必要条件是（ ）A.1,1>>b a ，B.10,0<<>b aC.()()011>--b a ，D.以上都不正确变式：已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a . 求证：8111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a .题型二.利用基本不等式求函数最值：例2.设0>x ，则函数x x y 133--=的最大值是 .变式：已知2lg lg =+y x ，则yx 11+的最小值为 .题型三.基本不等式的实际应用：例3.某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y 与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多远处？变式：在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大？【课堂小结与反思】【课后作业与练习】 1.已知,0>>b a 则下列不等式成立的是（ ） ab b a b a A >+>>2. b ab ba a B >>+>2.ab b b a a C >>+>2. b ba ab a D >+>>2.2.设,10<<<b a 则22,2,b a ab b a ++，ab 2中最大的是 。
新人教A版高中数学《第三讲柯西不等式与排序不等式》word教案
第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则22||m a b =+，2||n c d =+∵ m n ac bd •=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 222||c d ac bd +≥+ 或 222||||c d ac bd +≥+222c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题. 第二课时3.1 二维形式的柯西不等式（二） 教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+≥2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y ?要点：利用变式22||ac bd c d ++.二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→变式：y = → 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法 （数形结合法） 2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥.分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥.3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值.要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题 第三课时3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程：一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212n na a ab b b ===时取等号，假设0i b ≠）联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B AC -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则 2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++22212()n b b b +++≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y zx ++的最小值.③ 出示例2：若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 41 4题2. 作业：教材P 41 5、6题 第四课时3.3 排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路. 教学过程：一、复习准备：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：1. 教学排序不等式： ① 看书：P 42~P 44.② 提出排序不等式（即排序原理）： 设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和)1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和) 121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式） 2. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 证明过程：设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.又222111123n>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得3322112222222323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列. ② 练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++. 解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++， 两式相加即得.3. 小结：排序不等式的基本形式. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 45 1题2. 作业：教材P 45 3、4题。
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【学习目标】
1、掌握三维形式和多维形式的柯西不等式。
2、通过运用一般形式的柯西不等 式分析解决一些简单问题。
【重点难点】一般形式的柯西不等式
【学习过程】
一、问题情景导入
平面上向量的坐标（x,y）是二维 形式的，空间向量的坐标（x,y,z）是三维形式的
的最小值
二、自学探究：（阅读课本第37-40页，完成下 面知识点的梳理）
定理：设 是实数，则＿＿＿＿＿＿＿＿当且仅当＿ ＿＿＿＿＿或 存在一 个实数k，使得＿＿＿＿＿＿时，等号成立。
三、例题演练：
例1、已知 都,d是不全相等的正数，证明 ;
＞
例3、已知 ，求 的最小值
【课堂小结与反思】
【课后作业与练 习】
1、设 ∈ ，且 ，则 的最大值是
2、设x, y,z∈R，2x+2y+z+8= 0,则 的最小值是多少
3、设 都是 正实数，且
求证：
4、设 ，若0≤ ≤1，n∈ 且n≥2，求证：
5、若实数x+y+z=1,则求 的最小值
6、 已知实数 满足 ,
,求 的 最大值
7、已知 ，且 ∈ ，求