质点角动量和角动量守恒定律

m
解：选质点系: 选质点系 两个钢球+泥球 两个钢球 泥球 碰撞过程， 碰撞过程，
a/2 o a/2
m V0 m
质点系对o点的合外力矩为零， 质点系对 点的合外力矩为零， 点的合外力矩为零 系统角动量守恒. 系统角动量守恒
设碰后杆转动的角速度为ω ， 则碰后三质点的速率为
m V
V=a/2 ⋅ ω
ω
mv 子弹射入： 0 = (m′ + m)v1 摆动：(m′ + m)v1l0 = (m′ + m)v2l sin θ
v1
1 1 1 2 2 2 (m′ + m)v1 = (m′ + m)v2 + K (l − l0 ) 2 2 2
第二节 质点系的角动量定理及其守恒定律 质点系对定点的角动量， 质点系对定点的角动量，等于各质点对该 点的角动量的矢量和。 点的角动量的矢量和。
r r r v v v v M = r × F = r × (F1 + F2 + ... + Fn ) r r v v v v = r × F1 + r × F2 + ... + r × Fn r r r = M 1 + M 2 + ... + M n 矢量和
二、质点角动量： 质点角动量：
r L v
第五章
第一节 质点的角动量和角动量守恒定律
一、力对参考点的力矩 大小
矢量
方向
r r r M = r ×F
单位： 单位：N· m
r r r 1. M 垂直于 r , F 构成的平面。 构成的平面。
r r r ×F
M = Fr sinα = Fr⊥
(方向用右手螺旋法规定 方向用右手螺旋法规定) 方向用右手螺旋法规定
v v n v L = ∑ Li = C
i =1
角动量守恒定律
说明： 说明：
（1）可用角动量守恒定律推出牛顿第三定律。故牛 ）可用角动量守恒定律推出牛顿第三定律。 顿第三定律是牛顿第二定律同时与动量守恒定律、 顿第三定律是牛顿第二定律同时与动量守恒定律、 角动量守恒定律协调一致的必然结果。 角动量守恒定律协调一致的必然结果。 ），但 （2）若系统不是孤立系统（受外力不为零），但 ）若系统不是孤立系统（受外力不为零）， 系统所受外力对某点的外力矩之和为零， 系统所受外力对某点的外力矩之和为零，则系统动 量不守恒，但对该点的角动量守恒。 量不守恒，但对该点的角动量守恒。 （3）角动量守恒定律只能在惯性系中使用，且守 ）角动量守恒定律只能在惯性系中使用， 恒过程中各质点角动量应是对同一参考点的。 恒过程中各质点角动量应是对同一参考点的。对 不同参考点的角动量之间的比较无意义。 不同参考点的角动量之间的比较无意义。
o
r r r r r L = r × P = r × mυ
角动量的大小
P
m r rϕ r
L
L = rP sin ϕ = mυr sin ϕ
角动量的方向 : 右手螺旋
2
当质点作圆周运动时,则有: 当质点作圆周运动时,则有:
L = rmv = mr ω
注意：同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。 注意：同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。 在说明质点的角动量时， 在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的
一、质点系角动量定理 质点系统所受外力矩之和等于系统总 角动量的变化率。 角动量的变化率。
v v r v t v M 外 dt = dL 或： ∫t M 外dt = L − L0
0
注：内力矩不改变系统总角动量，但使得角 内力矩不改变系统总角动量， 动量系统内部重新分配。 动量系统内部重新分配。
二、若系统不受外力矩，或所受外力矩之和 若系统不受外力矩， 为零，系统角动量守恒。 为零，系统角动量守恒。
质量均为m的两个小钢球固定在一个长为 的两个小钢球固定在一个长为a 例5-3. 质量均为 的两个小钢球固定在一个长为 的 轻质硬杆的两端， 轻质硬杆的两端，杆的中点有一轴使杆可在水平面内 自由转动。杆原来静止。另一泥球质量也是m， 自由转动。杆原来静止。另一泥球质量也是 ，以水 平速度V 垂直于杆的方向与其中的一个钢球发生碰撞， 平速度 0垂直于杆的方向与其中的一个钢球发生碰撞， 碰后两者粘在一起。求碰撞后杆转动的角速度。 碰后两者粘在一起。求碰撞后杆转动的角速度。
v M
r M
r r
r┴
r F
α
o
2. 必须指明对那一固定点 必须指明对那一固定点. r r 3. F ≠ 0, M 可能为零
有心力： 有心力： r r 当力F 的作用线与矢径 r 共线时的力
有心力的力矩 恒为 恒为:
r M =0
பைடு நூலகம்
r r
o
r F
力矩合成： 力矩合成：
当质点受到n个力，如：F1、F2…Fn力同时作用时，则n个 力同时作用时， 当质点受到 个力， 个力 个 力对参考点O的力矩为 的力矩为： 力对参考点 的力矩为：
∆S = 2m lim ∆t →0 ∆t dS = 2m dt
行星受力方向与矢径在一条 直线（有心力），故角动量守恒。 ），故角动量守恒 直线（有心力），故角动量守恒。
例1：光滑的水平面上用一弹性绳（k）系一小球 ：光滑的水平面上用一弹性绳（ ）系一小球(m)。 。 开始时，弹性绳自然伸长(L 。 开始时，弹性绳自然伸长 0)。今给小球与弹性绳垂直 的初速度V 试求当弹性绳转过90°且伸长了L 的初速度 0, 试求当弹性绳转过 °且伸长了 时，小 球的速度大小与方向。 球的速度大小与方向。 由机械能守恒立即有： 解： 由机械能守恒立即有：
三、质点的角动量定理
(
)
r r dL r r 定义为力对固定点O的力矩 的力矩。 = r × F = M 定义为力对固定点 的力矩。 dt r r 微分形式 Mdt = dL
质点的合外力矩对时间的积累作用等于 它的角动量变化。 它的角动量变化。——质点角动量定理 质点角动量定理 若力矩作用一段有限时间， 若力矩作用一段有限时间，则有
冲量矩或 冲量矩或 角冲量
∫
t2
t1
r r r M ⋅ d t = L2 − L1
积分形式
注意：力矩、角动量均对惯性系中同一点而言。 注意：力矩、角动量均对惯性系中同一点而言。
四、角动量守恒定律
d L Q M ＝ dt d L 如果 M ＝ 0 则 = 0 dt
即 L＝常矢量
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零， 如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零， 则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。 则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。 ——角动量守恒定律 角动量守恒定律 注意： 、这也是自然界普遍适用的一条基本规律。 注意：1、这也是自然界普遍适用的一条基本规律。 2、M＝0，可以是 也可以是F=0,还可能是 与F 还可能是r与 、 ＝ ，可以是r=0,也可以是 也可以是 还可能是 同向或反向，例如有心力情况。 同向或反向，例如有心力情况。
r r r r L = ∑ Li = ∑ ri × Pi
i r i r r r r r r r dPi dL = ∑ ri × Fi + f i = M + M in = ∑ ri × dt dt i i
(
)
因为内力的力矩两两相消， 因为内力的力矩两两相消，则： r r dL r M in = 0 ⇒ =M dt
a/2 o
由角动量守恒定律， 由角动量守恒定律，得：
V
a/2
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv （ ）
ω =2v0/3a
例5-1、开普勒第二定律 、
任一行星和太阳之间的连线， 任一行星和太阳之间的连线，在相等的时间 不变。 内扫过的面积相等， 掠面速度不变 内扫过的面积相等，即掠面速度不变。
r L
∆S
r r
r ∆r
m α
r v
L = r ⋅ mv sin α r ∆r = m lim sin α ⋅ r ∆t →0 ∆t
r dL d r r = r ×P 角动量对时间的变化率 dt dt r r r dB dA r d r r * 微分公式 ( A × B) = A × + ×B dt dt dt r r r r dL r dP dr =r× + ×P dt dt dt r r r dr r r dP r × P = υ × mυ = 0 =F dt dt
L0 L0+L
α
v
v0
m
如何求角度α 如何求角度α？ 由于质点在有心力 作用下运动， 作用下运动，故角 动量守恒。 动量守恒。有：
Q mv 0 L0 = mv sin(π − α ) ⋅ ( L0 + L) ∴sinα = v0 L0 / v( L0 + L)
例5-2、 、
l0
o
l
θ
v2
满足三个守恒