误差理论与数据处理习题答案1-3章

rx =
∆x m x = ± m × s% x x
式中：Δxm为仪表某标称量程内的最大绝对误差，x为被测量，xm为标称量程上限。选定仪表后， 被测量x的值越接近于标称量程上限，测量的相对误差rx越小，测量越准确。 1-8. 用两种方法分别测量L1=50mm，L2=80mm。测得值各为 50.004mm，80.006mm。试评定两种 方法测量精度的高低。 【解】两种测量方法进行的测量绝对误差分别为： ； δ1＝50.004－50＝0.004（mm） 两种测量方法的相对误差分别为： δ1／L1＝0.004/50=0.008 % 和 δ2／L2＝0.006/80=0.0075 % δ2＝80.006－80＝0.006（mm）
2
②计算标准差：用贝塞尔公式计算： σ =
∑ν
i =1
i
n
2 i
n −1
=
0.02708 = 0.0823 ( mA ) 5 −1
0.332 5× 4 = 0.0930 ］
［若用别捷尔斯法计算： σ = 1.253 ×
∑ν
i =1
n
n(n − 1)
= 1.253 ×
［用极差法计算：n=5 时d n=2.33， σ = ω n = 168.59 − 168.40 = 0.19 = 0.0815 (mA) 2.33 2.33 dn 下面是以贝塞尔公式计算的或然误差和平均误差数据： 或然误差： ρ ≈ 2 σ = 2 × 0.0823 = 0.0549 ( mA )； 3 3 平均误差： θ ≈ 4 σ = 4 × 0.0823 = 0.06584 ( mA ) 5 5 算术平均值的标准差 σ x ： σ = σ = 0.0823 = 0.037 x n 5 算术平均值或然误差 R： R ≈ 2 σ = 2 × 0.037 = 0.0247 ( mA ) 3 X 3 算术平均值平均误差 T： T ≈ 4 σ = 4 × 0.037 = 0.0296 ( mA ) 5 X 5
∆g =
4π 2 8π 2 ∂g ∂g ∆T = 2 ∆ (h1 + h2 ) − 3 (h1 + h2 )∆T ∆(h1 + h2 ) + ∂T ∂ (h1 + h2 ) T T =
4π 2 2∆T [∆(h1 + h2 ) − (h1 + h2 )] 2 T T 4π 2 2 [(∆( h + h ) − 2∆T (h + h )] 1 2 2 ∆ (h1 + h2 ) 2∆T ∆ g T 1 T g 的最大相对误差为： = = − 2 h1 + h2 T g 4π 2 (h + h ) 1 2 T
max
= ν 4 = 0.09
查教材P19 表 2-5，n=8 时，1/K’n＝0.61
σ=
νi
Kn
max '
= 0.09 × 0.61 路电流共 5 次，测得数据（单位为 mA）为 168.41，168.54，168.59，168.40， 168.50，试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。
引入新变量t： t = δ
P (± 2σ ) = 2 2π
σ,
δ = tσ , 经变换上式成为：
∫
t
0
e
−t
2
2
dt = 2Φ (t ) = 2Φ ( 2 ) = 2 × 0.4195 = 0.84 = 84%
（2）误差服从反正弦分布时 因反正弦分布的标准差为： σ = a
2
，所以区间［ − 2σ ， 2σ ］＝［ − a ， a ］ ，故
第一章 习题及参考答案
1-1. 测得某三角块的三个角度之和为 180°00’02” ，试求测量的绝对误差和相对误差。 【解】绝对误差＝测得值－真值＝180°00’02”－180°＝2” 相对误差＝绝对误差／真值＝2”/（180×60×60” ）=3.086×10-4 % 1-2. 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该 被测件的真实长度为多少？ 【解】 绝对误差＝测得值－真值，即： ∆L＝L－L0 已知：L＝50，∆L＝1μm＝0.001mm， 测件的真实长度Ｌ0＝L－∆L＝50－0.001＝49.999（mm） 1-3. 用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa， 该压力用更准确的办法测得为 100.5Pa， 问二 等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞 压力计测量值的误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa） 。 1-4. 在测量某一长度时，读数值为 2.31m，其最大绝对误差为 20μm，试求其最大相对误差。 。 【解】因 ∆L＝L－L0 求得真值：L0＝L－∆L＝2310－0.020＝2309.98（mm） 故：最大相对误差＝0.020／2309.98＝8.66×10-4 %＝0.000866% 1-5. 使用凯特摆时， g由公式g=4π2 （h1+h2） /T2给定。 今测出长度 （h1+h2） 为 （1.04230±0.00005） 测出为 （1.04220 m， 振动时间T为 （2.0480±0.0005） s。 试求g及其最大相对误差。 如果 （h1+h2） ±0.0005）m，为了使g的误差能小于 0.001m/s2，T的测量必须精确到多少？
8
νi
-0.078 +0.052 +0.102 -0.088 +0.012
ν i2
0.006084 0.002704 0.010404 0.007744 0.000144
x = x 0 + ∆ x 0 = 168.488
∑ν
i =1
5
i
=0
∑ν
i =1
5
2 i
= 0.02708
或依算术平均值计算公式，n=5，直接求得： x = 1 ∑ x i = 168.488 （mA） 5 i =1
2 【解】测得（h1+h2）的平均值为 1.04230（m） ，T的平均值为 2.0480（s） 。由 g = 4π (h1 + h2 ) T2
得：
g=
4π 2 2 × 1.04230 = 9.81053 （m/s ） 2.0480 2
当（h1+h2）有微小变化 ∆(h1 + h2 ) 、T有ΔT变化时，g的变化量为：
ν i2
0.0004 0.0036 0.0064 0.0081 0.0016 0.0025 0.0016 0.0009
x = x0 + ∆ x 0 = 236.43
∑ν
i
= −0.03
∑ν
i =1
8
2 i
= 0.0251
1
或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得： x = 1 ∑ x i = 236.43 （g） 8 i =1 ②计算标准差：用贝塞尔公式计算： σ =
【解】①选参考值 x 0 = 168.5 ，计算差值 ∆xi = xi − 168.5 、 ∆ x 0 和残差ν i 等列于表中。 序 1 2 3 4 5 号
xi
168.41 168.54 168.59 168.40 168.50
Δx i
-0.09 0.04 0.09 -0.10 0
∆ x0 = 1 5 ∑ ∆xi = −0.012 5 i =1
rm =
∆U m 2 = = 2% Um 100
由于：
2% < 2.5%
所以该电压表合格。 1-7. 为什么在使用微安表等各种电表时，总希望指针在全量程的 2/3 范围内使用？ 【答】我国电工仪表、压力表的准确度等级是按照引用误差进行分级的。当一个仪表的等级 s 选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大相对误差为：
± 0.0005 − 1.01778∆T < 0.00106
求得：
∆T < 0.00055 ( s )
1-6. 检定 2.5 级（即引用误差为 2.5%）的全量程为 100V 的电压表，发现 50V 刻度点的示值误差 2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ 【解】 引用误差＝示值误差／测量范围上限。所以该电压表的引用误差为：
a
P ( ± 2σ ) =
（3） 误差服从均匀分布时 因其标准差为： σ = a
π∫
1
1 a2 − δ 2
−a
dδ = 1
3
，所以区间［ − 2σ ， 2σ ］＝［ − 2 a ， 2 a ］ ，故
3
3
P (± 2σ ) = ∫
2 a 3 − 2 a 3
2 1 1 dδ = × 2× a = 0.82 = 82% 3 2a 2a
2-2. 测量某物体重量共 8 次， 测得数据 （单位为 g） 为 236.45， 236.37， 236.51， 236.34， 236.39， 236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。 【解】①选参考值 x 0 = 236.00 ，计算差值 ∆x i = x i − 236.00 、 ∆ x 0 和残差 ∆ν i 等列于表中。 序 1 2 3 4 5 6 7 8 号
= 0.0687 ( g )
8 个测量数据的极差为：ωn= x max − x min = x3 − x 4 =236.51－236.34=0.17，
查教材P18 表 2-4，n=8 时d n=2.85
σ=
（3） 最大误差法计算
ωn
dn
=
0.17 = 0.0596 (g) 2.85
8 个测量数据的最大残差为： ν i
3
第二章 误差的基本性质与处理 习题及参考答案
2-1. 试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在［－ 2σ ， 2σ ］中的概率。 【解】 （1）误差服从正态分布时