高一物理圆周运动的临界问题
23_第4讲 圆周运动中的临界问题
r
绳中张力为零,小球过最高点时绳子对小球的作用力不可能与球所受重 力方向相反,故答案为A、C。
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考点一 水平面圆周运动的临界问题 考点二 竖直面圆周运动的临界问题
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考点一 水平面圆周运动的临界问题
gr 时,FN=0 v2
gr 时,FN+mg=m r ,FN指向圆心并随v
的增大而增大
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2-1 如图所示,质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周 运动。圆环半径为R,小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环,则其通过
最高点时 ( C )
A.小球对圆环的压力大小等于mg B.小球受到的向心力等于0 C.小球的线速度大小等于 gR D.小球的向心加速度大小等于2g
(1)过最高点时,v≥ gr ,FN+mg=m v2 ,绳、轨 r
道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点,v< gr ,在到达最高点前小 球已经脱离了圆轨道
(1)当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆 心
(2)当0<v<
gr
时,-FN+mg=m
v2 r
,FN背向圆心,
随v的增大而减小
(3)当v= (4)当v>
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第4讲 圆周运动中的临界问题
同理,当车速高于vc,且不超出某一最高限度,车辆可能只是有向外侧滑
动的趋势,不一定能够滑动,当超过最大静摩擦力时,才会向外侧滑动,故
选项C正确;当路面结冰时,只是最大静摩擦力变小,vc值不变,D错误。
2025高考物理总复习圆周运动中的临界极值问题
2
对 a 有 kmg-FT=ml2 ,对 b 有 FT+kmg=m·
2l2 ,解得 ω2=
2
。
3
拓展变式 2
把典题1中装置改为如图所示,木块a、b用轻绳连接(刚好拉直)。(1)当ω为
多大时轻绳开始有拉力?(2)当ω为多大时木块a所受的静摩擦力为零?
答案 (1)
2
(2)
解析 (1)在 b 的静摩擦力达到最大时,轻绳刚要产生拉力,对 b 有
的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数
为μ1=0.6,与餐桌的动摩擦因数为μ2=0.225,餐桌离地高度为h=0.8 m。设小
物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g
取10 m/s2。
(1)为使小物体不滑到餐桌上,圆盘的角速度ω的最大值为多少?
(2)缓慢增大圆盘的角速度,小物体从圆盘上甩出,
滑动的末速度 vt',由题意可得 vt'2-0 2 =-2ax'
由于餐桌半径为 R'= 2r,所以 x'=r=1.5 m
解得 vt'=1.5 m/s
设小物体做平抛运动的时间为 t,则
1 2
h=2gt ,解得
t=
小物体做平抛运动的水平位移为 x1=vt't=0.6 m。
2ℎ
=0.4
s
审题指导
关键词句
在圆周运动最高点和最低点的临界条件分析。
题型一
水平面内圆周运动的临界问题
1.水平面内圆周运动的临界、极值问题通常有两类,一类是与摩擦力有关
的临界问题,一类是与弹力有关的临界问题。
2.解决此类问题的一般思路
高中物理圆周运动的临界问题(含答案)
1圆周运动的临界问题一 ．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F m ＝m rv 2，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
二 与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
【典例1】 (多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，20) 如图1，两个质量均为m 的小木块a 和b ( 可视为质点 )放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。
若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( )A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．ω＝lkg2是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝lkg32 时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC解析 木块a 、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力F f m ＝km g 相同。
它们所需的向心力由F 向＝mω2r知，F a < F b ，所以b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；a 、b 一起2绕转轴缓慢地转动时，F 摩＝mω2r ，r 不同，所受的摩擦力不同，B 项错；b 开始滑动时有kmg ＝mω2·2l ，其临界角速度为ωb ＝l kg 2 ，选项C 正确；当ω ＝lkg32时，a 所受摩擦力大小为F f ＝mω2 r ＝32kmg ，选项D 错误【典例2】 如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O 、A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m 的小球上，OA ＝OB ＝AB ，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB 始终在竖直平面内，若转动过程OB 、AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是( )A ．OB 绳的拉力范围为 0～33mg B ．OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg C ．AB 绳的拉力范围为33mg ～332mg D ．AB 绳的拉力范围为0～332mg 答案 B解析 当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F 1，则2F 1cos 30°＝mg ， F 1＝33mg ，增大转动的角速度，当AB 绳的拉力刚好等于零时，OB 绳的拉力最大，设这时OB 绳的拉力为F 2，则F 2cos 30°＝mg ，F 2 ＝332mg ，因此OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg ，AB 绳的拉力范围为 0～33mg ，B 项正确。
圆周运动的临界问题
圆周运动的临界问题【例1】如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r.物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动.【正解】由于A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心，或背离圆心.当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即F＋F m′＝m21ωr ①由于B静止，故F＝mg ②由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即F m′＝μF N＝μmg ③由①②③式解得ω1＝rg/）1（μ+当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，这时向心力为F－F m′＝m22ωr ④由②③④式解得ω2＝rg/）1（μ-要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足rg/）1（μ-≤ω≤rg/）1（μ+【思维提升】根据向心力公式解题的关键是分析做匀速圆周运动物体的受力情况，明确哪些力提供了它所需要的向心力.【例2】如图所示是电动打夯机的示意图，电动机带动质量为m的重锤（重锤可视为质点）绕转轴O匀速转动，重锤转动半径为R。
电动机连同打夯机底座的质量为M，重锤和转轴O之间连接杆的质量可以忽略不计，重力加速度为g（1）重锤转动的角速度为多大时，才能使打夯机底座刚好离开地面？（2）若重锤以上述的角速度转动，当打夯机的重锤通过最低位置时，打夯机对地面的压力为多大？【答案】（1）()mRgM m+【例3】如图所示，小球质量m =0.8kg，用两根长L =0.5m的细绳拴住并系在竖直杆上的A、B两点，AB=0.8m．当直杆转动带动小球在水平面内绕杆以ω=40rad/s的角速度匀速转动时，求上、下两根绳上的张力．【例4】如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用长L =0.1m 的细线相连接的A 、B 两小物块．已知A 距轴心O 的距离r l =0.2m ，A 、B 的质量均为m =1kg ，它们与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.3倍（ g 取 10m/s 2)．试求：（1）当细线刚要出现拉力时，圆盘转动的角速度0ω为多大？（2）当 A 、B 与盘面间刚要发生相对滑动时，细线受到的拉力为多大？【例5】如图所示，一光滑圆锥体固定在水平面上，OC ⊥AB ，θ=30°，一条不计质量、长L 且平行于圆锥体的绳一端固定在顶点O 点，另一端拴一质量为m 的物体，物体以速度v 绕圆锥体的轴线OC 在水平面内做匀速圆周运动．当 6gl v =和32gl v =时，分别求出绳对物体的拉力答案：(1)T 1=1.03mg (2)T 2=2mg【例6】如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量为M 的质点P ，与穿过中央小孔H 的轻绳一端连着。
圆周运动中的临界问题(全)
圆周运动中的“临界问题”总结一、“绳”模型——“最高点处有临界，最低点时无选择”一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球“刚好”“恰好”过最高点的条件是：此时，只有小球的 提供向心力，即 ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度，vmin ＝ . V= 是“绳”模型中小球能否顺利通过最高点继续做圆周运动的临界速度。
类此模型：竖直平面内的内轨道巩固1：游乐园里过山车原理的示意图如图所示。
设过山车的总质量为m =60kg ，由静止从斜轨顶端A 点开始下滑，恰好过半径为r=2.5m 的圆形轨道最高点B 。
求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。
巩固2：杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：(1)最高点水不流出的最小速率。
(2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．巩固3：公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”。
如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时A ．车的加速度为零，受力平衡B ．车对桥的压力比汽车的重力大C ．车处于超重状态D ．车的速度越大，车对桥面的压力越小二、“杆”模型————“最高点处有临界，最低点时无选择” 一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，注意v=0和v=gr 两个速度。
①当v ＝0时，杆对小球的支持力 小球的重力；②当0<v <gr 时，杆对小球产生 力，且该力 于小球的重力；③当v ＝gr 时，杆对小球的支持力 于零；④当v >gr 时，杆对小球产生 力。
V= 是“杆”模型中杆对小球是“推”“拉”的临界。
类此模型：竖直平面内的管轨道.巩固4：如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ）A.小球到达最高点的速度必须大于gLB .小球到达最高点的速度要大于0C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力 三、“拱形桥”模型——“最高点处有临界”小球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点时，若小球与球面间弹力为零，则有 = ，v= 。
(完整版)圆周运动中的临界问题(最新整理)
圆周运动中的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。
1、与绳的拉力有关的临界问题例1 如图1示，两绳系一质量为的小球，kg m 1.0=上面绳长，两端都拉直时与轴的夹角分别为m l 2=与，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，o 30o45当角速度为时，上、下两绳拉力分别为多大？s rad /32、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题例2 如图2所示，细绳一端系着质量为kg M 6.0=的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为的物体，的中心与圆孔距离为kg m 3.0=M m 2.0并知与水平面间的最大静摩擦力为，现让此平面M N 2绕中心轴匀速转动，问转动的角速度满足什么条件ω可让处于静止状态。
（）m 2/10s m g =3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题二、竖直平面内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。
1、轻绳模型过最高点如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。
临界条件：假设小球到达最高点时速度为，此时绳子的拉力（轨道的弹力）0v C图1图2刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即，rvm mg 20=，式中的是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。
gr v =00v （1） （刚好到最高点，轻绳无拉力）0v v =（2） （能过最高点，且轻绳产生拉力的作用）0v v >（3） （实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道）0v v <例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为的小球，kg m 1=绳的长度， 轻绳能够承受的最大拉力为，m l 4.0=N F 100max =现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端为O 圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（10m g =2、轻杆模型过最高点如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有支撑的类型。
圆周运动中的临界问题
（当 v rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）
（3）不能过最高点条件： v rg
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
如图所示，固定在竖直平点为轨道最高点，DB为竖
特点
在最高点时，没有物体支 撑，只能产生拉力
轻杆对小球既能产生拉 力，又能产生支持力
圆周运动的临界问题
1.竖直平面内的圆周运动 ①轻绳模型 ：
能过最高点的临界条件：
小球在最高点时绳子的拉力刚好 等于0，小球的重力充当圆周运 动所需的向心力。
m gmR 2 v临界 Rg
轻绳模型
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没 有力的作用：
B、的压力 D、24N的压力
例3：长L＝，质量可以忽略的的杆，其下端
固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小 球A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过 最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m／s时:
②当A的速率v2＝4m／s时:
变式训练
.一轻杆下端固定一质量为M的小球,上端连在轴 上,并可绕轴在竖直平面内运动,不计轴和空气阻 力，在最低点给小球水平速度v0时,刚好能到达最 高点,若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大,
2
双体转动模型
如图所示，轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直 面内转动，杆的两端固定有质量均为m=1kg的 小球A和B，球心到轴O的距离分别为，。已知 A球转到最低点时速度为vA=4m/s，问此时A、B 球对杆的作用力的大小和方向？
B
vB
vA
A
谢谢观赏
N
fA AB mg
变式训练
圆周运动中的临界问题
3 rad/s 1.0 rad/s
0.5 rad/s
• 在质量为M的电动机的飞轮上，固定 着一个质量为m的重物，重物到转轴 的距离为r，如图所示，为了使放在地 面上的电动机不会跳起，电动机飞轮 的角速度不能超过( )
A． C．
M m g mr M m g mr
B． D． Mg
mr
M m g mr
m R O
v0 N
M
如图所示，质量为m的物体随水平传送带 一起匀速运动,A为传送带的终端皮带轮， 皮带轮半径为r，要使物体通过终端时， 能水平抛出，皮带轮的转速至少为：（ ）
A
如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固 定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴 距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静 止。物体与盘面间的动摩擦因数为 /2（设最 大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的 夹角为30°，g取10m/s2。则ω的最大值是 A 5 rad/s B C D
gr
N=0
v2 mg m r
v gr
在最高点时速 度应不小于
gr
V>=0 F向>=0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn V>=0 F向>=0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn
在最高点速度 应大于等于0 在最高点速度 应大于等于0
临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动 的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同， 所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。
3.如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径 为R，顶部有一个入口，在的正下方 处 有一个出口，一质量为 m的小球沿切线 方向的水平槽射入圆筒内，要使小球从 B处飞出，小球射入入口的速度 满足什 么条件? 在运动过程中球对筒的压力 多大？
圆周运动临界问题
圆周运动的临界问题通常涉及到物体在竖直平面内做变速圆周运动的情况，如轻绳模型过最高点或最低点的情况，以及物体通过其他特殊点的情况。
在这些情况下，临界状态通常是由于圆周运动的向心力和离心力的平衡状态被打破所导致的。
以轻绳模型过最高点为例，当物体通过最高点时，轻绳对物体的拉力与物体的重力相等，即T = mg。
当拉力大于或小于重力时，物体将处于超重或失重状态，并可能出现临界情况。
在这种情况下，可以通过牛顿第二定律和向心力公式来求解物体的运动状态。
在求解时，首先根据题意确定物体通过最高点时的受力情况，然后根据牛顿第二定律列式，最后根据向心力公式求解出物体在最高点时的速度。
根据速度的大小，可以判断出物体是否处于临界状态，并求出相应的临界条件。
需要注意的是，在圆周运动的临界问题中，物体的运动状态可能会发生突变，因此需要特别注意物体的加速度和速度的变化情况。
此外，在求解临界条件时，需要将物体的运动状态与受力情况结合起来考虑，并灵活运用向心力和牛顿第二定律进行求解。
【高考物理】圆周运动的动力学临界问题
圆周运动的动力学临界问题圆周运动动力学的临界问题——比如小球过竖直平面内圆周轨道最高点、物块随水平桌面转动而不外滑等，很多同学在最初接触这个问题时，都感觉很难理解，各种情形下的结论也常常混淆，究其根本，问题还是出在对圆周运动的径向动力学的理解不深入，对圆周运动动力学临界问题的类型和分析技巧不熟悉。
一、圆周运动的动力学之供需关系问题圆周运动的临界问题的正确分析，需要从供需匹配角度深入理解圆周运动的径向动力学——供需匹配，物体就做圆周运动，供需不匹配，物体就要离开圆周轨道做离心、近心运动。
我们以一个具体的例子来说明这个问题。
如图2-12-1所示，光滑水平桌面上，用一根细绳拴着一个小球绕O 点做圆周运动，则由圆周运动动力学可知，小球所受径向合力，即绳中拉力满足rv m F 2=。
现若将绳从O 点完全松开，绳中张力变为0，即0=F ，则小球将由于惯性而沿原圆周轨道切线方向做直线运动离开圆周轨道；若并不是完全放松，而只是适当的减小一些绳中拉力，即rv m F 2<，则绳中拉力虽然没能够将小球拉回原来的圆周轨道，但也将小球的轨迹拉弯了——夹在沿切线的直线和原圆周轨道之间，做离心运动；若不仅没松开绳，而且还用更大的力拉绳，即rv m F 2>，则小球将被绳拉到原圆周轨道内侧来，做近心运动。
圆周运动径向动力学的供需匹配问题，可以从上述例子中总结出来：1、径向合力为零：0n =F ，物体沿切线方向做直线运动。
2、径向合力不为零：0n ≠F ，物体偏离切线方向向径向合力一侧做曲线运动。
（1）径向合力小于所需的向心力：r m rv m F 22n ω=<，物体相对原圆周轨道做离心运动；（2）径向合力等于所需的向心力：r m rv m F 22n ω==，物体沿原圆周轨道继续做圆周运动；（3）径向合力大于所需的向心力：r m rv m F 22n ω=>，物体相对原圆周轨道做近心运动。
进一步可以这样理解：物体由于惯性，总有沿着切线做离心运动的趋势；物体转动的线速度、角速度越大，离心运动的趋势越大，越有可能做离心运动；线速度、角速度越小，离心运动的趋势越小，越有可能被径向合力拉近圆心而做近心运动；只有径向合力正好等于所需向心力大小时，径向合力刚好抵消物体的离心运动趋势，物体才能沿固定半径轨道做圆周运动。
圆周运动的临界问题
圆周运动的临界问题圆周运动的临界问题圆周运动中的临界问题的分析方法是首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值。
竖直平面内作圆周运动的临界问题是典型的变速圆周运动。
一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。
在绳模型中，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况如图6-11-1所示。
小球能过最高点的临界条件为绳子和轨道对小球刚好没有力的作用，即mg=mv^2/R，从而得到小球能过最高点的条件为v≥√(Rg)，不能过最高点的条件为v<√(Rg)。
在杆模型中，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况如图6-11-2所示。
小球能过最高点的临界条件为v=0，F=mg（F为支持力），当0F>0（F为支持力），当v=Rg时，F=0，当v>Rg时，F随v增大而增大，且F>0（F为拉力）。
拱桥模型与杆模型类似，但因可以离开支持面，在最高点当物体速度达v=√(Rg)时，F_N=0，物体将飞离最高点做平抛运动。
若是从半圆顶点飞出，则水平位移为s=2R。
细线模型中，如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F可能是拉力、推力或等于零。
最后，对于一个质量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m，小杯通过最高点的速度为4m/s，g取210m/s。
可以利用向心力公式和受力分析，求出小杯通过最高点的临界条件。
1.长度为0.5m的细杆OA，A端挂着一个质量为3.0kg的小球，在竖直平面内做圆周运动。
求小球通过最高点时细杆OA所受的力。
答案：C。
24N的拉力2.在竖直放置的光滑圆形管道内，质量为m的小球做圆周运动。
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题一．竖直面内的临界问题： a 无支撑模型：1、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即mg=rmv 2临界上式中的v 临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度，v 临界=rg .②能过最高点的条件：v ≥v 临界. 此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力mg rv m N -=2③不能过最高点的条件：v<v 临界（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）. b 有支撑模型：2、如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度 v 临界=0.②图（a ）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N ，其大小等于小球的重力，即N=mg ；当0<v<rg 时，杆对小球有竖直向上的支持力rv m mg N 2-=，大小随速度的增大而减小；其取值范围是mg>N>0. 当v=rg 时，N=0；当v>rg 时，杆对小球有指向圆心的拉力mg rv m N -=2，其大小随速度的增大而增大. ③图（b ）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg.当0<v<rg 时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力rv m mg N 2-=，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg>N>0. 当v=gr 时，N=0.当v>gr 时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力mg rv m N -=2，其大小随速度的增大而增大.④图(c)的球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点的v 临界=gr .当v>gr 时，小球将脱离轨道做平抛运动.c 类似问题扩展如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l 的细线，细线的一端固定在O 点，另一端拴一质量为m 的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知O 点到斜面底边的距离s OC =L ，求：小球通过最高点A 时的速度v A ．二．平面内的临界问题 如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg 的物体A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m=0.3kg 的小球B ，A 的重心到O 点的距离为0.2m ．若A 与转盘间的最大静摩擦力为f=2N ，为使小球B 保持静止，求转盘绕中心O 旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s 2）三．绳的特性引发的临界问题如图所示，质量为m =0.1kg 的小球和A 、B 两根细绳相连，两绳固定在细杆的A 、B 两点，其中A 绳长L A =2m ，当两绳都拉直时，A 、B 两绳和细杆的夹角θ1=30°，θ2=45°，g =10m/s 2．求： （1）当细杆转动的角速度ω在什么范围内，A 、B 两绳始终张紧？ （2）当ω=3rad/s 时，A 、B 两绳的拉力分别为多大？模型一 圆周运动中的渐变量和突变量例1：如图所示，细线栓住的小球由水平位置摆下，达到最低点的速度为v ，当摆线碰到钉子P 的瞬时（ ）A ．小球的速度突然增大B ．线中的张力突然增大P 小球C O B A θ θ ωAB 30°45°CC ．小球的向心加速度突然增大D ．小球的角速度突然增大模型二 圆周运动与平抛运动相结合例2：如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光轨道半径为R ，A 端与圆心O 等高，AD 为水平面，B 点在O 的正上方，一个小球在A 点正上方由静止释放，自由下落至A 点进入圆轨道并恰能到达B 点。
圆周运动_临界问题
速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好
过最高点，则下列说法中正确的是：（ D ）
A.小球过最高点时速度为零
B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m
v
2 0
C.小球过最高点时绳对小的拉力mg L
D.小球过最高点时速度大小为 gL
变型题2：在倾角为α=30°的光滑斜面上用细绳 拴住一小球，另一端固定，其细线长为0.8m， 现为了使一质量为0.2kg的小球做圆周运动，则 小球在最高点的速度至少为多少？
【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向 两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m，它们到 转轴的距离分别为rA=20cm，rB=30cm。A、B与圆盘间 的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，（g=10m/s2）求：
（1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度；
例1：如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于
盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB
方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰
一次，且落点为B，则小球的初速度v＝
_________，圆盘转动的角速度ω＝
_________。
图3-6
例2：如图所示，小球Q在竖直平面内做匀 速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有 另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由 下落.要使两球在圆周最高点相碰，则Q球 的角速度ω应满足什么条件？
当v=v0，对轨道刚好无压力，小球刚好能够通过最高点；
当v>v0，对轨道有压力，小球能够通过最高点； 当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点。
要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须满足：v gr
规律总结：无支持物
物体在圆周运动过最高点时，轻绳对物体只能产生沿绳收 缩方向向下的拉力，或轨道对物体只能产生向下的弹力； 若速度太小物体会脱离圆轨道——无支持物模型
圆周运动的临界问题
解：在最高点F向=G+T, 即G+T=mv2/r
T=mv2/r-mg≥0
小球经过最高点的速度：v gr
线或绳
讨论：
①、当 v gr 时，细绳对小球没有拉力作用。向心
力只由小球所受重力提供。
②、如果 v＞ gr ，轻绳对小球存在拉力。
③、如果 v＜ gr ，小球无法到达圆周的最高点
练习：如图，在“水流星”表演中，绳长为 1m，水桶的质量为2kg,若水桶通过最高点的 速度为4m/s，求此时绳受到的拉力大小。
变式训练2：如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其
轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L 的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端 拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆 锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
⑴当v＝ gl 6
时，求绳对物体的拉力；
练习：长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端 固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A 绕O点做圆周运动,在A通过最高点时，试讨论在下列 两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m/s时 ②当A的速率v2＝4m/s时
A
L
O
小结：
一．水平面内的圆周运动的临界问题
处理这类问题的关键是分析出静摩擦力的变化，从 而结合其他力分析出指向圆心的合外力的变化，以 确定圆周运动的其他物理量的变化范围。
mgt0 am n ω 1 2L 3s0 i3n00
B
30 0
45 0
C
将已知代入解得ω1＝2.4 rad/s
②当角速度ω继续增大时TAC减小，TBC
增大。设角速度达到ω2时，TAC=0，则③ω＝3 rad／s，此时两绳拉
专题 圆周运动临界问题
专题 圆周运动的临界问题一．水平转台上与静摩擦力有关的临界问题在转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，当转台的转速变化时，静摩擦力也会随之变化。
关键：（1）找出与最大静摩擦力对应的临界条件 （2）牢记“静摩擦力大小有个范围，方向可以改变1．单个物体做圆周运动【例1】如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。
物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。
求：⑴当转盘角速度ω1＝μg 2r 时，细绳的拉力T 1 ⑵当转盘角速度ω2＝3μg 2r时，细绳的拉力T 22．绳子连接两个物体在圆心的一侧做圆周运动【例2】一圆盘可以绕其竖直轴在图所示水平面内转动，A 、B 物体质量均为m ，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L 的轻绳连在一起。
若将A 放在距轴心为L 的位置，A 、B 之间连线刚好沿半径方向被拉直，随着圆盘角速度ω的增加，摩擦力或绳子拉力会出现不同的状态，（两物体均看作质点）求：（1）ω1＝Lg 3μ时，细绳的拉力T 1和A 所受的摩擦力f 1（2）ω1＝Lg 53μ时，细绳的拉力T 2和A 所受的摩擦力f 23.绳子连接两个物体分别在圆心的两侧做圆周运动【例3】(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m 的两个物体A 和B ，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A ＝r ，R B ＝2r ，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是( )A ．此时绳子张力为3μmgB ．此时A 所受摩擦力方向沿半径指向圆内C ．此时圆盘的角速度为2μg rD ．此时烧断绳子，A 仍相对盘静止，B 将做离心运动【针对训练1】如图所示，水平转台上的小物体A 、B 通过轻绳连接，转台静止时绳中无拉力，A 、B 的质量分别为m 、2m ，A 、B 与转台间的动摩擦因数均为μ， A 、B 离转台中心的距离分别为1.5r 、r ，当两物体随转台一起匀速转动时，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（ ）A ．绳中无拉力时，A 、B 物体受到的摩擦力大小相等B ．当绳中有拉力时，转台转动的角速度应大于√μg rC ．若转台转动的角速度为√6μg r ，则A 、B 一起相对转台向B 离心的方向滑动D ．物体A 所受的摩擦力方向一定指向圆心【针对训练2】（多选）如图所示，圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动。
专题七 圆周运动的临界问题
几何分析
目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析
目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
条件分析
①绳的临界:张力 ;②接触面滑动的临界: ;③接触面分离的临界: .分析时一般先假设达到临界状态后,再分析结论.
C
A.小球通过最高点时的最小速度 B.小球通过最高点时的最小速度 C.小球在水平线 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线 以上的最高点的速度可以为零，故A、B错误;小球在水平线 以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力 与小球重力在背离圆心方向的分力 的合力提供向心力，即 ，因此外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，C正确;小球在水平线 以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，D错误.
考向二 “杆-球”模型
例4 如图甲所示，轻杆一端固定在 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为 的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为 ，小球在最高点的速度大小为 ，其 图像如图乙所示.则( )
A.小球的质量为 B.当地的重力加速度大小为 C. 时，在最高点杆对小球的弹力方向向上D. 时，在最高点杆对小球的弹力大小为
√
√
√
变式2 如图所示，相同的物块 、 用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上.当圆盘绕转轴转动时，物块 、 始终相对圆盘静止.下列关于物块 所受的摩擦力 随圆盘角速度的平方 的变化关系正确的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 角速度慢慢增大，一定是长绳挂着的那个球先离开圆锥筒，选项A正确，B错误；设小球离开圆锥筒后，绳子的拉力为 ，绳子长度为 ，与竖直方向的夹角为 ，由 ， ，联立解得 ，而 ，为小球到圆锥筒顶点的高度，所以两个球都离开圆锥筒后，它们的高度一定相同，选项C正确；而细绳中拉力 ，即两个球都离开圆锥筒时两端绳子的拉力不一定相同，选项D错误.
圆周运动的临界问题结论总结
圆周运动的临界问题结论总结圆周运动的临界问题结论总结1. 引言：圆周运动是物理学中的一个重要问题，涉及到质点在圆周轨道上运动的临界条件和相关结论。
通过对圆周运动的深入研究和分析，我们可以更好地理解质点运动的性质以及相应的临界条件。
2. 圆周运动的基本定义和参数：圆周运动是指质点沿着固定半径的圆周轨道做匀速运动。
它的参数包括半径r、角速度ω和线速度v等。
圆周运动的关键特征是质点受到向心力的作用，它的大小与质点的质量m、角速度ω和半径r有关，即F = mω²r。
3. 圆周运动的临界条件：圆周运动会出现临界情况，当质点的向心力等于或超过受力的上限时，圆周运动将发生变化。
这个临界条件可以用一个重要的方程来表示：F = mv²/r = mω²r。
当F > mω²r时，质点将脱离圆周轨道，产生离心力；当F = mω²r时，质点保持在圆周轨道上做匀速运动，达到临界情况。
4. 圆周运动的结论总结：通过对圆周运动的分析，我们可以得出以下结论：4.1 向心力是使质点保持在圆周轨道上运动的重要力量，它提供了质点的必要的向心加速度，进而产生了向心力。
4.2 圆周运动的临界条件是质点所受向心力等于或超过受力上限，当向心力小于受力上限时，质点无法保持在圆周轨道上做匀速运动。
4.3 圆周运动的临界条件方程为F = mω²r，其中F是向心力，m是质点的质量，ω是角速度，r是运动半径。
4.4 圆周运动的临界条件可以帮助我们计算或推导质点的角速度、线速度、运动半径等参数，从而更加深入地了解质点运动的性质。
5. 我的个人观点和理解：圆周运动的临界问题是一个非常有趣且重要的物理学问题。
通过对临界条件的研究和理解，我们可以更好地把握物体在圆周轨道上运动时的行为特征，推导出相关的运动参数，并进行定量分析。
这样，我们可以更深入、全面地了解物体运动的规律和特点，为实际问题的解决提供有力支持。
专题圆周运动的临界问题课件高一下学期物理人教版必修第二册
细绳能够拉紧的条件为ωB>ωA,即______R_1_________R __2___，
B滑动时,即整体恰好滑动时吗μ1m1g+μ2m2g=m1 ω2R+m2 ω2r
2 g
若m1=m2,μ1=μ2=μ整体滑动临界角速度ω=_____R__ ___r___
g ❶产生拉力的临界角速度为ω1=___2__R _
§6.4.2 圆周运动的临界问题
R
圆周运动的临界问题
1.临界点：物理变化过程中，物理规律或物理现象发生变化的转折点 2.题型简述： 做圆周运动的物体，转速变化时，出现绳子恰好拉直或断裂、接触面产生最大 静摩擦、弹簧或轻杆弹力方向发生变化等，从而出现临界问题。 3.方法突破——步骤： （1）判断临界状态：有“恰好”字眼，表明题中有临界点；
但小球直径略小于管道直径，所以，压力和支持力不能同时产生。 ❶一般位置： 合力不等于向心力，向心力只是半径方向的分力 ❷最高和最低点：重力和弹力方向相同，合力指向圆心，合力等于向心力。
球过最高点时，设轻杆对小球产生的弹力FN方向向上， 由牛顿第二定律得：
故
由此可知：弹力FN的大小和方向随着经最高点时速度v的大小的 变化而变化。
叠加体特点: 1 g
上面物块临界角速度ω1=______R______
若m1=m2,下面物块临界角速度ω2=_______2___2_g_R __-___1_g___
角速度增大的过程中，两物体先后达到最大静摩擦力，不是同时达到，
临界角速度ω0小的__先___滑动
2.细绳拉力提供向心力
例题2、小物块质量为m，放在光滑水平旋转圆台上，在细绳拉力作用下随 圆台一起以角速度ω匀速转动，细绳长度为R,物块可看作质点，细绳拉力 多大？
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第3讲专题圆周运动的临界问题
竖直面内圆周运动的临界问题分析
对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，常分析两种模型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：
取竖直向下为正向
☆针对训练
1．如图4－3－1所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m 的小球，当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为L 1；当汽车以同一速度匀速率通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，弹簧长度为L 2，下列答案中正确的是( ) A ．L 1＝L 2 B ．L 1>L 2 C ．L 1<L 2 D ．前三种情况均有可能
2．如图4－3－2所示，汽车质量为1.5×104 kg ，以不变的速度先后驶过凹形路面和凸形路面，路面圆弧半径均为15 m ，如果路面承受到最大压力不得超过2.0×105 N ，汽车允许的最大速率是多少？(g ＝10 m/s 2)
典型例题
题型1 竖直平面内的圆周运动中的临界问题
【例1】长L ＝0.5 m 质量可忽略的细杆，其一端可绕O 点在竖直平面内转动，另一端固定着一个物体A 。
A 的质量为m ＝2 kg ，当A 通过最高点时，如图4－3－3所示，求在下列两种情况下杆对小球的力：
(1)A 在最低点的速率为s m /21； (2)A 在最低点的速度为6 m/s.
〖思考与讨论〗
在例1中若把细杆换成细绳，则在(1)(2)两种情况下小球能通过最高点吗？若能，此时细绳对小球的拉力为多少？
题型2 匀速圆周运动中的临界问题
【例2】 用一根细绳，一端系住一个质量为m 的小球，另一端悬在光滑水平桌面上方h 处，绳长l 大于h ，使小球在桌面上做匀速圆周运动．求若使小球不离开桌面，其转速最大值是( ) A ．
h
g π21 B ．gh π C ．
l
g
π21 D ．g
l π
2 变式训练
2－1 如图4－3－5所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴飞速转动，下列说法中正确的是( )
A ．物块处于平衡状态
B ．物块受三个力作用
C ．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘
D ．在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘。