9 第9讲 函数模型及其应用

第9讲函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比直线增长更快．()(2)不存在x0，使ax0<x n0<log a x0.()(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>1)的增长速度．()(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×[教材衍化]1．(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：x 0.500.99 2.01 3.98y －0.99 0.01 0.98 2.00A ．y ＝2xB ．y ＝x 2－1C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D.根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．2．(必修1P102例3改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元解析：选D.由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A 正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B 正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D 错误．3．(必修1P107A 组T4改编)用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______．解析：设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ，则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，y 最大．答案：3 [易错纠偏](1)对三种函数增长速度的理解不深致错； (2)建立函数模型出错；(3)分段函数模型的分并把握不准．1．已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>f (x )>h (x )C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )解析：选B.由函数性质知，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g (x )>f (x )>h (x )．故选B.2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．解析：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．答案：183．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数x (km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100应用所给函数模型解决实际问题某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170 p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元【解析】 设毛利润为L (p )元，则由题意知 L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20) ＝(8 300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．当p ∈(0，30)时，L ′(p )>0，当p ∈(30，＋∞)时，L ′(p )<0，故L (p )在p ＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L (30)＝23 000.【答案】 D应用所给函数模型解决实际问题的关键点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．1．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B （x －A ），x ＞A .已知某家庭2019年前三个月的煤气费如表： 月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3 4元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A.根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12（x －5），x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5.2．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，故e －8b ＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：16构建函数模型解决实际问题(高频考点)构建函数模型是每年高考的重点，难度中等．主要命题角度有： (1)构建二次函数模型；(2)构建指数函数、对数函数模型； (3)构建分段函数模型； (4)构建y ＝x ＋ax (a >0)模型．角度一 构建二次函数模型某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为(30－52R )万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( )A ．[4，8]B ．[6，10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%]【解析】 根据题意，要使附加税不少于128万元， 需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8， 即R ∈[4，8]． 【答案】 A角度二 构建指数函数、对数函数模型某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年【解析】 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.【答案】 B角度三 构建分段函数模型提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)【解】 (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20<x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13（200－x ），20<x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x （200－x ），20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（200－x ）22＝10 0003， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间(20，200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[]0，200上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． 角度四 构建y ＝x ＋ax(a >0)模型要建造一个容积为2 400 m 3，深为6 m 的长方体无盖水池．池底造价为100元/m 2，池壁造价为80元/m 2，则最低造价为________(元)．【解析】 设水池长为x ，则宽为2 4006x ＝400x .则总造价y ＝(12x ＋4 800x )×80＋400×100＝960(x ＋400x )＋40 000≥960×2x ×400x＋40 000＝78 400(元)． 当且仅当x ＝400x，即x ＝20时，最低造价为78 400元． 【答案】 78 400构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元，则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：设该单位每月获利为S ， 则S ＝100x －y＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．核心素养系列4 数学建模——函数建模在实际问题中的妙用某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据：年份 2008 2009 2010 2011 … 投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y1234…a ＋b )(a ＞0，且a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型． 【解】 (1)将(3，1)，(5，2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝3k ＋b ，2＝5k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝－12，所以y ＝12x －12.当x ＝9时，y ＝4，不符合题意；将(3，1)，(5，2)代入y ＝ab x (a ≠0，b ＞0，且b ≠1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧1＝ab 3，2＝ab 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝24，b ＝2，所以y ＝24·(2)x＝2x －32.当x ＝9时，y ＝29－32＝8，不符合题意；将(3，1)，(5，2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝log a （3＋b ），2＝log a （5＋b ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以y ＝log 2(x －1)． 当x ＝9时，y ＝log 28＝3；当x ＝17时，y ＝log 216＝4.故可用③来描述x ，y 之间的关系． (2)令log 2(x －1)>6，则x >65.因为年利润665＜10%，所以该企业要考虑转型．解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．――――→读题（文字语言） ――――→建模（数学语言） ――――→求解（数学应用）反馈（检验作答）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋1；③f (x )＝x (x －q )2＋p (以上三式中p ，q 均为常数，且q ＞1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)? (2)若f (0)＝4，f (2)＝6.①求出所选函数f (x )的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x ＝0表示8月1日，x ＝1表示9月1日，以此类推)；②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p .(2)①对于f (x )＝x (x －q )2＋p ， 由f (0)＝4，f (2)＝6， 可得p ＝4，(2－q )2＝1， 又q ＞1，所以q ＝3，所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)．②因为f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)， 所以f ′(x )＝3x 2－12x ＋9， 令f ′(x )＜0，得1＜x ＜3.所以函数f (x )在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．[基础题组练]1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.15 6.126 y1.5174.041 87.51218.01A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝log 12x解析：选B.由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A 、C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.3．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.3解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x 年，则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝12，即x＝log 0.912＝lg12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1＝－0.301 02×0.477 1－1≈6.6(年)．故选B.4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( )A ．13 m 3B ．14 m 3C ．18 m 3D ．26 m 3解析：选 A.设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx （0<x ≤10），10m ＋（x －10）·2m （x >10）， 则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.5.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t 2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40万元，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t 4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80万元，共获利40＋80＝120万元，故选C.6.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的范围为( )A ．[2，4]B ．[3，4]C ．[2，5]D ．[3，5]解析：选B.根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2>0，得2≤x <6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x 2(2≤x <6)，由y ＝18x ＋3x2≤10.5，解得3≤x ≤4.因为[3，4]⊆[2，6)，所以腰长x 的范围是[3，4]．7．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：88．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋2.15（x －3）＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85（x －8）＋1，x ＞8，由y ＝22.6，解得x ＝9. 答案：99．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析：M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A 1，A 2，则9＝lg A 1－lg A 0＝lg A 1A 0，则A 1A 0＝109，5＝lg A 2－lg A 0＝lgA 2A 0，则A 2A 0＝105，所以A 1A 2＝104. 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍． 答案：6 10 00010．(2020·杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．解析：设每小时的总费用为y 元，则y ＝k v 2＋96，又当v ＝10时，k ×102＝6， 解得k ＝0.06，所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为10v 小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v ≥20.6v ×960v ＝48，当且仅当0.6v ＝960v ，即v ＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时． 答案：4011．A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)x 的取值范围为10≤x ≤90. (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003，所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使供电总费用y 最少． 12.如图，GH 是一条东西方向的公路，现准备在点B 的正北方向的点A 处建一仓库，设AB ＝y 千米，并在公路旁边建造边长为x 千米的正方形无顶中转站CDEF (其中边EF 在公路GH 上)．若从点A 向公路和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB ＝AC ＋1，且∠ABC ＝60°.(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x 取何值时，修建中转站和道路的总造价M 最低？解：(1)由题意易知x >1，BC ＝2x ， 又AB ＝y ，AC ＝y －1，在△ABC 中，由余弦定理得，(y －1)2＝y 2＋4x 2－2y ·2x ·cos 60°， 所以y ＝4x 2－12（x －1）(x >1)．(2)M ＝30(2y －1)＋40x ＝120x 2－30x －1－30＋40x ，其中x >1，设t ＝x －1，则t >0，所以M ＝120（t ＋1）2－30t －30＋40(t ＋1)＝160t ＋90t ＋250≥2160t ·90t＋250＝490，当且仅当t ＝34时等号成立，此时x ＝74.所以当x ＝74时，修建中转站和道路的总造价M 最低．[综合题组练]1．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时解析：选C.由已知得192＝e b ，① 48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k ＝12，当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝e 33k ·e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.2．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C.由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获利润为y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10，k ∈N *)，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，所以当k ＝9时，获得利润最大．选C.3．拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．解析：因为m ＝6.5，所以[m ]＝6，则f (m )＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 答案：4.244．某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．解析：设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．答案：435．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t ＞1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4， 由⎝⎛⎭⎫121－a＝4得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t ＞1.(2)由y ≥0.25得⎩⎨⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．6．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单元：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？ 解：(1)由题意知甲大棚投入50万元， 则乙大棚投入150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5(万元)．(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20≤x≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ，则t ∈[25，65]，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝282.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．。