ch3 静态电磁场及其边值问题的解
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电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
3 电磁场与电磁波--静态电磁场及其边值问题的解
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
电位差（电压） 将 E 两端点乘 dl ，则有 E dl dl dl d l 上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力 做的功
Q
P
Q E dl d ( P) (Q)
2
1 P1 2 Δl
P2
1 2 1 2 S n n
若介质分界面上无自由电荷，即S=0
1 2 1 2 n n
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
或
D1n D2n S
表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移 矢量的法向分量是不连续的。
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
若分界面上不存在自由面电荷，即S=0，则
en (D1 D2 ) 0
或
D1n D2n
此时，在分界面上，电位移矢量的法向分量是连续的。由 边界条件： E E 和 E E ，可得场矢量在分界 1t 2t 1 1n 2 2n 面上的折射关系：
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性原理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法 3.7 有限差分法
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
R
z L
( , , z)
2 ( z z ) 2 ，则
R
1 dz
L L
(r ) l 0 4 π 0
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
电位差（电压） 将 E 两端点乘 dl ，则有 E dl dl dl d l 上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力 做的功
Q
P
Q E dl d ( P) (Q)
2
1 P1 2 Δl
P2
1 2 1 2 S n n
若介质分界面上无自由电荷，即S=0
1 2 1 2 n n
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
或
D1n D2n S
表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移 矢量的法向分量是不连续的。
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
若分界面上不存在自由面电荷，即S=0，则
en (D1 D2 ) 0
或
D1n D2n
此时，在分界面上，电位移矢量的法向分量是连续的。由 边界条件： E E 和 E E ，可得场矢量在分界 1t 2t 1 1n 2 2n 面上的折射关系：
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性原理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法 3.7 有限差分法
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
R
z L
( , , z)
2 ( z z ) 2 ，则
R
1 dz
L L
(r ) l 0 4 π 0
电磁场与电磁波(第4版)教学指导书 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
第3章 静态电磁场及其边值问题的解3.1 基本内容概述静态电磁场包括静电场、恒定电场和恒定磁场。
本章分别讨论了它们的基本方程和边界条件，位函数，能量和力，电容、电阻和电感，最后介绍静态场边值问题的几种解法（镜像法、分离变量法和有限差分法）。
3.1.1静电场1.基本方程和边界条件基本方程的微分形式(3.1)(3.2)ρ∇=∇⨯=D E基本方程的积分形式(3.3)(3.4)d d d 0S VCVρ==⎰⎰⎰D SE l边界条件()12n s ρ-=e D D 或 12n n s D D ρ-= （3.5） ()120n ⨯-=e E E 或 120t t E E -= （3.6）2.电位函数（1）电位函数及其微分方程根据电场的无旋性（0∇⨯=E ），引入电位函数ϕ，使E ϕ=-∇ （3.7） 电位函数ϕ与电场强度E 的积分关系是d ϕ=⎰E l （3.8）在均匀、线性和各向同性电介质中，已知电荷分布求解位函数点电荷()14'ii q ϕπε=-∑r r r （3.9） 体密度分布电荷 ()()'1d '4'VV ρϕπε=-⎰r r r r （3.10） 面密度分布电荷()()'1d '4'S SS ρϕπε=-⎰r r r r （3.11）线密度分布电荷 ()()'1d '4'l ll ρϕπε=-⎰r r r r （3.12）在均匀、线性和各向同性电介质中，电位函数满足泊松方程()()2ρϕε∇=-r r （3.13） 或拉普拉斯方程（0ρ=时）()20ϕ∇=r （3.14）（2）电位的边界条件12ϕϕ= （3.15a ） 1212S n nϕϕεερ∂∂-=-∂∂ （3.15b ） 3. 电场能量和电场力 （1）能量及能量密度分布电荷的电场能量 1d 2e V W V ρϕ=⎰ （3.16） 多导体系统电场能量 112Ne i i i W q ϕ==∑ （3.17）能量密度为 12e w =D E （3.18）（2）电场力 用虚位移法求电场力e i iq W F g =∂=-∂常数（3.19a ）e i iW F g ϕ=∂=∂常数（3.19b ）4.电容及部分电容在线性和各向同性电介质中，两导体间的电容为qC U=多导体系统，每个导体的电位不仅与本身所带的带有关，还与其它导体所带电荷有关。
地磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解
05
地磁场与电磁波的关系
地磁场对电磁波的影响
折射与反射
地磁场影响电磁波的传播方向，当电磁波进入地磁场 时，会发生折射和反射现象。
偏振现象
地磁场对电磁波的偏振方向也有影响，导致电磁波的 电场和磁场分量在传播过程中发生旋转。
相速度变化
地磁场还会改变电磁波的相速度，导致电磁波的传播 速度发生变化。
电磁波在地磁场中的应用
总结词
电磁波以光速在空间中传播
详细描述
电磁波在空间中以光速传播，不受介质影响。电磁波的传播速度与频率无关，只与介质有关。在真空中，电磁波 的传播速度为光速。在介质中，电磁波的传播速度会小于光速。
电磁波的应用
总结词
电磁波在通信、探测、医疗等领域有广泛应用
详细描述
电磁波的应用非常广泛。在通信领域，无线电波用于手机、电视、广播等信号传输。在探测领域，雷 达利用电磁波进行目标探测和定位。在医疗领域，微波和射频用于治疗和诊断疾病。此外，电磁波还 在科学研究、军事等领域有广泛应用。
04
静态场及其边值问题
静态场的定义
总结词
静态场是指空间中不随时间变化的电 场和磁场分布。
详细描述
静态场的特点是电场和磁场在空间中 保持恒定，不随时间发生变化。这种 场在空间中形成稳定的分布，不会产 生电磁波。
边值问题的提
总结词
边值问题是指求解微分方程时需要满足的边界条件。
详细描述
在求解电磁波传播的微分方程时，需要满足一定的边界条件，这 些条件规定了电场和磁场在边界处的取值和变化规律。通过设定 合适的边界条件，可以限制解的取值范围，并确保解的物理意义 。
磁感应成像
利用地磁场对电磁波的影响，可以发展出磁感应成像技术， 用于探测地下金属物体。
静态电磁场及其边值问题的解
E dl
A
P
定义点A电位： A
E dl
A
(P 为参考点，P 0 )
说明：
① 电位有明确的物理意义；
② 电位差与参考点的选择无关；
③ 同一问题中只能有一个参考点；
④ 选择电位参考点的原则是电位表达式要有意义，
应使电位表达式最简单：
电荷分布在有限区域时一般是无穷远为参考点，
, )
C
C
p cos 4 0r 2
中，p、0 为常数
故 等位面方程：r C1 cos (可画出 r 对 的曲线) ，而
dr Er
rd
E
r sind
E
dr
2 cos
rd sin
dr r
2d (sin sin
)
r
C2 sin2
第19页
[例] 求如图所示同轴电容器的电场和单位长度电容。
解：问题的边界条件是：
① a ， a ； b ， b
② 介质分界面上: E1t E2t，D1n D2n
用高斯定律试探解： E 1 , D 1
设
C
E1 E2 e
，C为常数，则
4 0r1r2 4 0r 2
定义电偶极矩矢量：
p qd
(单位 C m )
p cos 4 0r 2
p er
4 0r 2
p r
4 0r 3
p
4 0
1 r
第17页
电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
第3章 静态电磁场及其边值问题的解剖析
2r ρr
ε
(Poisson方程)
（2）
该式即为静电位满足的微分方程— Poisson方程。Poisson 方程和上述方程组等价，故它也唯一确定了静电场。
在无电荷分布区域
2 r 0
(Laplace方程)
求解Poisson方程或Laplace方程时，解电位中的积分常 数需要应用电位的边界条件确定：
第三章 静态电磁场及其 边值问题的解
3.1 静电场分析
1. 基本方程
微
D ρ
分
形
或
积 分
SD dS V ρdV
形
式 E 0
式 l E dl 0
这组方程揭示静电场的基本性质：有散、无旋、保守性
2. 边界条件
eˆn E1 E2 0 或
E1t E2t
eˆn D1 D2 S
1 r2
d dr
r2
d
dr
0
r
c1 r
c2
c
c1、c2待定积分常数。
边界条件：
求解区域的边界是r=a
和r=的两闭合球面
① r a, U
② r , 0
利用条件 1得 c1 aU 利用条件 2得 c2 0
故解 r aU
r
5. 导体系统的电容
电容是导体系统的一种基本属性，它是 描述导体系统储存电荷能力的物理量。任何导体和导体之 间以及导体和大地之间都存在电容。
-E0
r
eˆz
rE0
E0r cosθ
在柱坐标系中，取x轴与电场方向一致，则
P
-E0
r
eˆx E0
eˆρ ρ eˆzz
E0 cos
o
E0
在坐
点
ε
(Poisson方程)
（2）
该式即为静电位满足的微分方程— Poisson方程。Poisson 方程和上述方程组等价，故它也唯一确定了静电场。
在无电荷分布区域
2 r 0
(Laplace方程)
求解Poisson方程或Laplace方程时，解电位中的积分常 数需要应用电位的边界条件确定：
第三章 静态电磁场及其 边值问题的解
3.1 静电场分析
1. 基本方程
微
D ρ
分
形
或
积 分
SD dS V ρdV
形
式 E 0
式 l E dl 0
这组方程揭示静电场的基本性质：有散、无旋、保守性
2. 边界条件
eˆn E1 E2 0 或
E1t E2t
eˆn D1 D2 S
1 r2
d dr
r2
d
dr
0
r
c1 r
c2
c
c1、c2待定积分常数。
边界条件：
求解区域的边界是r=a
和r=的两闭合球面
① r a, U
② r , 0
利用条件 1得 c1 aU 利用条件 2得 c2 0
故解 r aU
r
5. 导体系统的电容
电容是导体系统的一种基本属性，它是 描述导体系统储存电荷能力的物理量。任何导体和导体之 间以及导体和大地之间都存在电容。
-E0
r
eˆz
rE0
E0r cosθ
在柱坐标系中，取x轴与电场方向一致，则
P
-E0
r
eˆx E0
eˆρ ρ eˆzz
E0 cos
o
E0
在坐
点
电磁场与电磁波第2章 静态电磁场及其边值问题解
D 0, B 0, V 0
t
t
t
– 静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁
场的特例。
– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的 电场。
– 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。
– 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静 磁场。
又称狄里赫利问题。如在静电场中，已知各导
体表面的电位，求解空间的电位问题。
第二类：给定边界上每一点位函数的法向导数
值。
又称诺依曼问题。如在静电场中，已知各导体
表面的电荷密度分布，求解空间的电位问题，此
时的电荷密度分布可表达为
n
的形式。
第三类：给定一部分边界 S1 上每一点的位函数，
同时给定另一部分边界 S2 上每一点的位函数的法
(2)静电场与恒定电场 • 对偶方程 • 对偶量
静电场(无源区域) 恒定电场(电源外区域)
E 0
E
D 0
D E
2 0
q S D dS
E 0
E
Jc 0
J E
2 0
I S Jc dS
(3)静电场与恒定磁场 • 对偶方程 • 对偶量
r r r
R2 R1
由边界条件 U A ln R1 B 0 Aln R2 B
A
U ln R1
R2
B
U ln R1
ln
R2
R2
则：
U ln R2
ln
R2 r
R1
E
E
U r ln R2
aˆr
R1
第三章 静态电磁场及其边值问题的解(课后题).
第三章 静态电磁场及其边值问 题的解
课后练习题
• 3.2 一个点电荷q1=q位于点P1(-a,0,0)，另一点电荷 q2=－2q位于点P2(a,0,0)，求空间的零电位面。
解：两个点电荷在空间 产生的电位 1 q 2q ( x, y , z ) 2 2 2 2 2 2 4 0 ( x a ) y z ( x a) y z q 2q 令 ( x, y, z ) 0，则有 ＝0 2 2 2 2 2 2 ( x a) y z ( x a) y z
0 ( , ) E0 x C E0 cos C 感应电荷的电位 in (r , )应与 0 ( , )一样按cos变化，
且在无限远处为 0。
E0 y a O x
( , ) n ( , ) Rn ( ) n ( ) n m B n sin n )(C n D n ) (( r, ) Cn0( ( A cos ,D 0)ln Rn ( ) ( ) (C Bn sinnn ) n Dn )( n An cos n n ln r r r1 故得到沿方向的电阻为 U3 R3 I 3 d ln(r2 r1 )
r2
1
• 3.15无限长直线电流I垂直于两种磁介质的分界面， 试求（1）两种磁介质中的磁感应强度（2）磁化 电流的分布
I 解：（ 1 ）由安培环路定律，可 得H e 2 0 I I B1 0 H e , B2 H e 2 2 (2)磁介质的磁化强度 ( 0 ) I 1 M B2 H e 0 20
将上式两边同乘以 sin(
ny )，并从0到a对y积分，有 a 2ql a 2ql ny nd An Bn ( y d ) sin( )dy sin( ) 0 n 0 a n 0 a
课后练习题
• 3.2 一个点电荷q1=q位于点P1(-a,0,0)，另一点电荷 q2=－2q位于点P2(a,0,0)，求空间的零电位面。
解：两个点电荷在空间 产生的电位 1 q 2q ( x, y , z ) 2 2 2 2 2 2 4 0 ( x a ) y z ( x a) y z q 2q 令 ( x, y, z ) 0，则有 ＝0 2 2 2 2 2 2 ( x a) y z ( x a) y z
0 ( , ) E0 x C E0 cos C 感应电荷的电位 in (r , )应与 0 ( , )一样按cos变化，
且在无限远处为 0。
E0 y a O x
( , ) n ( , ) Rn ( ) n ( ) n m B n sin n )(C n D n ) (( r, ) Cn0( ( A cos ,D 0)ln Rn ( ) ( ) (C Bn sinnn ) n Dn )( n An cos n n ln r r r1 故得到沿方向的电阻为 U3 R3 I 3 d ln(r2 r1 )
r2
1
• 3.15无限长直线电流I垂直于两种磁介质的分界面， 试求（1）两种磁介质中的磁感应强度（2）磁化 电流的分布
I 解：（ 1 ）由安培环路定律，可 得H e 2 0 I I B1 0 H e , B2 H e 2 2 (2)磁介质的磁化强度 ( 0 ) I 1 M B2 H e 0 20
将上式两边同乘以 sin(
ny )，并从0到a对y积分，有 a 2ql a 2ql ny nd An Bn ( y d ) sin( )dy sin( ) 0 n 0 a n 0 a
电磁场电磁波静态场及其边值问题的解
Cq
两个带等量异号电荷（q）的
1 U
E
2 0
导体组成的电容器，其电容为
q
q
C q q
U 1 2
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质
的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
11
3.1.4 静电场的能量 静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
1
• 静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场
• 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场
• 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法
1 P1 2 P2
Δl
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即S 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件： 常数，
n
S
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
10
电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
Q
Q
P E dl P d (P) (Q)
关于电位差的说明
3电磁场与电磁波--静态电磁场及其边值问题的解.
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性原理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法 3.7 有限差分法
• 电磁场与电磁波 •来自第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
4 V ' | r r ' |
引入电位函数的意义： 简化电场强度的求解！在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求
解电位函数则相对简单，因此可以通过先求电位函数，再由 E
关系得到电场解——间接求解法。
• 电磁场与电磁波 •
➢电位差（电压）
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
将 E 两端点乘dl，则有 E dl dl dl d l
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力 做的功
Q
Q
P E dl P d (P) (Q)
P、Q两点 间的电位差
*关于电位差的说明*
P、Q两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q点所做的 功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。
电位差也称为电压，可用U 表示。 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。
d 2
cos
r2 r1 d cos , r1r2 r 2
代入上式，得
(r ) qd cos p er p r 4π0r 2 4π0r 2 4π0r3
p qd 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度
积分形式：
E dl
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性原理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法 3.7 有限差分法
• 电磁场与电磁波 •来自第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
4 V ' | r r ' |
引入电位函数的意义： 简化电场强度的求解！在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求
解电位函数则相对简单，因此可以通过先求电位函数，再由 E
关系得到电场解——间接求解法。
• 电磁场与电磁波 •
➢电位差（电压）
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
将 E 两端点乘dl，则有 E dl dl dl d l
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力 做的功
Q
Q
P E dl P d (P) (Q)
P、Q两点 间的电位差
*关于电位差的说明*
P、Q两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q点所做的 功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。
电位差也称为电压，可用U 表示。 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。
d 2
cos
r2 r1 d cos , r1r2 r 2
代入上式，得
(r ) qd cos p er p r 4π0r 2 4π0r 2 4π0r3
p qd 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度
积分形式：
E dl
电动力学 第三章 静态电磁场及其边值问题的解
最后得
所以
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
18
3.1.3 导体系统的电容与部分电容
电容器广泛应用于电子设备的电路中： • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁
路、选频等作用； • 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
19
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷
能力的物理量。
孤立导体的电容
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即
两个带等量异号电荷（q）的导 体组成的电容器，其电容为
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
将
两端点乘 ，则有
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
关于电位差的说明
P、Q 两点间的电位差
P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；
电位差也称为电压，可用U 表示； 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
2
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
1. 基本方程
两点间电位差有定值
电磁矢论 第三章、静态电磁场及其边值问题的解
q C 单位：F/法拉 U
统的几何尺寸及周围电介质的特性参数有关。
3.1 静电场分析
4. 静电场的能量 （1）静电场的能量
在静电场中，电场对电荷有作用力，电荷在电场力作用下沿
电场方向发生运动，意味着电场力对电荷作功了，表明静电 场是有能量的。
电场能量的来源：建立电荷系统过程中外界提供的能量。
1 P1 2 Δl
P2
3.1 静电场分析
3. 导体系统的电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷 能力的物理量。 孤立导体的电容：孤立导体所带电荷量q与其电位φ之比。
C
U之比。
q
单位：F/法拉
导体系统的电容：任一导体上的总电荷量q与导体间的电位差
电容的大小与电荷量、电位差无关，只与孤立导体或导体系
求对应的电场强度。
1 r 1 1 r [ 2 e ( )e ]e r 4 0 r r q 1 1 r ( 2 )e e r 4 0 r r q
3.1 静电场分析
(3)电位差（电压） 电位差:电场空间中不同位置处电位的变化量，也称电压，可 用U表示。 注:空间中某点的电位无物理意义，只有两点间的电位差才有 意义。
3.1 静电场分析
在均匀介质中
2
泊松方程
在无源区域中 0 ： 2 0
拉普拉斯方程
解上述的微分方程，结合给定的边界条件，就可得出电位的
定解。
1 2 边界条件 2 1 2 1 S n n
媒质1 媒质2
1
2
电位差有确定值，其取值只与首尾两点的位置有关，与积分
路径无关。
3.1 静电场分析
[工学]第三章静态电磁场及其边值问题的解
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P P P'
P'
q O
E
Q l P
q 1 1 er ( ) dr 2 P ' 4 0 rP rQ 4 0 r 选取Q点为电位参考点，则 Q 0 q 1 1 P ( ) 4 0 rP rQ
q
Q
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 r Q
则：
(r )
E
ex ey ez x y z
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
E / 0 / 2 即： / 0 0 E
在无源区域， 0
q
r
r
l
1 1 P ( ) 4 0 r r
q
O
q
r r l r r r 2 l 2 2rl cos 1 1 1 l 2 cos (r 2 r l l r r r 1 2 2 cos r r q l pr P 2 cos ＝ 4 0 r 4 0 r 3
点电荷在空间中产生的电位 4 r
0
q
说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点
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电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
无限长线电荷的电位
l E er 2 0 r l P (ln rQ ln rP ) 2 0
电位参考点不能位于无穷远点，否则表 达式无意义。 根据表达式最简单原则，选取r=1柱面 为电位参考面，即 rQ 1 得：
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
P'
q O
E
Q l P
q 1 1 er ( ) dr 2 P ' 4 0 rP rQ 4 0 r 选取Q点为电位参考点，则 Q 0 q 1 1 P ( ) 4 0 rP rQ
q
Q
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 r Q
则：
(r )
E
ex ey ez x y z
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电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
E / 0 / 2 即： / 0 0 E
在无源区域， 0
q
r
r
l
1 1 P ( ) 4 0 r r
q
O
q
r r l r r r 2 l 2 2rl cos 1 1 1 l 2 cos (r 2 r l l r r r 1 2 2 cos r r q l pr P 2 cos ＝ 4 0 r 4 0 r 3
点电荷在空间中产生的电位 4 r
0
q
说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点
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电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
无限长线电荷的电位
l E er 2 0 r l P (ln rQ ln rP ) 2 0
电位参考点不能位于无穷远点，否则表 达式无意义。 根据表达式最简单原则，选取r=1柱面 为电位参考面，即 rQ 1 得：
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
第三章静态电磁场及其边值问题
2 2
y
有题设边界条件： x 0处，1 0 0; 1 x b处，1 b 2 b . x a处， 2 a 0 2 x 1 x 3 x
o
b
a
x
2.
s 0 b a s 0b 解得：C1 , D1 0 D2 . 0a 0 b a b 1 x s 0 x ; 2 x s 0 a x 0a 0a s 0 b a s 0b d1 x d 2 x E1 x 1 x e x ex ; E2 x 2 x e x ex dx 0a dx 0a
电位满足的拉普拉斯方程
2 2 2 在直角坐标系中 2 2 2 x y z 补充例题 半径为a 的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计 算球外空间的电位。 C1 C2 2 r 解：◇ 球外空间的电位满足拉氏方程 0
2
由题意可知电位及电场具有球对称性 r 在球坐标系下
◇ 于是位于 r r ' 处的点电荷q 的体密度为 q r r ' ◇ 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程 2 r r ' / 0
满足的方程：2G r , r ' r r ' 1 无界空间中的解：G r , r ' r , r ' 0 ◇ 定义格林函数 G r, r ' 0 r, r ' 4 r r ' 格林函数的对称性：G r , r ' G r ', r 意义：电荷量为 0的点电荷的电位。
间的x b处有一面密度为 s 0的均匀电荷分布。求导 体板间的电位和电场。 解：电位函数满足的一 维拉普拉斯方程为 d 1 x d 2 x 0 0 x b ; 0 bxa 2 2 dx dx 方程的解为：1 x C1 x D1 ; 2 x C2 x D2
y
有题设边界条件： x 0处，1 0 0; 1 x b处，1 b 2 b . x a处， 2 a 0 2 x 1 x 3 x
o
b
a
x
2.
s 0 b a s 0b 解得：C1 , D1 0 D2 . 0a 0 b a b 1 x s 0 x ; 2 x s 0 a x 0a 0a s 0 b a s 0b d1 x d 2 x E1 x 1 x e x ex ; E2 x 2 x e x ex dx 0a dx 0a
电位满足的拉普拉斯方程
2 2 2 在直角坐标系中 2 2 2 x y z 补充例题 半径为a 的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计 算球外空间的电位。 C1 C2 2 r 解：◇ 球外空间的电位满足拉氏方程 0
2
由题意可知电位及电场具有球对称性 r 在球坐标系下
◇ 于是位于 r r ' 处的点电荷q 的体密度为 q r r ' ◇ 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程 2 r r ' / 0
满足的方程：2G r , r ' r r ' 1 无界空间中的解：G r , r ' r , r ' 0 ◇ 定义格林函数 G r, r ' 0 r, r ' 4 r r ' 格林函数的对称性：G r , r ' G r ', r 意义：电荷量为 0的点电荷的电位。
间的x b处有一面密度为 s 0的均匀电荷分布。求导 体板间的电位和电场。 解：电位函数满足的一 维拉普拉斯方程为 d 1 x d 2 x 0 0 x b ; 0 bxa 2 2 dx dx 方程的解为：1 x C1 x D1 ; 2 x C2 x D2
静态电磁场及其边值问题的解chap3
ϕ ( P) = ∫
∞
P
v v E ⋅d l
（以无限远处为零电位做参考，任意点P的电位表示） 以无限远处为零电位做参考，任意点P的电位表示）
2、静电位的微分方程
v E = −∇ϕ ⇒ D = ε E = −ε∇ϕ
∇ ⋅ D = ρ ⇒ ∇⋅ ( −ε∇ϕ ) = ρ ⇒ ∇⋅ ( ∇ϕ ) = − ρ ⇒ ∇2ϕ = − ρ
ρS = 0
∂ϕ1 ∂ϕ2 ε1 =ε2 ∂n ∂n
导体
∂ϕ ε =−ρS ∂n
【例3.1.1】 求电偶极子 p = qdl 的电位 ϕ ( r ) 3.1.1】
当
z
+q d
r+ r− = r
P ( r,θ ,ϕ )
r >> d 1 1 1 ≈ + 2 d cosθ r+ r r
因此
ϕ=
θ
−q
解：取如图所示坐标系，场点 P ( r,θ ,ϕ ) 取如图所示坐标系， 的电位等于两个点电荷电位的叠加
a a
Cl =
ρl
U
=
D−a ln a
πε 0
≈
πε 0
ln( D / a)
ρl 1 ρl D − a 1 ( + )dx = ln 2πε 0 x D − x πε 0 a
F /m
【例3.1.5】同轴线的内导体的半径为a，外导 3.1.5】同轴线的内导体的半径为a 体的半径为b 体的半径为b，内外导体间填充介电常数为 ε 的均匀电介质，试求同轴线单位长度的电容。 的均匀电介质，试求同轴线单位长度的电容。
电 位 的 泊 松 方 程
ε
ε
若空间电荷分布为零， 若空间电荷分布为零，则有 ∇2ϕ = 0
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第三章 静态电磁场及其边值问题
3.1.3 导体系统的电容
1. 电容
孤立导体的电容
孤立导体的电容可以看做该导体与电位参考点（无限远处或 大地）之间的电容，定义为所带电量q与其电位 的比值，即 q C 两个带等量异号电荷（q）的导体组成的电容器，其电容为
q q C U 1 2
1
求比值 C q U ，即得出所求电容。
第三章 静态电磁场及其边值问题
例 3.1.4
如图所示的平行双线传输线，导线半径为a ，
两导线的轴线距离为D ，且D >> a ，求传输线单位长度的电容。 解 设两导线单位长度带电量分别为 l 和 l 。由于 D a ，
故可近似地认为电荷分别均匀分布在两
导线的表面上。应用高斯定理和叠加原
理，可得到两导线之间的平面上任一点
y
l 1 1 Da a ( x D x )dx π 0 ln a π 0 π 0 C1 l (F/m) 故单位长度的电容为 U ln[( D a) a] ln ( D a)
D a
两导线间的电位差 2 l U E dl 1 2π 0
3.1.4
静电场的能量
1 We q 2
1. 静电场的能量
电量为 q 的带电体具有的电场能量We
对于电荷体密度为ρ的体分布电荷，体积元dV中的电荷ρdV
具有的电场能量为
1 dWe dV 2
故体分布电荷的电场能量为
对于面分布电荷，电场能量为
对于线分布电荷，电场能量为
1 We dV 2 V 1 We SdS 2 S 1 We ldl 2 c
体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定 分布电荷产生的电场称为恒定电场。
恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。
第三章 静态电磁场及其边值问题
1. 基本方程
•
•
恒定电场的基本场矢量是电流密度 J (r ) 和电场强度 E (r )
3.6 分离变量法
第三章 静态电磁场及其边值问题
3.1
静电场分析
学习内容
3.1.1
静电场的基本方程和边界条件
3.1.2 电位函数
3.1.3 3.1.4 导体系统的电容 静电场的能量
第三章 静态电磁场及其边值问题
3.1.1
静电场的基本方程和边界条件
S 积分形式： C D dS q E dl 0
第三章 静态电磁场及其边值问题
4. 静电位的边界条件
设 P1 和 P2 是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分 别为1和2。当两点间距离Δl→0时
1 2 lim
1 2
P2
Δl 0 P 1
E dl 0
媒质1 1 媒质2 2
1 P1 2 Δl
在静电问题上，超距作用观点与场观点谁也说服不了谁。
后来时变电磁场研究中发现了电磁波，场的观点才占了上风。
用电荷电位计算的能量公式只能计算整体空间的能量。
而电场能量公式可以计算局部区域中的能量。就整体空间而 言，两个公式计算的结果一 样。
第三章 静态电磁场及其边值问题
作
业
同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为b，其间填充介 电常数为ε的均匀介质。求此球形电容器的电容。
( D) D D
V
( D )dV D dS
S
E
由于体积V外的电荷密度ρ＝0，若将上 式中的积分区域扩大到整个场空间，结
S ρ＝0
果仍然成立。只要电荷分布在有限区域
内，当闭合面S 无限扩大时，则有无限 远处电位为零。 则
第三章 静态电磁场及其边值问题
第三章 静态电磁场及其边值问题
•
• •
静态电磁场：场量不随时间变化，包括：
静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法
能量不满足 线性叠加原理
第三章 静态电磁场及其边值问题
1 1 推证： e dV D dV W 2 V 2 V 1 D V [ ( D) D]dV 2 1 1 D dS E DdV 2 S 2 V
R r r
第三章 静态电磁场及其边值问题
3. 静电位的微分方程
在均匀介质中，有
标量泊松方程
D E E
在无源区域， 0
2
2 0
拉普拉斯方程
这些方程反映空间点上静电场的特性。但是它们是微分方程， 只适合于场函数连续可导的情形。对于有媒质突变的问题， 场函数不再是连续可导，因此场方程的微分形式不再适用。 有时研究的问题是有界的，在边界上，场方程的微分形式也 不再适用。为此，需要寻找分界面和边界上静电场满足的方 程，称之为静电场的边界条件。
或
D1n D2 n S E1t E2t 0
若分界面上不存在面电荷，即 S 0 ，则 或
D1n D2 n E1t E 2t
第三章 静态电磁场及其边值问题
电介质中场矢量的折射关系
E1t / E1n tan1 1 / D1n 1 tan 2 E2t / E2n 2 / D2n 2
1.基本方程
D 微分形式： E 0
本构关系： D E
2.边界条件 en ( D1 D2 ) S en ( E1 E2 ) 0 en ( D1 D2 ) 0 en ( E1 E2 ) 0
S
R
ρ
D dS 0
第三章 静态电磁场及其边值问题
【两种公式的讨论】 用电荷电位计算的能量的公式从表面上看，似乎电荷能量 是集中在电荷里的，电荷是能量的承载者，没有电荷的地方 就没有能量。这正是当年超距作用的观点。 用电场表示的能量公式告诉我们，只要有电场就有能量， 即使所在的区域没有电荷。这是场的观点。
由 en ( D1 D2 ) S 和 D
P2
2 1 2 1 S n n
分界面上电位连续，电位法向导数不连续。
第三章 静态电磁场及其边值问题
若介质分界面上无自由电荷，即
S 0
2 1 2 1 n n
媒质1 1 媒质2 2
1 q2 1 We q CU 2 2 2C 2
2. 电场能量密度
上述能量公式给出了电荷系统的能量，虽然也是静电能量， 但从形式上没有与静电场直接联系起来。 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。
第三章 静态电磁场及其边值问题
1 电场能量密度： e D E w 2
1 P1 2 Δl
导体表面上电位的边界条件 （理想电壁边界条件）
P2
导体中静电场始终为零，电位保持常数（等位体）。把导体 看成介质2。
en E 0 en 0 const
s en D s en s n S 得到电壁的边界条件 常数， n
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
第三章 静态电磁场及其边值问题
计算电容的步骤： (1) 假定两导体上分别带电荷+q 和－q ；
(2)
(3) (4)
计算两导体间的电场强度E； 2 由 U E dl ，求出两导体间的电位差；
第三章 静态电磁场及其边值问题
3.1.2 电位函数
1. 电位函数的定义
由 E 0 ,及 u 0
静电场的电位函数或简称电位。 电场为矢量，对应三个标量函数，而电位φ为一标量函数。 显然，计算电位更容易。 借助电位求电场的方法，称为辅助函数法。
E
即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 称为
第三章 静态电磁场及其边值问题
对于多导体组成的带电系统，电荷只分布在导体表面，则有
1 1 1 We Si i dS i Si dS i qi Si 2 i Si 2 i 2 i
式中：qi —— 第i 个导体所带的电荷
i —— 第i 个导体的电位
孤立带电体的能量
b
P158
3.8
oa
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ章 静态电磁场及其边值问题
3.2
导电媒质中的恒定电场分析
3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟
第三章 静态电磁场及其边值问题
3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件
由J＝E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该
电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导
介质1 介质2
en
1
E1
1
E2
2
2
导体表面的边界条件
边界条件为
在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的
en D S en E 0
或
Dn S Et 0
在导体表面上的电场没有切向分量，只有法向分量，即在 导体表面的静电场的电场强度处处垂直于该导体表面；导体表 面上有自由电荷分布，且任一点的电荷面密度等于改点的电位 移矢量的法向分量。