15.4.2公式法分解因式(1)
15.4.2.因式分解 完全平方公式
2(1)1236x x ++22(2)2xy x y ---2(3)69a a --15.4.2公式法（二）主备人：杨玉英预习内容：教科书八年级上册第169、170页.一、学习目标：用完全平方公式分解因式.重 点：1.理解完全平方公式的特点．2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式.难 点：能灵活应用提公因式法、公式法分解因式.二、预习提纲1. 细读第169页，思考：特点 _______________________________ 我们把a 2+2ab+b 2和a 2-2ab+b 2这样的式子叫做__ ______．另外还有a 2+2ab+b 2= _______ ，a 2-2ab+b 2 =_______即：_______________2.阅读教材第169页的例题5.注重第（1）题的分析过程；第（2）题的符号为什么要做处理.下列各式是不是完全平方式？为什么？（1）a 2-4a+4（2）x 2+4x+4y 2（3）4a 2+2ab+14b 2（4）a 2-ab+b 2 （5）x 2-6x-9 （6）a 2+a+0.25答： ______________________.把下列多项式分解因式：3.阅读170页例题6.从（1）题中可以总结因式分解的一般步骤.从（2）题中可以得到整体考虑的思想（或换元思想）.把下列各式分解因式.（1）2a 2-a 3-a (2)(x+y)2-4(x+y)+4（3） (x 2+2x)2+2(x 2+2x)+1 （4）4x 2+20（x-x 2）+25（1-x ）2241x +2222,2,x xy y xy x ++2(1)1449x x -+322(2)2x x y xy -+2(3)363m m ---2(4)(2)2(2)1x y x y +-++221122a ab b -+22x xy y ---224129x xy y -+24()4()1x y y x ---+2220,a b c ac bc ab ++---=2444a ab b --+4.在多项式 中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式为 .5.在三个整式 中，请你任意选出两个进行加（或减）法运算，使所得的整式可以因式分解，并进行因式分解.三、交流与讨论：四、展示与点评:五、当堂检测A 组1.分解因式:B 组2.有下列式子① -x 2-xy-y 2 ②③ 3x 2-6xy+3y 2 ④ 其中能用完全平方公式分解的有（ ）个A .1B . 2C . 3D . 43.分解因式 = .C 组4.已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且满足试判断△ABC 的形状.⑤ ⑥225440x x xy y -+-+= 课后作业A 组1.下列各式能用完全平方公式分解的是（ ）A.6x 2+6x+2B.x 2+xy+y 2C.-2x 2+4x-2D.2x 2+4x+12.把代数式ax 2-4ax+4a 分解因式，下列结果正确的是（ ）A.a （x-2）2B.a （a+2）2C. a(a-4) 2D.a(x+2)(x-2)3.分解因式4（a-b ）2-4（b-a ）+1的结果是（ ）A.（2a-2b+1) 2B.（2a-2b-1）2C.（2a+2b+1) 2D.（2a-2b+1)（2a-2b-1)4.分解因式： （1） 244x x ++（2）214t t -+（3）22293m n mn +- (4)22242a b abc c -+-（5）-3x 2+6xy-3y 2 （6）（x 2-4x ）2+8（x 2-4x ）+16B 组：5.若x 2+y 2-2x-2y+2=0，则x 、y 的值为 .6.若9x 2+kxy+36y 2是完全平方式，则k= .7.已知x 2+y 2-4x-6y+13=0，求x 、y 的值.8.已知 求x 、y 的值.C 组9.利用因式分解计算（1）2042+204×192+96 （2）3.14×92+3.14×18+3.14。
八年级数学上册15.4.2《公式法因式分解》课堂教学实录新人教版
八年级数学上册15.4.2《公式法因式分解》课堂教学实录新人教版15.4.2公式法课堂记录老师:同学们好！学生:好老师！部门:首先检查预览！在预演中有什么你不会遇到的问题吗？学生:我在计算问题的第一个问题上遇到了困难。
我认为应该有一个简单的方法，但我想不出来。
我直接做了计算，有点麻烦！学生:我有一个很好的方法来介绍你。
1，原始形式？20082？2？2008年？2007年？20072？？2008年？2007年？？12岁？你认为他的方法怎么样？如果他认为简单，就给他掌声。
(掌声继续)老师:“数学来自生活，也适用于生活”。
周末，装饰师问了以下问题:要从边长为199219912.75厘米的方形纸板上切下一个边长为7.25厘米的方形，剩下的面积是多少？你能不用计算器计算吗？: 12.752？7.252？？？？①？？12.75？7.25？？12.75？7.25？？？？？②？20？5.5？110？cm2？。
根据以上计算，考虑以下问题:(1)属于从②到①；公式被应用。
(2)从①到②；这个公式用反了。
(3)通过因式分解与代数表达式乘法之间的倒数关系，类比推测因式分解中的平方方差公式为:(4)利用平方方差公式进行因式分解的多项式特征为:盛:这很简单！(1)属于从②到①的多项式乘法；应用平方方差公式。
(2)从①到②属于因子分解；平方方差的公式用反了。
(3)通过因式分解与代数表达式乘法之间的倒数关系，类比推测因式分解中的平方方差公式是a2？b2？？a。
b？？a。
b？(4)用平方方差公式因式分解的多项式特征是两个多项式都可以写成两个数的平方方差形式:(掌声)很好！今天，我们将学习使用公式的因式分解。
首先，我们将介绍平方偏差的公式。
[评价]这是对平方偏差公式的再认识。
通过代数表达式乘法的逆变形，我们可以得到因式分解的方法，这样学生就可以进一步感受到代数表达式乘法和因式分解之间的相互关系。
以下哪种类型的可以用平方偏差公式分解？表示的问题:在下列类型中，1a a2可以用平方方差公式分解？(？2平方米？20百万摄氏度？x2？y2 D？x2？学生9:不是a.b.c .也不是d？x2？9=？x？3？？？x？3？老师:很好。
初二数学教学设计：因式分解公式法
初二数学教学设计：因式分解—公式法课题15.4.2因式分解公式法(1)课型综合课教学目标知识储备点1.了解平方差公式的特点,掌握用平方差公式分解因式的方法.2.掌握提公因式法,平方差公式分解因式的综合运用.能力培养点1.经历探究分解因式的方法的过程,体会整式乘法与分解因式之间的联系.2.通过乘法公式的逆向变形,发展学生观察,归纳,类比,概括能力,有条理地思考及语言表达能力,培养学生的化归思想,同时培养合作意识.情感体验点通过探究平方差公式,让学生获得成功的体验,勇于发表自己的观点,锻炼克服困难的意志,建立自信心,并能从交流中获益.教学重点运用平方差公式分解因式.教学难点把多项式进行必要的变形,灵活地运用平方差公式分解因式.教学手段利用多媒体辅助教学.教学流程师生行为设计意图新课导入导语:有两块面积不等的正方形草坪,只知道它们的面积之差是24,且草坪的边长为整数,你能猜出这两块草坪的边长吗小明说:设大草坪边长为a,小草坪的边长为b,可得到a2 -b2=(a+b)(a-b),24=64.所以a+b=6,a-b=4.解关于a,b的方程,可求出a=5,b=1.小两说:我求出a=7,b=5.他们说得对吗还有其他答案吗二.学习目标1.掌握用平方差公式分解因式的方法.2.掌握提公因式法,平方差公式分解因式的综合运用.学习指导知识点回顾:你能叙述多项式因式分解的定义吗你知道因式分解与整式乘法有怎样的关系吗判断下列各式是因式分解的是____A.(x+2)(x-2)=x2-4B.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3xC.x2-4x=x(x-4)D.x2-4=(x+2)(x-2)运用平方差公式计算:(x+2y)(x-2y)=____;(y+5)(y-5)=____.探究:(1)你能将多项式x2-4与y2-25分解因式吗(2)这两个多项式有什么共同特点(3)能利用整式的乘法公式平方差公式(a+b)(a-b)=a2b2来解决这个问题吗归纳:平方差公式的特征:(1)__________;(2)_________;(3)__________.平方差公式:a2b2=_______;即两个数的平方差,等于__________.试一试:将多项式x2-4与9m2-4n2分解因式:X2-4=x2-22=(x+2)(x2)a2-b2=(a+b)(a-b)9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)(3m-2n)练一练:(1)下列多项式能否用平方差公式来分解因式a2+b2()m2-n2()-a2+b2()-a2-b2()(2)把下列多项式分解因式:4x2-9x2y2-z2(a+b)2-c2(x+p)2-(x+y)2四:合作学习:类型1.利用平方差公式计算:251012-99225类型2.综合运用因式分解的方法分解因式:(1)x4-y4(2)a3-ab五.盘点收获:知识:平方差公式;方法:类比思想,化归思想;反思:1.因式分解的步骤是先提公因式,再考虑用公式;2.因式分解时要分解到不能再分解为止;3.计算中运用因式分解,可使计算简便.六.消化性考试:1.填空:1-()2=(__+__)(1-5y).2.下列各式运用平方差公式分解因式正确的是()A.x2+y2=(x+y)(x+y)B.x2-y2=(x+y)(x-y)C.-x2+y2=(-x+y)(-x-y)D.-x2-y2=-(x+y)(x-y)3.下列因式分解错误的是()A.1-16a2=(1+4a)(1-4a)B.x3-x=x(x2-1)C.a2-b2c2=(a+bc) (a-bc)D.m2-0.01n2=(0.1n+m)(m-0.1n)4.(2019.黄冈)x3-xy2分解因式的结果为_______.5.(2019.杭州)因式分解(x-1)2-9结果是()A.(x+8)(x+1)B.(x+2)(x-4)C.(x-2)(x+4)D.(x-10)(x+8)6.设n为整数,试说明(2n+1)2-25能被4整除.7.计算:1002-992+982-972+962-952++22-12.七.教学反思:教师提出问题学生思考回答师生共同生成学习目标后,教师再出示学习目标.学生解答并互评教师引导并点评学生尝试用提公因式法分解因式,经过观察,每个多项式中都没有公因式,教师引导学生观察,;类比,归纳,得出结论. 这个活动的关键是逆用乘法公式,要给学生提供自主交流,探究的时间与空间.学生独立思考,自主完成练习并交流教师点评.小组讨论,交流并派代表阐述本组解决问题的方法,教师给予指导和点拨.学生总结教师补充学生按小组合作完成以实例引入新课,强化了数学的应用意识,提出的问题让学生产生浓厚的兴趣,激发他们的探究欲望.让学生明确本节课的学习任务.为新课做铺垫让学生充分经历观察,类比,归纳,概括的过程,探究出乘法公式逆用就能解决问题,发展了学生的逆向思维及分析能力和推理能力,让学生体会到数学知识之间的整体联系.通过练习达到检验,巩固和学以致用的目的,体现了本节课的重点.通过合作学习培养学生的合作意识,提高学生综合运用能力,也突破了本节课的难点.通过盘点收获,能帮助学生完善认知结构,形成解题经验.消化理解知识,同时进行知识反馈,便于随机调整教学.。
数学因式分解公式法
数学因式分解公式法因式分解是数学中的一种基本运算，也是解决代数表达式的一种重要方法。
它可以将一个多项式或者整式分解成一个或多个乘积的形式。
因式分解在代数中有着广泛的应用，是其他许多数学概念和理论的基础。
在进行因式分解之前，我们首先需要了解一些基本的因式分解公式和方法。
接下来，我将详细介绍一些常用的因式分解公式和方法。
1.提取公因式法：这是因式分解中最基本也是最常用的方法之一、具体步骤如下：a)找出所有项中的最大公因式；b)将每一项除以最大公因式，并把最大公因式提取到括号外。
例如，对于多项式6x^2 + 12xy，我们可以找到最大公因式为6，然后将每一项除以6，可以得到因式分解结果为6(x^2 + 2xy)。
2.公式法：公式法是利用一些特定的公式进行因式分解。
这里列举一些常见的公式：a)平方差公式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2；b) 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2；c) 二次平方差公式：a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2；d)差平方公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
通过运用这些公式，可以将一个多项式因式分解成更简单的形式。
3.短除法：短除法是用来分解整式的一种常用方法。
它的步骤如下：a)找到多项式的首项和首项的系数；b)将首项的系数与待分解整式每一项的系数做除法运算；c)将所得商作为因式分解结果并乘以首项的系数；d)将结果与原整式做减法，得到一个新的多项式，重复上述步骤直到不能再进行短除。
例如，对于整式12x^4-8x^3+6x^2-4x，可以先找到首项为12x^4，然后将12x^4的系数12分别除以其他项的系数，得到商为x和-2x^2、将商与首项的系数相乘得到12x^3和-24x^4，将结果与原整式做减法，得到新的多项式-16x^3+6x^2-4x，重复上述步骤直到不能再进行短除。
4.公因式提取法：公因式提取法是利用多项式中的公共因子进行因式分解的方法。
公式法分解因式ppt
总结词
完全平方公式是一种常见的因式分解方法，适用于形如$a^2 + 2ab + b^2$的式子。
公式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
完全平方公式法
平方差公式法
总结词
平方差公式是一种基本的因式分解方法，适用于形如$a^2 - b^2$的式子。
提取公因式法是因式分解中常用的一种方法，适用于有公因式的式子。
详细描述
利用三角恒等变换，将式子化为一个单项式的倍数形式，从而得到因式分解的结果。
方法描述
三角公式法
04
公式法分解因式的案例分析
请输入您的内容
公式法分解因式的案例分析
05
公式法分解因式的注意事项与技巧
确认公式是否正确
在使用公式法分解因式时，首先需要确认所使用的公式是否正确，避免使用错误的公式导致结果错误。
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2023-10-27
公式法分解因式ppt
目录
contents
引言公式法分解因式的基本原理公式法分解因式的具体方法公式法分解因式的案例分析公式法分解因式的注意事项与技巧总结与展望
01
引言
分解因式的定义与重要性
分解因式的重要性
1. 便于化简：通过分解因式，可以将一个复杂的多项式简化为易于计算的基本因子乘积，有助于进一步化简。
在使用公式法分解因式时，需要了解公式的变形，包括平方差公式的逆运算、立方和公式的逆运算等，以便更好地运用公式解决各种问题。
了解公式的变形
掌握公式的运用方法
在使用公式法分解因式时，需要掌握公式的运用方法，包括如何使用公式进行因式分解、如何使用公式进行计算等。
八年级(上)15.4.2用平方差公式分解 课件
m² 16 -
2)
4x²- 9y²
m² 16= m² 4² m + 4)( m - 4) =( a² - b² ( a + b)( a - b ) =
4x² 9y² =(2x)² -(3y)² =(2x+3y)(2x-3y)
例1.把下列各式分解因式
（1）16a² 1 解：1）16a² -1=(4a)² 1 -
( 2 ) 4x² m² - n²
(3)
9 — 25
=(4a+1)(4a-1)
x²-
1 — 16
y²
解：2） 4x² m² - n²
( 4 ) –9x² 4 +
=(2x)² (mn)² =（2x+mn)(2x-mn)
例2.把下列各式因式分解 解：
1)( x + z )² ( y + z )² 4.原式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
×[(x+y+z)- (x-y-z)] 解： 2)4( a + b)² 25(a - c)²x ( 2 y + 2 z) =2 1.原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)] =4 x ( y + z ) 3)4a³ 4a 解： =(x+y+2z)(x-y) 2.原式=[2(a+b)]² -[5(a-c)]² 4)(x + y + z)² (x – y – z )² 解： 1 5)—a² 2 -1)=4a(a+1)(a-1) 3.原式=4a(a² 2 =(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c) =[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b)- 5(a-c)]
李辉完全平方公式
1 教材分析
2
学情分析
3 教法学法
4 教学过程
5 设计说明
一、教材分析
（一）教材的地位和作用
因式分解是进行代数式恒等变形的重要手段之一， 是在学习了整式的四则运算的基础上进行的，它不仅在 整式的除法及简便运算中有直接运用，也为以后学习分 式的约分和通分、解方程（组）及三角函数的恒等变形 提供了必要的依据，因此学好因式分解对于代数的后续 学习具有相当重要的意义；本节课是在学习了提公因式 法和平方差公式法的基础上，运用完全平方公式将符合 公式结构的一类三项式进行因式分解，让学生初步感知 知识承上启下的关联作用。
（二）教学重点、难点
重 点：运用完全平方公式进行因式分解
难 点：1.正确熟练的运用完全平方公式分 解因式
2.三种分解因式方法的综合运用
（三）教学目标
1.知识与技能：
(1)掌握用完全平方公式分解因式的方法
(2)掌握所学三种分解因式方法的综合运用。
2.过程与方法：
（1）通过乘法公式（a b）2 =a22ab+b2
到不能再分解为止
3.(a+b)2-12(a+b)+36
1.把下列式子分解因式： （1）9a2-6ab+b2 （2）-2xy-x2-y2 （3）ax2+2a2x+a3 （4）(a-b)2-10(a-b)+25
你自己能给同学编写 一道可以运用完全平方公 式进行因式分解的题吗？
（
五 ） 链 接 梦 想 实 现 超 越
的逆向变形，进一步发展学生的观察、归 纳、类比、概括等能力，培养学生有条理 的进行思考及逆向思维
（2）通过探究学习，让学生主动参与知识 的形成与构建。
公式法因式分解
2 a2 6a 9 原式 x 32
3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
5 x2 1 x
4
原式
x
1 2
2
6 4a2 12ab 9b2 原式 2a 3b2
1. 因式分解 (1)9-a2-4ab-4b2 (2) 1+a2b2-a2-b2 (3) x2-4xy+4y2-5x+10y
（3）-3a+6a2-3a3 （4）4(a-b)3-9(a-b)
2.计算 （1）13×9.98+5.6×99.8+310×0.998
（2）9992-9982 （3）172+26×17+132
2.计算：542 462 2 54 46
3.已知 x y 2, xy ，2 求
x2 y2 6xy 的值。
(2)25m2 80m 64
(3)a2 1 a
(4) 24xy x2 y2
(5)(a b)2 18(a b) 81
[例3]分解因式： (1)(x+4)2+2x(x+4)+x2
(2)a4-2a2b2+b4
(3)（x2+3x）2-（x-1）2 （4）-2an+1+2an- 1 an-1
2
练习. 2.分解因式：
(1)x2 y 4 y
(2) 3x3 12x2 y 12xy2 (3)3ax2 6axy 3ay2 (4)a4 8a2 16
(5)x3 4x2 4x
3、计算：8002-1600×798+7982
应用提高、拓展创新
1.把下列多项式分解因式，从中你能发现 因式分解的一般步骤吗？
15.4.2因式分解 平方差公式
15.4.2公式法（第一课时）备课人 ：杨玉英一、学习目标：1．能说出平方差公式的特点 2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．3．初步会用提公因式法与公式法分解因式．•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解运用平方差公式分解因式。
重点：能较熟练地应用平方差公式分解因式。
难点：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解运用平方差公式分解因式.二、预习提纲： 1.回答教材167页的“思考”答：共同特点____________________________________________；总结：从以上问题出发，认识到：这两个多项式都可以写成____个数的________的形式，对于这种形式的多项式，可以利用________来分解因式。
把整式乘法的平方差公式反过来，就得到))((22b a b a b a -+=-即：__________________________2.阅读教材167页，例题3，分解因式：942-x 22)()(p x p x --+完成一下练习题。
例：填空： （1）42a =( ) 2 （2）49b 2=（ ）2 （3）0.16a 4=（ ）2 （4）1.21a 2b 2=（ ）2 （5）214X 4=（ ）2 （6）549x 4y 2=（ ）2例：下列多项式能否用平方差公式进行因式分解2201.021.1-b a + 226254b a + 454916y x - 22364-y x -3.阅读168页例4：因式分解：(1) 44y x - (2) 33ab b a -因式分解：（1）2220951b a - （2）424255b m a m -并完成教材第168页练习1，2。
总结：1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是________．2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑________．3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，•则需要进一步分解因式．直到每个多项式因式都________．三、讨论与交流要求：以小组为单位对预习提纲的内容展开交流，并准备展示内容.四、展示与点评要求：以小组为单位对预习提纲的内容进行展示，其他小组进行质疑、点评，教师做适当补充.五、当堂检测：A 组：1. 完成下列练习题：（1）42a =( ) 2 （2）49b 2=（ ）2 （3）0.16a 4=（ ）2 B 组：2.对于任意整数m ，多项式2(45)9m +-都能（ ）.A.被8整除B. 被m 整除C.被 m-1 整除D.被2m-1整除3.分解因式：34m m -=_______．C 组：4.若218(4)0x y -+-=，则将22m x n y -分解因式为______． 5.因式分解2(1)9X --的结果是（ ）A.(x+8)(x+1)B.(x+2)(x-4)C.（x-2）(x+4)D. (x-10)(x+8)6.分解因式：（1）2(3)3x x x -+- （2）68a a -（3）2(3)3x x x -++15.4.2公式法（第一课时） 作业1. 完成下列练习题。
15.4.2因式分解之平方差公式法
15.4.2因式分解之平方差公式法学习目标1. 使学生进一步理解因式分解的意义；2. 使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征；3. 会运用平方差公式分解因式.学习重点 用平方差公式法进行因式分解.一、自主学习1、分解因式2、试一试：你能将下列各式分解因式吗？你是怎样想到的？（1）x 2-4 (2)y 2-25二、创设情境★试一试1. 992－1是100的整数倍吗？2. 和老师比一比，看谁算的又快又准确： ①572－562 ②962－952 ③(1725)2－(825)2. ★做一做：整式乘法乘法公式：两数和乘以这两数差：即： (a +b )(a －b )=a 2－b 2从左到右是整式的乘法，把这个等式反过来就是_________________________将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解，这种因式分解方法称为_______.★议一议：下列多项式可以用平方差公式分解吗？（1）x 2－y 2 （2）x 2+y 2 （3）－x 2－y 2（4）－x 2+y 2 （5）64－a 2 （6）4x 2－9y 2总结平方差公式的特点：1.左边是 项式，每项都是 的形式，两项的符号 .2.右边是两个多项式的积，一个因式是两数的 ，另一个因式是这两数的 。
三、学以致用例1.依葫芦画瓢：（体验用平方差公式分解因式的过程）（1）x 2－4＝x 2－22＝(x ＋2)(x －2) （2）x 2－16 ＝( )2－( )2＝ ( )( ) （3）9－y 2＝( )2－( )2＝ ( )( )（4）1－a 2 ＝( )2－( )2＝ ( )( )例2.把下列多项式分解因式：（1） 36－25x 2 （2） 16a 2－9b 2 （3）49m 2－0.01n 2例3.观察公式a 2－b 2 =(a +b )(a －b )，你能抓住它的特征吗？公式中的字母a 、b不仅可以表示数，而且都可以表示代数式.尝试把下列各式分解因式（1）(x ＋p )2－(x ＋q )2 （2）16(m －n )2－9(m ＋n )2 （3）9x 2－(x －2y ) 2例4.把下列各式分解因式（1）4a 2－16 （2）a 5－a 3 （3）x 4－y 4 （4）32a 3－50ab 2一句话点评： .趁热打铁：1. 分解因式：2．下列分解因式是否正确：（1）－x 2－y 2=(x ＋y )(x －y ) （2）9－25a 2=(9+25a )(9－25a )（3）－4a 2+9b 2=(－2a ＋3b )(－2a －3b )3.把下列各式分解因式：（1）4a 2－(b ＋c )2 （2）(3m ＋2n )2－(m －n )2（3）(4x －3y )2－16y 2 （4）－4(x ＋2y )2＋9(2x －y )2课外延伸一.把下列各式分解因式二.运用简便方法计算（1）4920072- （2）433.1922.122⨯-⨯。
15.4.2平方差公式
15.4.2 公式法（一）学习目标：1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；2.使学生掌握用平方差公式分解因式重点：掌握运用平方差公式分解因式.难点：将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；教学过程一、创设问题情境,引入新课在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.二、新知探究：1.请看乘法公式()()22a b a b a b+-=-(1)左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是22a b-=___________________(2)左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？总结：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
22a b-=(a+b)(a-b) 如.()()22216444x xx x-=-=+-()()()()222294323232m n m nm n m n-=-=+-三、典例剖析例1把下列各式分解因式：（1）25－16x2; （2）9a2－b2. ()443yx-例2把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2; （2）2x3－8x. ()abba-33四、尝试练习1、判断下列分解因式是否正确.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.2、下列多项式能用平方差公式分解因式的有：()221yx+()222yx-()223yx+-()224yx--3、分解因式：()222511ba-()22492ba-()yyx432-()1644+-a（5）x3－4x （6）25m2－n2(7) (x－y)2－1. (8) (2x－1)2－(x＋2)2。
15.4.2因式分解之完全平方公式
15.4.3运用完全平方公式分解因式学习目标：1、理解完全平方公式的意义，弄清完全平方公式的形式和特点；2、掌握运用完全平方公式分解因式的方法，3、能正确运用完全平方公式把多项式分解因式（直接用公式不超过两次）学习重点：运用完全平方公式分解因式学习过程：第一课时一、知识回顾：1．分解因式： （1）－9x 2+4y 2； （2）（x+3y ）2－（x －3y ）2；2、根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能完成下表吗？二、探索新知：语言叙述：图形描述：±2= （± 2 问题：能够用完全平方公式分解因式的多项式具有说明特点？1、左边是一个 次 项式，其中两项是两个数的平方项且符号 ，另一项是这两个数的积的2倍（和或差），这样的多项式也称完全平方式；2、符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的 。
【练一练】判断下列各式是不是完全平方式？a 2-4a+4 x 2+4x+4y 2 4a 2+2ab+14b 2 a 2-ab+b 2 x 2-6x-9 a 2+a+0.25 三、范例学习：例1、把下列各式分解因式：(1) a 2+6a+9= + 2 = （ ）2(2) (a+b)2+6(a+b)+9=2 2 + 2 = 2例2：把下列各式分解因式：(1) x 2+8x +16 ; (2) 16x 2+24x+9; (3) –x 2+4xy-4y 2例3：把下列各式分解因式：(1) 3ax 2+6axy+3ay 2 (2)（m+n ）2-4（m+n ）+4四、学以致用：1、2、看谁能最快得出下列各式分解因式的结果：（1）x 2-4xy+4y 2 （2）4a 2-12ab+9b 2 （3）a 2b 2+2ab+1(4)(a+b)2-12(a+b)+36 （5）9x 2-30x+25 （6）0.25+a+a 2第二课时一、知识检查：分解因式二、知识拓展：例1、分解因式: (1)(a-b)2+4ab (2)(p-4)(p+1)+3p(3)3ax 2-3ay 2 (4) 2212y x x -+-由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反，因此把整式乘法公式反过来写，就得到多项式因式分解的公式，主要的有以下三个：在运用公式因式分解时，要注意：（1）每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；（2）在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解；（3）当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，然后再运用公式分解． 例2、x 2+ xy+16y 2是完全平方式，则a= ． 942+-mx x 是完全平方式，则m=1、9x 2-30xy+ ＝(3x — )22、若4x 2+mxy+49y 2是一个完全平方式，那么m 的值为（ ）．A ．±14B ．14C ．±28D ．283、把下列各式分解因式：(1) x 2y 2-xy+1= (2) 25a 2+10a +1=(3) a 2+a +14= （4）（x+y ）2－14（x+y ）+49= （5）、4－12(a-b )+9(b-a )2 （6）8a －4a 2－4 （7）－4a 2b+12ab 2－9b 3（8）、2224)1(a a -+ （9）1-x 2+4xy -4y 24．多项式①16x 5x ；②（x －1）2－4（x －1）+4；③－4x 2+4x －1；④（x+1）4－4x （x+1）2+4x 2，分解因式后，结果中含有相同因式的是（ ）．A ．①和④B ．③和④C ．①和③D ．②和③5．在一个边长为12.75cm 的正方形内挖去一个边长为7.25cm 的正方形，则剩下的面积是（ ）．A ．20cm 2B ．200cm 2C ．110cm 2D ．11cm 2拓展：6、在实数范围内分解因式：（1）22-x （2）352-x7、已知x+y=7，xy=10，求下列各式的值．（1）x 2+y 2； （2）（x －y ）28、已知x x 1+=－3，求441xx +的值．。
15.4.2因式分解
A. B. C. D.
3、(x＋1)2－y2分解因式应是（）
A.(x＋1－y)(x＋1＋y)B.(x＋1＋y)(x－1＋y)
C.(x＋1－y)(x－1－y)D.(x＋1＋y)(x－1－y)
4、若 ，则代数式 的值是
5、分解因式：（1） =；（2） =；
（3） =；（4） =；
3、把2中的公式用文字叙述为：______________________________________；
我们把上述分解因式的方法叫做_______________________；
3、试一试
1、把下列各多项式进行因式分解：
（1）4x2－25；(2)16a2－ b2；
（3）x2－9；（4）4m2－n2
（5） =；（6） =；
6、因式分解
（1）36－x2（2）a2－ b2（3）x2－16y2
（4）x2y2－z2（5）(x+2)2－9（6）(x+a)2－(y+b)2
7、你能分解下面多项式吗？
（1）25(a+b)2－4(a－b)2；（2）0.25(x+y)2－0.81(x－y)2
（3）
五、课堂小结
总结反思
2、把下列各多项式进行因式分解：
(1)(x＋p）²－(x＋q）²；（2）x4－y4；
4、重点练习
1、判断：下列各式能不能写成平方差的形式(能画“√”，并分解，不能的画“×”)
（1）x2＋64（）；（2）－x2－4y2（）；（3）9x2－16y4（）；（4）－x6＋9n2（）；（5）－9x2－(－y)2（）；（6）－9x2＋(－y)2（）。
学法建议
课堂设计
学习过程
15.4.2 因式分解(平方差公式)
(3) m2 - 0.01n2; (4) 4x2-9.
(1) 1-25b2 = 12-(5b)2 = (1+5b) (1-5b) (2) x2y2-z2 = (xy)2- z2 = (xy+z) (xy-z) (3) m2- 0.01n2 = m2- (0.1n)2 =(m+0.1n)(m-0.1n) (4) -9+4x2 = (2x)2 - 32 = (2x +3) (2x-3)
（１）(x+p)2-(x-q)2;
（２）16(a-b)2-9(a+b)2.
练习2 把下列各式因式分解：
(1) (m+n)2 - n2 (2) (2x-y)2 - (x+2y)2 (3) (a+b+c)2 - (a-b+c)2
例题3 把下列各式因式分解：
（１） a3b - ab （２） x4 - y4
三维课堂 P74 第十四课时
把下列各式因式分解： （1）x2-4 =(x+2)(x-2) (2) 9-y2 =(3+y)(3-y) (3) 1-a2b2 =(1+ab)(1-ab) (4) 4x2-y2 =(2x+y)(2x-y).
把下列各式因式分解：
（1）36-m2 ＝（6+m) (6-m) (2) 4x2-9y2 = (2x+3y) (2x-3y)
P168页 练习 ：1
(3)a2-１１６
x2
=(a+
1 4
x)(a-
1 4
x)
(4) 0.81b2-16c2 = (0.9b + 4c) (0.9b - 4c)
例题2 把下列各式因式分解：
公式法分解因式
公式法分解因式公式法是一种将函数拆解为多个因式相乘的方法，用于分解多项式的因式。
它是数学中的一种重要的技巧，尤其在解决代数方程和求解多项式零点时经常使用。
公式法的基本思想是寻找函数的因式，并将其分解为多个较简单的因式相乘。
下面将详细介绍公式法分解因式。
步骤一：判断函数的类型首先，我们需要确定给定函数的类型，以便于采取相应的公式法。
函数可以是多项式函数、有理函数或三角函数等。
不同类型的函数需要采用不同的分解方法。
步骤二：因子分解在确定了函数的类型之后，我们需要寻找函数的因子。
对于多项式函数，我们可以使用多项式的因式分解公式，如二次函数或三次函数的因式分解公式。
对于有理函数，我们可以使用有理函数的因式分解公式。
而对于三角函数，我们可以使用特定的三角函数的因式分解公式。
步骤三：分解因式接下来，我们将找到的因子进行分解。
对于多项式函数，我们可以使用多项式的因式分解公式进行因式分解。
对于有理函数，我们可以使用有理函数的因式分解公式进行因式分解。
对于三角函数，我们可以使用特定的三角函数的因式分解公式进行因式分解。
步骤四：合并因式在完成因素的分解后，我们可以将所有的因素合并到一起，形成最终的因式分解结果。
这些因式相乘就可以得到原函数。
公式法分解因式的优点是能够将复杂的函数分解为多个较简单的因式相乘，从而让计算更加方便快捷。
公式法在代数方程的求解和多项式零点的求解中有着广泛的应用。
对于复杂的函数，我们可以通过分解因式来简化问题的解决过程，从而得到更加清晰简洁的结果。
需要注意的是，公式法分解因式需要对不同种类的函数有一定的了解和掌握。
对于不同类型的函数，我们需要使用相应的公式法进行分解。
此外，公式法的应用也需要一定的经验和技巧，通过不断的练习和实践，我们可以更加熟练地运用公式法分解因式。
15.4用完全平方公式分解因式课件
a 2ab b 2 2 a b a 2ab b
这两个多项式有什么特征?
我们把
你能将下列多项式分解因式吗? 2 2 2 a b
2
这两个多项式是两个数的平方和加上(或减去)这两 个数的积的2倍，这恰是两数和（或差）的平方，
a 2ab b
归纳： （1） 先提公因式（有的话）； （2） 利用公式（可以的话）； （3） 分解因式时要分解到不能分解为止.
完全平方式具有：
小结：
1、是一个二次三项式 2、有两个“项”平方,而且有这 两“项”的积的两倍或负两倍 3、我们可以利用完全平方公 式来进行因式分解
5、把 a b 4 a b 4 分解因式得 （ C ） 2 2 A、 a b 1 B、 a b 1 2 2 C、 a b 2 D、 a b 2
2
6、计算 100 结果是（ A A、 1 C、 2
2
2 100 99 99 的
分解因式： 2＋24x＋9 (1)16x 2＋2xy－y2 (2) －x (3)
2＋6axy＋3ay2 3ax
(4) (a＋b)2－12(a＋b)＋36
(5) -3x2+6xy-3y2
练一练
1 2 x 3 xy 9 y 2 分解因式得( B ) 1、把 4 2
1 1 A、 x 3 y B、 x 3 y 2 4 4 4 2 2 2、把 x y xy 分解因式得 9 3 （ A）
1 2 ( 4m ) 2
(4) 16m
4
2
2
1 4m ___ 4
2
(5) x 2x y
15.4.2因式分解(高级篇)——因式分解的其他常用方法
15.4.2因式分解（高级篇）——因式分解的其他常用方法知识结构：一、提公因式法只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。
往往与其他方法结合起来用。
1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)二、公式法只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。
接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。
常用公式1、(a+b)(a –b)=a 2–b 2（平方差公式）2、(a ±b)2=a 2±2ab+b 2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc4、a 3+b 3=(a+b)(a 2–ab+b 2)及 a 3–b 3=(a –b)(a 2+ab+b 2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x 2+(p+q)x+pq7、x 2+y 2+z 2+xy+xz+yz 公式推导()()()()[]()()()[]222222222222222212222122222221z y z x y x z yz y z xz x y xy x yz xz xy z y x yzxz xy z y x +++++=++++++++=+++++=+++++只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。
公式法随堂练习：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1三、十字相乘法①前面出现了一个公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 暂且称为p、q型因式分解我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）例2：因式分解x2–7x+10可以看出常数项10 = (–2)×(–5)而一次项系数–7 = (–2) + (–5)∴原式=(x–2)(x–5)十字相乘法①随堂练习：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2四、十字相乘法②试因式分解6x2+7x+2。
15.4.2平方差公式分解因式
4 4
能
(5 ) 4 x 9 y
2
2
不
( 6 ) 16 x y
2
2
能
( 7 ) a 2 ab b 不
2 2
你能总结出可运用平方差公式进行因式分解 的多项式的特征吗？ 一项带正号一项带负号； 2、可写成两数平方差的形式即（
特征： 1、是一个二项式（或可看作一个二项式）；
2
3. 以上1、2两题的因式分解你发现了什么？
2 x －2 (2 y ) －4 2 2 2 4 y 16 多项式 x 4 和 都可以写成两个数的平方差的形式
2
2
对于能够写成两个数的平方差的形式的多项 式，我们可以利用平方差公式来分解因式。 把平方差公式(a+b)(a－b) = a2－b2 反过来 就得到 a2－b2 = (a+b)(a－b)
即两个数的平方差,等于这两个数 的和与这两个数的差的积.
例1 分解因式:
(1) 4x2 – 9 ;
(2) (x+p)2 – (x+q)2
例2 分解因式:
(1) x4—y4 ;
(2) a3b —ab .
分解因式 必须进行 到每一个 多项式都 不能再分 解为止.
下列多项式能否用平方差公式来分解因式? (1) x2+y2 ; 不 (2) x2－y2; 能 (3) －x2+y2; 能
2 ）－（ 2 ）
2.分解因式:
(1)9a2－4b2; (2) x2y－4y ;
2
(3) －a4 +16 ；
(4) (a 2b ) b
2
( 5 ) 36 ( x y ) 49 ( x y )
15,4.2完全平方公式
15.4.2 公式法（二）学习目标：1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式重 点： 让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法难 点： 让学生学会观察多项式特点，恰当安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式 教学过程 一、复习导入 1、因式分解：（1）x 3－4x （2）25m 2－n 2 ()1634+-a2、完全平方公式：（a±b ）2= 二、新知探究1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点. 将完全平方公式倒写：a 2+2ab+b 2= ; a 2－2ab+b 2= 观察这两个式子的特点，你有什么发现？用语言叙述为：两个数的_________，加上（或减去）这两数的________的2倍，等于这两个数的和（或差）的____________.形如a 2+2ab+b 2或a 2－2ab+b 2的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法. 练一练.下列各式是不是完全平方式？ （1）a 2－4a+4; （2）x 2+4x+4y 2; （3）4a 2+2ab+ b 2; （4）a 2－ab+b 2; 三.典例剖析 例1、分解因式：（1）x 2+14x+49; （2）（m+n ）2－6（m +n ）+9.例2把下列各式分解因式：（1）3ax 2+6axy+3ay 2; （2）－x 2－4y 2+4xy.三、课堂练习1. 下列代数式中，是完全平方式的有①a 2－4a ＋4；②9a 2＋16b 2－20ab ；③4y 2－4y ＋1；④6x 2＋3x ＋1；⑤x 2＋4xy ＋2y 2. 2. 把代数式 ax 2－4ax ＋4a 分解因式，下列结果中正确的是 A ．a (x －2)2 B ．a (x ＋2)2 C ．a (x －4)2 D ．a (x ＋2)(x －2) 3. 把多项式2mx 2－4mxy ＋2my 2分解因式的结果是 4、分解因式：()361212++x x ()2222y x xy --- ()1232++a a()14442+-x x ()22225a x a ax ++ ()223636y xy x -+-2把下列各式分解因式：（1）（x+y ）2+6（x+y ）+9; （2）4（2a+b ）2－12（2a+b ）+9;※(3) y 2－4x (y －x )； (4) (a 2＋b 2)2－4a 2b 2.。
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m 4 n m 2 n m 2 n m 2 n
2 2 2 2
整式乘法的
因式分解的
例题3 分解因式 ：
1 25
1. 4 x
2
9
2. a
2
b
2
3 . a 162Fra bibliotek4 . 16 x y
2
2
活动4：小组训练：
请小组合作模仿例题，用数或式子替换 公式中的字母a和字母b！在白板上快速给 邻组同学出道题！答完后交还原小组批改！
今生难忘的回忆！多么美好的一堂课！
我要走了！
作为老师和朋友，我是多么的想听 ——
“老师、这节课我学到了 ------”
“朋友、我想对你说 ------”
布置作业：
P171-2、4（2）、7
再见！
QQ:1154498834
活动1：温故而知新
因式分解：
1. x 25 x
2
2. 4 y 9
2
y
活动2：
1.
多项式 x 4 与多项式
2
m
2
4 n 都可以写成
2
什么样的形式？
2.那这两个多项式能进一步分解因式吗？
答：这两个多项式都可以写成两个数的平方差 的形式：
x 4 x 2 x 2 x 2
小结
1.公式：a²- b²= (a+b)(a-b)中的字母 a , b 数 可以是___ ，也可以是 单项式 或 多项式 ，应 _____ ______ 视具体情形灵活运用。
公因式 2.若多项式中有公因式，应先提取_______，然 公式 后再运用_____进行分解因式。 3.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要 分解 最简，直到不能再_____为止。
课堂过关训练
因式分解：
1 . 0 . 49 m 16 n
2 2
2. 3 y
3
27 y
3. a
2
y 5 b 5 y
2
4. a
4
1
5.边长为97的正方形挖掉1 个边长为3的小正方形，求余下 的图形（空白部分）的面积？
下课的铃声即将响起，
神圣的舞台也要落下她的帷幕。 是你 —— 亲爱的同学们， 让我坚定了一生不变的信仰、让我拥有了
较复杂的单项式和多项式“整体替换”了公式中的字母
荣誉证书
同学们在8年的学习中，取得了 优秀的成绩并有了惊人的发现： 公式 中的字母不仅可以表示（数）还可以 表示（单项式）和（多项式 ）。 特发此证，以资奖励。 2010年12月14日
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此类型题值得我们注意是什么？
勇 攀 高 峰
活动6：新题制造厂
1.若给出题目，请完成填空！
2.若一切未知，请你用此模板给同学编制新题！
a m n b m n
2 2
m n a b m n a b a b
2 2
？ ？ a b ？ a b a b
2 2
请在横线处找到智慧的种子
2
2
？
出题→换题→解题→回题、批改→汇报
例题之我见：
4 （1） x 9
2
整 体 考 虑
2 x 3
2
2
2 x 3 2 x 3
（2） x p x q
2
2
x p x q x p x q 2 x p q p q