数学建模奥运会建模

数学建模单人赛承诺书我们仔细阅读了数学建模单人赛竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们的参赛队号为： 22 队员: 孙守泽，孙冉冉，蒋家坤指导教师或指导教师组负责人 (若无可不填)：日期：2013年5月26日2012伦敦奥运会奖牌预测【摘要】本文就2012伦敦奥运会奖牌榜前十名预测这一问题进行探讨。

运用数学方法马尔科夫链来解决该问题。

数学模型，利用马尔科夫链模型，马尔科夫链是描述随机动态过程的一个分支。

它是指从一个时期到下一个时间的状态按照一定的概率去转移，下一个时期的状态只取决于本时期的状态和转移概率。

首先用马尔科夫方法对该问题进行数学分析，构造结构向量，再借助LINGO 软件求出状态转移概率矩阵，利用公式即可求得奖牌数比例的预测值，同时进行结果检验并加入修正项使得结果更加具有可信度。

接着建立多元非线性模型对结果进行优化，最终得到伦敦奥运奖牌榜前十名依次是美国、中国、俄罗斯、澳大利亚、德国、英国、法国、意大利、日本、韩国。

但由于东道主效应，英国极有可能超越俄罗斯占居奖牌榜第三名。

关键字：东道主效应马尔科夫链 LINGO一．问题重述第三十届夏季奥运会已于2012年7月27日在伦敦正式开幕并正如火如荼地举行，奥运会奖牌榜成了大家关心的热点问题。

请查阅资料，并根据以往各国奖牌榜排名情况，以及各国经济发展、人口体质、人口数量、政府政策等各种能影响到奖牌榜的因素，建立数学模型，预测2012伦敦奥运会的奖牌榜前10名。

二．问题分析本文就2012 伦敦奥运会奖牌榜这一热点问题进行分析,用马尔科夫链模型模型来进行分析探讨，从而预测出2012 奥运会奖牌榜前十名。

用马尔科夫链模型对2012 奥运会奖牌榜进行预测，首先建立数学模型，选取10个地区作为研究对象，构造结构向量W(t)= (w1(t), w2(t),..., w10(t))来表示各地区获得奖牌数的比例情况。

并且利用LINGO软件求出状态转移概率矩阵P，利用矩阵P即求出奖牌数比例的预测值W i’( t )。

并在模型求解中，考虑东道主效应，使得预测结果更加准确。

最后再进行结果检验，发现由于误差变量Vi ( t ) 的存在，最终误差比较大，因此又引入修正项以弥补误差过大的缺陷。

最后利用多元非线性模 Me =β0 +β 1 log(POP t ) +β2log(PGDP t ) +β3Home +β 4 P t +β 5 Me t-1对该问题进行优化处理，综合考虑各国经济发展、人口体质、政府政策等各种能影响到奖牌榜的因素，从而使结果更符合实际情况。

最终得到伦敦奥运会前十名依次是美国、中国、俄罗斯、澳大利亚、德国、英国、法国、意大利、日本、韩国。

但由于东道主效应，英国极有可能超越俄罗斯占居奖牌榜第三名。

三．问题假设1、假设各个国家体育实力没有很大的变化。

2、假设苏联解体前参加的奥运会记录记为俄罗斯记录。

3、假设第30届奥运会如期举行,不会由天气、战乱等外界因素影响各国奖牌数。

4、假设奥运会各大项的设置不变，各小项的竞赛规则基本不变。

5、假设各国奥运会奖牌数无后效性，即得奖情况只与其前几届得奖牌数有关。

四 符号说明五．模型求解马尔科夫链5.1 模型建立借鉴模型一中所选数据，根据第24 届至第29 届奥运会奖牌榜情况，选取多次出现在奖牌榜前 15 名的十个国家，并将剩余的所有国家化为一个地区，这样我们可以得到十一个地区作为研究对象。

其中用i 表示地区，t表示届数。

i=1,2,3,...,11，t =1,2, (6)对于所选取的十一个地区，令表示地区i 在第t 次奥运会上所得的奖牌数，N (t ) 表示该届奥运会的总奖牌数，即N (t )= n1(t )+ n2(t )+……+ n11(t )。

此时，可得该地区i 在此次奥运会上所得奖牌数占总奖牌数的比例，记为wi(t) ，即(2-1)接着我们构造结构向量，Wt =( w1(t ), w2(t ),…..,w10(t ) )来表示各地区获得奖牌数的比例情况。

有马氏链的基本方程可知，下届奥运会与上届奥运会各地区奖牌数的结构向量符合下列关系式：(2-2) 其中，P 是我们需要在求解时确定的状态转移概率矩阵。

关于P 矩阵元素pij 的确定，由马氏链的基本性质可知:(2-3)(2-4)对2-3 式引入误差变量vi (t+1) ，使得实际值wi(t +1)与预测值之间满足关系：。

因此，2-2 式也可写成(2-5)我们建立以误差变量最小为目标，关于转移概率矩阵P 的规划模型：(2-6)5.2 模型求解针对上述 2-6 式的模型我们先选取合适的研究对象i ，再根据以往数据计算各国家奖牌数占总奖牌数的比例w(t) ，用LINGO 软件解2-6 式的最优解iP ,再利用2-2 式即可求得奖牌数比例的预测值w’(t) 。

I(1) 选取所要研究的地区由第24 届到第 29 届的奥运会排名榜情况，可选取多次出现在奖牌榜前15 名的9 个国家，并且重点参考最近几届的排名情况进行选择。

其基本情况如下表 5 所示：表 5 第24 届到第29 届的奥运会排名榜情况29届28届27届26届25届24届中国 1 2 3 4 4 11美国 2 1 1 1 2 3俄罗斯 3 3 2 2 1 1英国 4 10 10 36 13 12澳大利亚 6 4 4 7 10 15德国 5 6 5 3 3 7法国10 7 6 5 9 9意大利9 8 7 6 11 10日本8 5 15 23 17 14韩国7 9 12 10 7 4按照上表，我们依次对中国、美国、俄罗斯等国家编号i 1,2,...,9 ,10，将剩余的国家编号为11，这样就可确定所要研究的 11个地区。

(t)(2) 计算各国家奖牌数比例wi在计算奖牌数比例时，我们要考虑多种因素的影响，首先，考虑东道主效应，当运动员在自己的家乡参加比赛要比在其他地方参加比赛能取得更好的成绩。

蒋家坤统计了 1992—2000 年这 3 届奥运会中，东道主举办当届、上一届、再上一届和后一届获得金牌、奖牌排名情况，论证了夏季奥运会确实存在着东道主效应。

对于“东道主效应”的测算有很多方式，我们选用参考文献[3]中简单平均法综合所有各届奥运会东道主效应，所得结果是：金牌数的东道主效应增幅为11.31%，整体实力的东道主效应增幅为 11.71%。

而第30 届奥运会时中国队是客场作战，因此我们需要在每届奥运会中去除东道主效应对奖牌数的影响。

选取东道主效应指数α= 0.1171，则去除东道主效应后东道主奖牌数.在我们研究的数据中有东道主效应的国家有第24届的韩国，第26 届的美国，第27 届的澳大利亚，第29届的中国，奖牌数分别为33， 101，58，100 枚，按折合后奖牌数分别为30，91，52，90 枚，将其折合后统计每届中各国奖牌数为下表6 所示：表 6 去除东道主效应后的奖牌数表24届25届26届27届28届29届中国28 54 50 59 63 90 美国94 108 91 97 103 110俄罗斯132 112 63 88 92 72 德国142 82 65 57 48 41 英国24 20 15 28 30 47 法国16 29 37 38 33 40意大利14 19 35 34 32 28澳大利亚14 27 41 52 49 46 日本14 22 14 18 37 25 韩国30 29 27 28 30 31 其他231 314 394 418 412 418总奖牌数739 816 832 917 929 948根据上表中各地区奖牌数ni(t) 与总奖牌数N (t ) ，由 2-1 式 ,计算得到各地区奖牌数比例表7 所示：表 7 各国家奖牌数占总奖牌数的比例表24届25届26届27届28届29届中国0.038 0.066 0.060 0.064 0.068 0.094 美国0.127 0.132 0.109 0.106 0.111 0.116 俄罗斯0.179 0.137 0.076 0.096 0.099 0.076 德国0.192 0.100 0.078 0.062 0.052 0.043 英国0.032 0.025 0.018 0.031 0.032 0.050 法国0.022 0.036 0.045 0.041 0.036 0.042 意大利0.019 0.023 0.042 0.037 0.034 0.030 澳大利亚0.019 0.033 0.049 0.057 0.053 0.049 日本0.019 0.027 0.017 0.020 0.040 0.026 韩国0.045 0.036 0.032 0.031 0.032 0.033 其他0.353 0.420 0.506 0.486 0.476 0.474 3) 转移概率矩阵P 求解我们分别选取第 24 届到第 28届的数据wi(t) 预测到第 25 届到第 29 届数据wi ‘(t+1)，其中：wi’(t+1) =w1(t)Pi1+w2(t)Pi2+…..+w11(t)Pi11，i=1,2,...,11；再利用第25 届到第29 届实际数据wi’(t+1)表示出误差变量vi (t+1)，其中：vi(t+1)= wi(t+1) - wi‘(t+1)。

利用LINGO 软件求解2-6 式模型可得状态转移概率表如下表 8 所示：表 8 状态转移概率表(4) 第30届奥运会奖牌数预测用第29 届奥运会中各地区构成的数据向量W(6)=(0.094,0.116,0.076,0.043,0.050,0.042,0.030,0.049,0.026,0.474)结合表(8)的概率转移矩阵P ,由公式 2-2：W ’ (t+1) = W(t) P，可得出第 30届奥运会各地区奖牌比例，再根据各届的奖牌总数假设下届的奖牌总数为 980 枚，最后求得第30 届奥运会各地区奖牌比例和数量的情况如下表9 所示：表 9 第 30 届奥运会各地区奖牌比例和数量由上表可以看出第30 届伦敦奥运会的前十名是，美国，中国，俄罗斯，澳大利亚，德国，英国，法国，意大利，日本，韩国。

(5) 结果检验根据模型的求解方法，我们求得第25 届到第29 届中我们选取的 10 个研究对象的实际奖牌数和预测奖牌数的比较表如下表 10 所示:表 10 实际奖牌数和预测奖牌数比较表由上表可得实际值与预测值的误差还是比较大的，这是由于我们在模型建立时引入了误差变量v i (t)，由上表可知该误差变量的影响较大不可忽略。